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9.若有A,B,C三点不在同一条直线上,点P满足$PA=PB=PC$,则平面内这样的点P有（
A.1个
B.2个
C.1个或2个
D.3个
A
）A.1个
B.2个
C.1个或2个
D.3个
答案
9.A
解析
【分析】
要找到满足PA=PB=PC的点P，我们可以分步思考：首先，到两个点距离相等的点的集合是这两点连线的垂直平分线，因此满足PA=PB的点都在AB的垂直平分线上，满足PB=PC的点都在BC的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是这两条垂直平分线的交点，再结合A、B、C不共线的条件判断交点个数即可。
【解析】
①根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
因此满足PA=PB的所有点P的轨迹是线段AB的垂直平分线，满足PB=PC的所有点P的轨迹是线段BC的垂直平分线。
②因为A、B、C三点不在同一条直线上，所以线段AB和BC的垂直平分线不平行，两条直线相交有且只有1个交点。
③这个交点同时在两条垂直平分线上，因此满足PA=PB=PC，不存在其他满足条件的点。
综上，这样的点P有1个。
【答案】
A
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 三角形外心的性质
【点评】
本题将满足距离条件的点的问题转化为垂直平分线的交点问题，是线段垂直平分线判定的典型应用，解题时要注意题目给出的三点不共线的前提，避免多考虑不必要的情况。
【难度系数】
0.8
要找到满足PA=PB=PC的点P，我们可以分步思考：首先，到两个点距离相等的点的集合是这两点连线的垂直平分线，因此满足PA=PB的点都在AB的垂直平分线上，满足PB=PC的点都在BC的垂直平分线上。同时满足两个条件的点就是这两条垂直平分线的交点，再结合A、B、C不共线的条件判断交点个数即可。
【解析】
①根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
因此满足PA=PB的所有点P的轨迹是线段AB的垂直平分线，满足PB=PC的所有点P的轨迹是线段BC的垂直平分线。
②因为A、B、C三点不在同一条直线上，所以线段AB和BC的垂直平分线不平行，两条直线相交有且只有1个交点。
③这个交点同时在两条垂直平分线上，因此满足PA=PB=PC，不存在其他满足条件的点。
综上，这样的点P有1个。
【答案】
A
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 三角形外心的性质
【点评】
本题将满足距离条件的点的问题转化为垂直平分线的交点问题，是线段垂直平分线判定的典型应用，解题时要注意题目给出的三点不共线的前提，避免多考虑不必要的情况。
【难度系数】
0.8
10.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19,△ABD的周长为13,则AE的长为（
A.3
B.6
C.12
D.16
A
）A.3
B.6
C.12
D.16
答案
10.A
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC，AE=EC=½AC。接下来分析两个三角形的周长：△ABD的周长为AB+BD+AD，将AD替换为DC后，可转化为AB+BC，结合已知的△ABD周长即可得到AB+BC的数值；再代入△ABC的周长公式就能求出AC的长度，最后根据AE是AC的一半即可算出AE的长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=DC，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵△ABD的周长为13
∴AB+BD+AD=13
将AD=DC代入，得AB+BD+DC=AB+BC=13
又
∵△ABC的周长为19
∴AB+BC+AC=19
把AB+BC=13代入上式，得13+AC=19
解得AC=6
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质对周长进行等量转化，通过两个三角形周长的差求出AC的长度，进而得到AE的结果，解题时要注意找准周长转化的等量关系。
【难度系数】
0.7
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC，AE=EC=½AC。接下来分析两个三角形的周长：△ABD的周长为AB+BD+AD，将AD替换为DC后，可转化为AB+BC，结合已知的△ABD周长即可得到AB+BC的数值；再代入△ABC的周长公式就能求出AC的长度，最后根据AE是AC的一半即可算出AE的长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=DC，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵△ABD的周长为13
∴AB+BD+AD=13
将AD=DC代入，得AB+BD+DC=AB+BC=13
又
∵△ABC的周长为19
∴AB+BC+AC=19
把AB+BC=13代入上式，得13+AC=19
解得AC=6
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质对周长进行等量转化，通过两个三角形周长的差求出AC的长度，进而得到AE的结果，解题时要注意找准周长转化的等量关系。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若$AC=24$，则$△ BMN$的周长是（
A.36
B.24
C.18
D.16
B
）A.36
B.24
C.18
D.16
答案
11.B
解析
【分析】
本题解题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段等量代换。首先看到AB、BC的垂直平分线，立刻联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得MA=MB、NB=NC；再观察△BMN的周长构成是BM+MN+BN，将BM、BN替换为对应的相等线段，即可发现周长和与已知线段AC的长度相等，直接代入数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵ME是AB的垂直平分线，点M在ME上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴$ MA = MB $。
同理，NF是BC的垂直平分线，点N在NF上，
∴$ NB = NC $。
△BMN的周长 = $ BM + MN + BN $，
将$ BM=AM $、$ BN=CN $代入上式得：
周长 = $ AM + MN + CN = AC $。
已知$ AC=24 $，因此△BMN的周长为24。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知长度的线段，考查学生对垂直平分线性质的理解和简单转化能力。
【难度系数】
0.8
本题解题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段等量代换。首先看到AB、BC的垂直平分线，立刻联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得MA=MB、NB=NC；再观察△BMN的周长构成是BM+MN+BN，将BM、BN替换为对应的相等线段，即可发现周长和与已知线段AC的长度相等，直接代入数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵ME是AB的垂直平分线，点M在ME上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴$ MA = MB $。
同理，NF是BC的垂直平分线，点N在NF上，
∴$ NB = NC $。
△BMN的周长 = $ BM + MN + BN $，
将$ BM=AM $、$ BN=CN $代入上式得：
周长 = $ AM + MN + CN = AC $。
已知$ AC=24 $，因此△BMN的周长为24。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知长度的线段，考查学生对垂直平分线性质的理解和简单转化能力。
【难度系数】
0.8
12.(易错题)如图，D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点.求证：DF是AB的垂直平分线.
答案
12.证明:连接AD.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∴AD=BD.
∵F是BA的中点,
∴AF=BF,
在△ADF和△BDF中,$\begin{cases} AF=BF, \\ DF=DF, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDF(SSS).
∴∠AFD=∠BFD=90°.
又F是BA的中点,
∴DF是AB的垂直平分线.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∴AD=BD.
∵F是BA的中点,
∴AF=BF,
在△ADF和△BDF中,$\begin{cases} AF=BF, \\ DF=DF, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDF(SSS).
∴∠AFD=∠BFD=90°.
又F是BA的中点,
∴DF是AB的垂直平分线.
解析
【分析】
要证明DF是AB的垂直平分线，需同时满足两个条件：一是F为AB的中点（题目已直接给出），二是DF⊥AB，因此解题核心是证明∠AFD=∠BFD=90°。首先作辅助线连接AD，利用DE垂直平分AC的性质可得AD=CD；再结合D是BC中点的条件，可推出AD=BD，得到△ADB为等腰三角形；最后结合F是BA中点的条件，通过SSS判定△ADF和△BDF全等，即可得到对应角为直角，最终完成证明。
【解析】
证明:连接AD.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∴AD=BD.
∵F是BA的中点,
∴AF=BF,
在△ADF和△BDF中,$\begin{cases} AF=BF, \\ DF=DF, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDF(SSS).
∴∠AFD=∠BFD=90°.
又F是BA的中点,
∴DF是AB的垂直平分线.
【答案】
证明:连接AD.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∴AD=BD.
∵F是BA的中点,
∴AF=BF,
在△ADF和△BDF中,$\begin{cases} AF=BF, \\ DF=DF, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDF(SSS).
∴∠AFD=∠BFD=90°.
又F是BA的中点,
∴DF是AB的垂直平分线.
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线AD，将已知条件转化为边的等量关系，结合全等三角形的性质推导垂直关系。解题时要注意线段垂直平分线需同时满足"平分线段"和"垂直于线段"两个条件，避免漏证条件导致失分。
【难度系数】
0.6
要证明DF是AB的垂直平分线，需同时满足两个条件：一是F为AB的中点（题目已直接给出），二是DF⊥AB，因此解题核心是证明∠AFD=∠BFD=90°。首先作辅助线连接AD，利用DE垂直平分AC的性质可得AD=CD；再结合D是BC中点的条件，可推出AD=BD，得到△ADB为等腰三角形；最后结合F是BA中点的条件，通过SSS判定△ADF和△BDF全等，即可得到对应角为直角，最终完成证明。
【解析】
证明:连接AD.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∴AD=BD.
∵F是BA的中点,
∴AF=BF,
在△ADF和△BDF中,$\begin{cases} AF=BF, \\ DF=DF, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDF(SSS).
∴∠AFD=∠BFD=90°.
又F是BA的中点,
∴DF是AB的垂直平分线.
【答案】
证明:连接AD.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∴AD=BD.
∵F是BA的中点,
∴AF=BF,
在△ADF和△BDF中,$\begin{cases} AF=BF, \\ DF=DF, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDF(SSS).
∴∠AFD=∠BFD=90°.
又F是BA的中点,
∴DF是AB的垂直平分线.
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线AD，将已知条件转化为边的等量关系，结合全等三角形的性质推导垂直关系。解题时要注意线段垂直平分线需同时满足"平分线段"和"垂直于线段"两个条件，避免漏证条件导致失分。
【难度系数】
0.6
13. 如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G。求证：
(1) $BF=CG$；
(2) $AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$。
(1) $BF=CG$；
(2) $AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$。
答案
13.证明:(1)连接BE和CE.
∵DE是BC的垂直平分线,
∴BE=CE.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴∠BFE=∠CGE=90°,EF=EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中,$\begin{cases} BE=CE, \\ EF=EG, \end{cases}$
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL).
∴BF=CG.
(2)
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴∠AFE=∠AGE=90°,∠FAE=∠GAE.
在△AFE和△AGE中,$\begin{cases} ∠FAE=∠GAE, \\ ∠AFE=∠AGE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AFE≌△AGE(AAS).
∴AF=AG.
∵BF=CG,
∴$\frac{1}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}(AF-BF+AG+CG)$
$=\frac{1}{2}(AF+AF)=AF$,
即$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.
∵DE是BC的垂直平分线,
∴BE=CE.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴∠BFE=∠CGE=90°,EF=EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中,$\begin{cases} BE=CE, \\ EF=EG, \end{cases}$
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL).
∴BF=CG.
(2)
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴∠AFE=∠AGE=90°,∠FAE=∠GAE.
在△AFE和△AGE中,$\begin{cases} ∠FAE=∠GAE, \\ ∠AFE=∠AGE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AFE≌△AGE(AAS).
∴AF=AG.
∵BF=CG,
∴$\frac{1}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}(AF-BF+AG+CG)$
$=\frac{1}{2}(AF+AF)=AF$,
即$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.
解析
【分析】
(1) 要证$BF=CG$，观察可得两条线段分别在两个直角三角形中，因此先连接BE、CE。首先利用线段垂直平分线的性质得到$BE=CE$，再结合角平分线的性质得到$EF=EG$，即可通过HL证明两个直角三角形全等，从而得到$BF=CG$。(2) 要证$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$，先利用角平分线的性质和公共边证明$△ AFE≌△ AGE$，得到$AF=AG$，再将AB、AC转化为含AF、AG、BF、CG的和差形式，结合第一问的$BF=CG$化简即可推导结论。
【解析】
(1) 连接BE和CE。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴$BE=CE$。
∵AE平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，
∴$∠ BFE=∠ CGE=90°$，$EF=EG$。
在$Rt△ BFE$和$Rt△ CGE$中，
$\begin{cases} BE=CE, \\ EF=EG, \end{cases}$
∴$Rt△ BFE≌Rt△ CGE(\mathrm{HL})$。
∴$BF=CG$。
(2)
∵AE平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，
∴$∠ AFE=∠ AGE=90°$，$∠ FAE=∠ GAE$。
在$△ AFE$和$△ AGE$中，
$\begin{cases} ∠ FAE=∠ GAE, \\ ∠ AFE=∠ AGE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴$△ AFE≌△ AGE(\mathrm{AAS})$。
∴$AF=AG$。
∵$BF=CG$，
∴$\frac{1}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}(AF-BF+AG+CG)=\frac{1}{2}(AF+AF)=AF$，
即$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$。
【答案】
(1) $BF=CG$得证；(2) $AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$得证，证明过程见上述解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质，第二问的线段和差转化是几何中常见的推导思路，需重点掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$BF=CG$，观察可得两条线段分别在两个直角三角形中，因此先连接BE、CE。首先利用线段垂直平分线的性质得到$BE=CE$，再结合角平分线的性质得到$EF=EG$，即可通过HL证明两个直角三角形全等，从而得到$BF=CG$。(2) 要证$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$，先利用角平分线的性质和公共边证明$△ AFE≌△ AGE$，得到$AF=AG$，再将AB、AC转化为含AF、AG、BF、CG的和差形式，结合第一问的$BF=CG$化简即可推导结论。
【解析】
(1) 连接BE和CE。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴$BE=CE$。
∵AE平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，
∴$∠ BFE=∠ CGE=90°$，$EF=EG$。
在$Rt△ BFE$和$Rt△ CGE$中，
$\begin{cases} BE=CE, \\ EF=EG, \end{cases}$
∴$Rt△ BFE≌Rt△ CGE(\mathrm{HL})$。
∴$BF=CG$。
(2)
∵AE平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，
∴$∠ AFE=∠ AGE=90°$，$∠ FAE=∠ GAE$。
在$△ AFE$和$△ AGE$中，
$\begin{cases} ∠ FAE=∠ GAE, \\ ∠ AFE=∠ AGE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴$△ AFE≌△ AGE(\mathrm{AAS})$。
∴$AF=AG$。
∵$BF=CG$，
∴$\frac{1}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}(AF-BF+AG+CG)=\frac{1}{2}(AF+AF)=AF$，
即$AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$。
【答案】
(1) $BF=CG$得证；(2) $AF=\frac{1}{2}(AB+AC)$得证，证明过程见上述解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质，第二问的线段和差转化是几何中常见的推导思路，需重点掌握。
【难度系数】
0.7
