1. 教材P85练习T2变式 [2026长沙期末] 如图，已知$AB=AD$，添加下列一个条件后，仍无法判定$△ DAC ≌ △ BAC$的是（）

A.$CB=CD$
B.$∠ BAC = ∠ DAC$
C.$AD ⊥ CD, AB ⊥ CB$
D.$∠ BCA = ∠ DCA$

第1题图 第2题图

1 D A选项,添加 $CB = CD$,利用“SSS”判定 $△ DAC ≌ △ BAC$;B 选项,添加 $∠ BAC = ∠ DAC$,利用“SAS”判定 $△ DAC≌△ BAC$;C 选项,添加 $AD ⊥ CD,AB ⊥ CB$,利用“HL”判定 $\mathrm{Rt}△ DAC≌\mathrm{Rt}△ BAC$;D 选项,添加 $∠ BCA = ∠ DCA$ 不能判定 $△ DAC≌△ BAC$.

2. [2026庆阳期末]如图，$AB ⊥ BC$于点$B$，$AD ⊥ DC$于点$D$，请你根据“HL”定理，添加一个条件：，使得$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC$.

2 $BC=DC(或AB=AD)$

3. [2026泸州期中]数学课上，同学们探讨利用不同的画图工具画角的平分线的方法，小旭说：“我用两块含$30°$角的直角三角板就可以画角平分线。”如图，取$OM = ON$，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点$P$，则射线$OP$就是$∠ AOB$的平分线，这种做法合理吗？为什么？

3 解:合理.理由如下：
根据题意,得$∠ PMO = ∠ PNO = 90°$,
$\therefore △ PMO$和$△ PNO$是直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ PMO$ 和 $\mathrm{Rt}△ PNO$ 中,
$OM = ON$(已知),$OP = OP$(公共边),
$\therefore \mathrm{Rt}△ PMO≌\mathrm{Rt}△ PNO(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ MOP = ∠ NOP$(全等三角形的对应角相等),
$\therefore$ 射线 $OP$ 就是 $∠ AOB$ 的平分线(角平分线的定义).

4. 新情境 如图是脊柱侧弯测量的示意图，Cobb角($∠ O$)是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当Cobb角＞$10°$时为
脊柱侧弯.已知$AC ⊥ BO$于点$C$,$BD ⊥ AO$于点$D$,$CO=DO$,$AD=BC$,$AC$与$BD$交于点$P$.
(1)$△ ACO$与$△ BDO$全等吗?请说明理由.
(2)若小明是轻度脊柱侧弯($10° ＜ ∠ O ＜ 25°$),求与$∠ O$相等的角.

4 解:(1) $△ ACO≌△ BDO$. 理由如下：
$\because AC ⊥ BO,BD ⊥ AO,\therefore ∠ ACO = ∠ BDO = 90°$,
$\therefore △ ACO$ 和 $△ BDO$ 都是直角三角形(直角三角形的定义).
$\because CO = DO,AD = BC,\therefore OD + AD = OC + CB$,
即 $OA = OB$(等式的基本性质1).
在 $\mathrm{Rt}△ ACO$ 和 $\mathrm{Rt}△ BDO$ 中,
$CO = DO$(已知),$AO = BO$(已证),
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACO≌\mathrm{Rt}△ BDO(\mathrm{HL})$.
(2) $\because ∠ O + ∠ CAO = 90°,∠ APD + ∠ CAO = 90°$,
$\therefore ∠ APD = ∠ BPC = ∠ O$.

5. $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 如图所示，$∠ C = ∠ F = 90°$。

(1) 若 $∠ A = ∠ D$，$BC = EF$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的依据是；
(2) 若 $∠ A = ∠ D$，$AC = DF$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的依据是；
(3) 若 $AC = DF$，$AB = DE$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的依据是；
(4) 若 $AC = DF$，$CB = FE$，则 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$的依据是。

5 (1)AAS;(2)ASA;(3)HL;(4)SAS