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9. 如图,已知直线l及l外的一点P,过点P作直线l的平行线,下面四种作法错误的是 (
C
)答案
9 C A 选项,利用“等边对等角”“角平分线的定义”及“内错角相等,两直线平行”可得两直线平行. B 选项,利用“同位角相等,两直线平行”可得两直线平行. C 选项无法判定两直线平行. D 选项,利用“内错角相等,两直线平行”可得两直线平行.
10. [2026苏州高新一中月考]已知$△ ABC$是等腰三角形.若$∠ A = 40°$,则$△ ABC$的顶角度数是
100°或40°
.答案
10 100°或40° 不确定$∠A$是顶角还是底角,故分情况讨论:①当$∠A$是顶角时,$△ ABC$的顶角度数是40°;②当$∠A$是底角时,$△ ABC$的顶角度数是$180°-2×40°=100°$.综上所述,$△ ABC$的顶角度数是100°或40°.
11. [2026 东营东营区期末] 
所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为
所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为36
°答案
11 36 如图
,五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形,$\therefore ∠EAB=∠ACD=\frac{180°×(5-2)}{5}=108°$,$\therefore ∠ACB=∠EAC=180°-108°=72°$,$\therefore ∠BAC=∠EAB-∠EAC=108°-72°=36°$.12. 若等腰三角形的周长是27 cm,一腰上的中线把该等腰三角形分成两个三角形,其周长之差是3 cm,则该等腰三角形的底边长为
7 cm或11 cm
.答案
12 7 cm或11 cm 设该等腰三角形的腰长是$x$ cm,底边长是$y$ cm. 根据题意得,这两个三角形的周长之差即底边长与腰长的差. ①当腰长大于底边长时,可得$\begin{cases}2x+y=27,\\x-y=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10,\\y=7.\end{cases}$②当腰长小于底边长时,可得$\begin{cases}2x+y=27,\\y-x=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=8,\\y=11.\end{cases}$综上所述,等腰三角形的底边长为7 cm或11 cm.
13. [2026 常州湖塘实验中学月考] 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角. 这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB 组成,两根棒在 O 点相连并可绕 O 点转动,C 点固定,OC = CD = DE,点 D,E 可在槽中滑动. 若∠BDE = 75°,则∠CDE 的度数是
80°
.答案
13 80° $\because OC=CD=DE$,$\therefore ∠O=∠ODC$,$∠DCE=∠DEC$,$\therefore ∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC$,$\therefore ∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°$,$\therefore ∠ODC=25°$.$\because ∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°$,$\therefore ∠CDE=105°-∠ODC=80°$.
14. [2026 阜阳期末] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°$, 且 $AB = AC$, 点 $D$ 是 $BC$ 边上的动点(不与点 $B,C$ 重合), 点 $E$ 在 $AC$ 边上, $AD = AE$, $AF$ 平分 $∠ BAD$, 连接 $DE,FE$.
(1) 当 $△ AEF$ 为等边三角形时, 求 $∠ EDC$ 的度数;
(2) 探究 $∠ BAF$ 与 $∠ EDC$ 之间的数量关系, 并说明理由.
(1) 当 $△ AEF$ 为等边三角形时, 求 $∠ EDC$ 的度数;
(2) 探究 $∠ BAF$ 与 $∠ EDC$ 之间的数量关系, 并说明理由.
答案
14 解:(1)$\because △ AEF$为等边三角形,$\therefore ∠EAF=60°$.
$\because ∠BAC=90°$,$AF$平分$∠BAD$,
$\therefore ∠FAD=∠BAF=∠BAC-∠EAF=30°$,$\therefore ∠DAE=30°$.
$\because AB=AC$,$AD=AE$,
$\therefore ∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=45°$,$∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠DAE)=75°$.
$\because ∠AED=∠EDC+∠C$,$\therefore ∠EDC=75°-45°=30°$.
(2)$∠BAF=∠EDC$.理由如下:
$\because AB=AC$,$∠BAC=90°$,$\therefore ∠C=45°$.
设$∠EDC=x$,则$∠AED=45°+x$.
$\because AD=AE$,$\therefore ∠ADE=∠AED=45°+x$,
$\therefore ∠DAE=180°-2(45°+x)=90°-2x$,
$\therefore ∠BAD=90°-(90°-2x)=2x$.
$\because AF$平分$∠BAD$,$\therefore ∠BAF=\frac{1}{2}∠BAD=x$,
$\therefore ∠BAF=∠EDC$.
$\because ∠BAC=90°$,$AF$平分$∠BAD$,
$\therefore ∠FAD=∠BAF=∠BAC-∠EAF=30°$,$\therefore ∠DAE=30°$.
$\because AB=AC$,$AD=AE$,
$\therefore ∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=45°$,$∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠DAE)=75°$.
$\because ∠AED=∠EDC+∠C$,$\therefore ∠EDC=75°-45°=30°$.
(2)$∠BAF=∠EDC$.理由如下:
$\because AB=AC$,$∠BAC=90°$,$\therefore ∠C=45°$.
设$∠EDC=x$,则$∠AED=45°+x$.
$\because AD=AE$,$\therefore ∠ADE=∠AED=45°+x$,
$\therefore ∠DAE=180°-2(45°+x)=90°-2x$,
$\therefore ∠BAD=90°-(90°-2x)=2x$.
$\because AF$平分$∠BAD$,$\therefore ∠BAF=\frac{1}{2}∠BAD=x$,
$\therefore ∠BAF=∠EDC$.
15. 推理能力 [2026银川十三中期中] 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=AC=12\ \mathrm{cm}$,已知点$M,N$分别从点$A,B$同时出发,沿$△ ABC$的边运动,点$M$的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$,点$N$的速度是$2\ \mathrm{cm/s}$,运动时间为$t\ \mathrm{s}$.当点$N$第一次回到点$B$时,点$M,N$同时停止运动.
(1)当点$M$运动到点$C$时,点$N$运动到什么位置?并说明理由.
(2)当$△ AMN$是等边三角形时,$t$的值是多少?
(1)当点$M$运动到点$C$时,点$N$运动到什么位置?并说明理由.
(2)当$△ AMN$是等边三角形时,$t$的值是多少?
答案
15 解:(1)点$N$运动到点$C$. 理由如下:
当点$M$运动到点$C$时,$t=\frac{12}{1}=12$.
$\because$ 点$N$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,
$\therefore$ 点$N$的运动路程为$12×2=24(\mathrm{cm})$.
$\because AB=AC=12\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC+AB=24\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 当点$M$运动到点$C$时,点$N$运动到点$C$.
(2)①当点$N$在边$AB$上时,$0≤ t＜6$,此时点$M$在边$AC$上.
根据题意,得$AN=12-2t$,$AM=t$.
$\because AB=BC=AC=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠A=60°$,
$\therefore$ 当$AM=AN$时,$△ AMN$为等边三角形,
$\therefore 12-2t=t$,解得$t=4$.
②当点$N$在边$AC$上时,$6≤ t＜12$,
此时点$M$在边$AC$上,不合题意.
③当点$N$在边$BC$上时,$12≤ t≤18$,
此时点$M$在边$BC$上,不合题意.
综上所述,当$△ AMN$是等边三角形时,$t$的值是4.
当点$M$运动到点$C$时,$t=\frac{12}{1}=12$.
$\because$ 点$N$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,
$\therefore$ 点$N$的运动路程为$12×2=24(\mathrm{cm})$.
$\because AB=AC=12\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC+AB=24\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 当点$M$运动到点$C$时,点$N$运动到点$C$.
(2)①当点$N$在边$AB$上时,$0≤ t＜6$,此时点$M$在边$AC$上.
根据题意,得$AN=12-2t$,$AM=t$.
$\because AB=BC=AC=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠A=60°$,
$\therefore$ 当$AM=AN$时,$△ AMN$为等边三角形,
$\therefore 12-2t=t$,解得$t=4$.
②当点$N$在边$AC$上时,$6≤ t＜12$,
此时点$M$在边$AC$上,不合题意.
③当点$N$在边$BC$上时,$12≤ t≤18$,
此时点$M$在边$BC$上,不合题意.
综上所述,当$△ AMN$是等边三角形时,$t$的值是4.
