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1.下列图形中，中心对称图形的个数是(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题的核心是掌握中心对称图形的判定规则：在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。解题时我们逐个对4个图形进行验证即可：
1. 第一个图形有5个相同的图案单元，绕中心旋转180°后，各单元的位置、朝向无法和原图对应，不重合，不是中心对称图形；
2. 第二个图形绕中点旋转180°后，两侧的椭圆和中间的连接部分都和原图完全重合，是中心对称图形；
3. 第三个图形绕中心旋转180°后，凹凸部分的位置颠倒，和原图不重合，不是中心对称图形；
4. 第四个图形绕中心旋转180°后，所有线条的位置都和原图一致，完全重合，是中心对称图形。
最后统计符合要求的图形个数即可得到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的是中心对称图形。
逐一判断：
① 第一个图形：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
② 第二个图形：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形；
③ 第三个图形：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
④ 第四个图形：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形。
综上，中心对称图形共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记中心对称图形的判定方法，做题时只需将图形想象旋转180°后与原图对比即可快速判断，注意不要和轴对称图形的判定规则混淆。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握中心对称图形的判定规则：在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。解题时我们逐个对4个图形进行验证即可：
1. 第一个图形有5个相同的图案单元，绕中心旋转180°后，各单元的位置、朝向无法和原图对应，不重合，不是中心对称图形；
2. 第二个图形绕中点旋转180°后，两侧的椭圆和中间的连接部分都和原图完全重合，是中心对称图形；
3. 第三个图形绕中心旋转180°后，凹凸部分的位置颠倒，和原图不重合，不是中心对称图形；
4. 第四个图形绕中心旋转180°后，所有线条的位置都和原图一致，完全重合，是中心对称图形。
最后统计符合要求的图形个数即可得到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的是中心对称图形。
逐一判断：
① 第一个图形：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
② 第二个图形：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形；
③ 第三个图形：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
④ 第四个图形：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形。
综上，中心对称图形共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记中心对称图形的判定方法，做题时只需将图形想象旋转180°后与原图对比即可快速判断，注意不要和轴对称图形的判定规则混淆。
【难度系数】
0.7
2.如图，将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$，点$D$在$BC$上，$∠ B=70°$.下列结论不正确的是(
A.$∠ ADE=70°$
B.$∠ ADB=70°$
C.$∠ EAC=40°$
D.$∠ AED=40°$
D
).A.$∠ ADE=70°$
B.$∠ ADB=70°$
C.$∠ EAC=40°$
D.$∠ AED=40°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题需结合旋转的性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理逐一判断选项。首先明确旋转前后图形的对应角相等、对应边相等，先确定旋转后的对应元素：∠ADE与∠B是对应角，AB与AD是对应边，∠EAC与∠BAD是相等的旋转角，∠AED与∠C是对应角；再利用等腰三角形底角相等计算∠ADB和旋转角的度数，最后结合已知条件判断各选项正误即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴由旋转的性质可得：$∠ ADE=∠ B=70°$，$AB=AD$，$∠ EAD=∠ CAB$，$∠ AED=∠ C$，故A选项结论正确，不符合题意；
∵$AB=AD$，即△ABD为等腰三角形，
∴$∠ ADB=∠ B=70°$，故B选项结论正确，不符合题意；
在△ABD中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-70°-70°=40°$，
∵$∠ EAD=∠ CAB$，即$∠ EAC+∠ CAD=∠ BAD+∠ CAD$，
∴$∠ EAC=∠ BAD=40°$，故C选项结论正确，不符合题意；
题干未给出$∠ C$的度数，因此无法确定对应角$∠ AED$的度数，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查旋转性质的基础应用，解题的关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，明确旋转角相等，结合三角形相关性质即可求解。
【难度系数】
0.7
解题需结合旋转的性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理逐一判断选项。首先明确旋转前后图形的对应角相等、对应边相等，先确定旋转后的对应元素：∠ADE与∠B是对应角，AB与AD是对应边，∠EAC与∠BAD是相等的旋转角，∠AED与∠C是对应角；再利用等腰三角形底角相等计算∠ADB和旋转角的度数，最后结合已知条件判断各选项正误即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴由旋转的性质可得：$∠ ADE=∠ B=70°$，$AB=AD$，$∠ EAD=∠ CAB$，$∠ AED=∠ C$，故A选项结论正确，不符合题意；
∵$AB=AD$，即△ABD为等腰三角形，
∴$∠ ADB=∠ B=70°$，故B选项结论正确，不符合题意；
在△ABD中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-70°-70°=40°$，
∵$∠ EAD=∠ CAB$，即$∠ EAC+∠ CAD=∠ BAD+∠ CAD$，
∴$∠ EAC=∠ BAD=40°$，故C选项结论正确，不符合题意；
题干未给出$∠ C$的度数，因此无法确定对应角$∠ AED$的度数，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查旋转性质的基础应用，解题的关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，明确旋转角相等，结合三角形相关性质即可求解。
【难度系数】
0.7
3.如图，△ABC旋转(旋转角小于180°)后能与△AED重合，且△ABE为等边三角形.
(1)旋转中心是点
(2)AC的对应线段是
(3)连接CD，判断△ACD的形状是
(1)旋转中心是点
A
，旋转方向是顺时针
，旋转角的大小是60°
.(2)AC的对应线段是
AD
，BC的对应线段是ED
，∠ABC的对应角是∠AED
.(3)连接CD，判断△ACD的形状是
等边三角形
.答案
3.(1)A 顺时针 60° (2)AD ED ∠AED (3)等边三角形
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的相关定义与性质：旋转中心是旋转过程中保持不动的点，旋转角是一组对应边与旋转中心连线的夹角，旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等。第(1)问先找旋转过程中位置不变的点确定旋转中心，再结合等边三角形的内角求旋转角，根据对应点的位置判断旋转方向；第(2)问根据旋转前后的对应关系直接找对应边、对应角即可；第(3)问结合旋转的性质得到AC=AD，且旋转角为60°，即可判定△ACD的形状。
【解析】
(1)
∵△ABC旋转后与△AED重合，旋转过程中点A的位置保持不变，
∴旋转中心是点A。
观察顶点对应关系：点B对应点E，点C对应点D，结合图形可知旋转方向为顺时针。
又
∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，AB的对应边为AE，因此旋转角为∠BAE=60°。
(2) 根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等，即△ABC≌△AED，因此AC的对应线段是AD，BC的对应线段是ED，∠ABC的对应角是∠AED。
(3) 由旋转的性质可知AC=AD，且旋转角为60°，即∠CAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△ACD是等边三角形。
【答案】
(1)A；顺时针；60°
(2)AD；ED；∠AED
(3)等边三角形
【知识点】
旋转的性质；等边三角形判定；旋转基本概念
【点评】
本题属于旋转章节的基础练习题，侧重考查对旋转核心概念的理解和简单应用，解题关键是准确找到旋转前后图形的对应关系，结合等边三角形的性质和判定即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆旋转的相关定义与性质：旋转中心是旋转过程中保持不动的点，旋转角是一组对应边与旋转中心连线的夹角，旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等。第(1)问先找旋转过程中位置不变的点确定旋转中心，再结合等边三角形的内角求旋转角，根据对应点的位置判断旋转方向；第(2)问根据旋转前后的对应关系直接找对应边、对应角即可；第(3)问结合旋转的性质得到AC=AD，且旋转角为60°，即可判定△ACD的形状。
【解析】
(1)
∵△ABC旋转后与△AED重合，旋转过程中点A的位置保持不变，
∴旋转中心是点A。
观察顶点对应关系：点B对应点E，点C对应点D，结合图形可知旋转方向为顺时针。
又
∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，AB的对应边为AE，因此旋转角为∠BAE=60°。
(2) 根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等，即△ABC≌△AED，因此AC的对应线段是AD，BC的对应线段是ED，∠ABC的对应角是∠AED。
(3) 由旋转的性质可知AC=AD，且旋转角为60°，即∠CAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△ACD是等边三角形。
【答案】
(1)A；顺时针；60°
(2)AD；ED；∠AED
(3)等边三角形
【知识点】
旋转的性质；等边三角形判定；旋转基本概念
【点评】
本题属于旋转章节的基础练习题，侧重考查对旋转核心概念的理解和简单应用，解题关键是准确找到旋转前后图形的对应关系，结合等边三角形的性质和判定即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=50°$，将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转，得到$△ A'BC'$，使点$C$的对应点$C'$恰好落在边$AB$上，则$∠ CAA'$的度数是________。
答案
4.120°
解析
【分析】
解题思路：首先利用直角三角形内角和先求出∠ABC的度数，再根据旋转的性质可知旋转前后对应边BA=BA'，旋转角∠ABA'等于∠ABC，进而得到△ABA'为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出∠BAA'的度数，最后将∠CAB与∠BAA'相加即可得到∠CAA'的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ CAB = 180° - 90° - 50° = 40°$，
∵ △ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，且点C'落在AB上，
∴ 由旋转的性质得：$BA = BA'$，$∠ ABA' = ∠ ABC = 40°$，
∴ △ABA'是等腰三角形，
∴ $∠ BAA' = ∠ BA'A = \frac{180° - ∠ ABA'}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$，
∴ $∠ CAA' = ∠ CAB + ∠ BAA' = 50° + 70° = 120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算类基础题，解题核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形和三角形内角和的知识求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用直角三角形内角和先求出∠ABC的度数，再根据旋转的性质可知旋转前后对应边BA=BA'，旋转角∠ABA'等于∠ABC，进而得到△ABA'为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出∠BAA'的度数，最后将∠CAB与∠BAA'相加即可得到∠CAA'的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ CAB = 180° - 90° - 50° = 40°$，
∵ △ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，且点C'落在AB上，
∴ 由旋转的性质得：$BA = BA'$，$∠ ABA' = ∠ ABC = 40°$，
∴ △ABA'是等腰三角形，
∴ $∠ BAA' = ∠ BA'A = \frac{180° - ∠ ABA'}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$，
∴ $∠ CAA' = ∠ CAB + ∠ BAA' = 50° + 70° = 120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算类基础题，解题核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形和三角形内角和的知识求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 6，$E,F$ 分别是边 $BC,CD$ 上的点，且 $∠ EAF = 45°$，将 $△ BAE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$，得到 $△ DAG$.
（1）求证：$△ EAF ≌ △ GAF$.
（2）若 $BE = 3$，求 $EF$ 的长.
（1）求证：$△ EAF ≌ △ GAF$.
（2）若 $BE = 3$，求 $EF$ 的长.
答案
5.(1)证明:
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
由旋转的性质可得 AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°,
∴∠GAF=∠EAF,
∴△EAF≌△GAF(SAS).
(2)
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BCD=90°,BC=CD=6,
∴CE=BC-BE=3.
由旋转性质可得 BE=DG=3.
∵△EAF≌△GAF,
∴EF=GF.
设 EF=GF=x,则 DF=GF-DG=x-3,CF=CD-DF=6-(x-3)=9-x,
在 Rt△CEF 中,EF²=CF²+CE²,即 x²=(9-x)²+3²,解得 x=5.
∴EF 的长为 5.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
由旋转的性质可得 AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°,
∴∠GAF=∠EAF,
∴△EAF≌△GAF(SAS).
(2)
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BCD=90°,BC=CD=6,
∴CE=BC-BE=3.
由旋转性质可得 BE=DG=3.
∵△EAF≌△GAF,
∴EF=GF.
设 EF=GF=x,则 DF=GF-DG=x-3,CF=CD-DF=6-(x-3)=9-x,
在 Rt△CEF 中,EF²=CF²+CE²,即 x²=(9-x)²+3²,解得 x=5.
∴EF 的长为 5.
解析
【分析】
（1）要证明△EAF≌△GAF，首先根据旋转性质可得AE=AG、∠BAE=∠DAG，且AF为两三角形公共边，只需证明夹角∠GAF=∠EAF即可。结合正方形内角∠BAD=90°、已知∠EAF=45°，可推出∠BAE+∠DAF=45°，等量代换后得到∠GAF=45°，即可得到夹角相等，用SAS判定全等。
（2）求EF的长，由（1）的全等结论可得EF=GF，可设EF=x，结合旋转性质得DG=BE=3，用含x的式子表示出DF、CF的长度，再在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD - ∠EAF = 45°，
由旋转的性质可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
在△EAF和△GAF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AG\\ ∠ EAF=∠ GAF\\ AF=AF\end{array} $
∴△EAF≌△GAF（SAS）。
（2）解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD=6，
∴CE=BC - BE=6 - 3=3，
由旋转性质可得BE=DG=3，
∵△EAF≌△GAF，
∴EF=GF，
设EF=GF=x，则DF=GF - DG=x - 3，
∴CF=CD - DF=6 - (x - 3)=9 - x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得EF²=CF²+CE²，
即$x^2=(9-x)^2+3^2$，
展开得$x^2=81 - 18x + x^2 + 9$，
化简得$18x=90$，
解得x=5。
【答案】
（1）△EAF≌△GAF得证；
（2）$\boxed{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合了正方形、旋转、全等三角形与勾股定理的相关知识，解题的关键是利用旋转的性质实现边与角的转化，再结合全等三角形的性质将所求线段转化到直角三角形中，通过列方程求解线段长度，是几何综合类的常见题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△EAF≌△GAF，首先根据旋转性质可得AE=AG、∠BAE=∠DAG，且AF为两三角形公共边，只需证明夹角∠GAF=∠EAF即可。结合正方形内角∠BAD=90°、已知∠EAF=45°，可推出∠BAE+∠DAF=45°，等量代换后得到∠GAF=45°，即可得到夹角相等，用SAS判定全等。
（2）求EF的长，由（1）的全等结论可得EF=GF，可设EF=x，结合旋转性质得DG=BE=3，用含x的式子表示出DF、CF的长度，再在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD - ∠EAF = 45°，
由旋转的性质可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
在△EAF和△GAF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AG\\ ∠ EAF=∠ GAF\\ AF=AF\end{array} $
∴△EAF≌△GAF（SAS）。
（2）解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD=6，
∴CE=BC - BE=6 - 3=3，
由旋转性质可得BE=DG=3，
∵△EAF≌△GAF，
∴EF=GF，
设EF=GF=x，则DF=GF - DG=x - 3，
∴CF=CD - DF=6 - (x - 3)=9 - x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得EF²=CF²+CE²，
即$x^2=(9-x)^2+3^2$，
展开得$x^2=81 - 18x + x^2 + 9$，
化简得$18x=90$，
解得x=5。
【答案】
（1）△EAF≌△GAF得证；
（2）$\boxed{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合了正方形、旋转、全等三角形与勾股定理的相关知识，解题的关键是利用旋转的性质实现边与角的转化，再结合全等三角形的性质将所求线段转化到直角三角形中，通过列方程求解线段长度，是几何综合类的常见题型。
【难度系数】
0.7
