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7.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.若旋转后点B的对应点B'恰好落在△ABC的边BC上,且AB'=CB',则∠C'的度数是(
A.18°
B.20°
C.24°
D.28°
C
).A.18°
B.20°
C.24°
D.28°
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质，明确旋转前后对应边相等、对应角相等，可得AB=AB'、∠C'=∠C。再利用AB'=CB'的条件，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质，推导∠B和∠C的数量关系，最后借助三角形内角和定理列方程求出∠C的度数，即可得到∠C'的度数。
【解析】
设∠C的度数为x，
∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'=x，
根据三角形外角的性质，∠AB'B=∠C+∠CAB'=2x，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠C'=∠C，
∴∠B=∠AB'B=2x，
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠BAC=108°，
则有：$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
代入得：$108° + 2x + x = 180°$，
解得$3x=72°$，即$x=24°$，
∴$∠ C'=∠ C=24°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是图形旋转的典型习题，将旋转的性质和等腰三角形、三角形边角关系结合考查，解题的关键是找到旋转前后相等的边和角，再通过方程思想求解角度，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质，明确旋转前后对应边相等、对应角相等，可得AB=AB'、∠C'=∠C。再利用AB'=CB'的条件，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质，推导∠B和∠C的数量关系，最后借助三角形内角和定理列方程求出∠C的度数，即可得到∠C'的度数。
【解析】
设∠C的度数为x，
∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'=x，
根据三角形外角的性质，∠AB'B=∠C+∠CAB'=2x，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠C'=∠C，
∴∠B=∠AB'B=2x，
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠BAC=108°，
则有：$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
代入得：$108° + 2x + x = 180°$，
解得$3x=72°$，即$x=24°$，
∴$∠ C'=∠ C=24°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是图形旋转的典型习题，将旋转的性质和等腰三角形、三角形边角关系结合考查，解题的关键是找到旋转前后相等的边和角，再通过方程思想求解角度，难度不大。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中$∠ BAC=55°$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$α(0°＜α＜55°)$得到$△ ADE$,$DE$交$AC$于点$F$.当$α=40°$时,点$D$恰好落在$BC$上,此时$∠ AFE$的度数是(
A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
B
).A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质定位等量关系：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角大小相等。第一步先根据AB=AD、旋转角∠BAD=40°，计算等腰△ABD的底角∠B的度数，再结合三角形内角和求出∠C的度数，得到对应角∠E的度数；第二步明确∠CAE等于旋转角40°；第三步在△AEF中利用三角形内角和定理即可求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，
∴AB=AD，∠E=∠C，∠BAD=∠CAE=40°，∠BAC=∠DAE=55°。
在等腰△ABD中，∠BAD=40°，
∴∠B=∠ADB=(180°−∠BAD)÷2=(180°−40°)÷2=70°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−70°−55°=55°，则∠E=∠C=55°，
在△AEF中，
∴∠AFE=180°−∠E−∠CAE=180°−55°−40°=85°。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，解题核心是抓住旋转前后的等量关系，结合三角形相关性质计算角度，难度不高，重点考查对基础性质的掌握和运用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质定位等量关系：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角大小相等。第一步先根据AB=AD、旋转角∠BAD=40°，计算等腰△ABD的底角∠B的度数，再结合三角形内角和求出∠C的度数，得到对应角∠E的度数；第二步明确∠CAE等于旋转角40°；第三步在△AEF中利用三角形内角和定理即可求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，
∴AB=AD，∠E=∠C，∠BAD=∠CAE=40°，∠BAC=∠DAE=55°。
在等腰△ABD中，∠BAD=40°，
∴∠B=∠ADB=(180°−∠BAD)÷2=(180°−40°)÷2=70°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−70°−55°=55°，则∠E=∠C=55°，
在△AEF中，
∴∠AFE=180°−∠E−∠CAE=180°−55°−40°=85°。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，解题核心是抓住旋转前后的等量关系，结合三角形相关性质计算角度，难度不高，重点考查对基础性质的掌握和运用。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,$OA=OB=6$.将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$45°$,得到$△ A'OB'$,$A'B'$与$OB$相交于点$D$,则$BD$的长是________.
答案
9.$6-3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系，再利用等腰直角三角形的角度特征推导出△ODB'为等腰直角三角形，计算出OD的长度，最后用OB的长度减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵△AOB绕点O顺时针旋转45°得到△A'OB'，
∴OB'=OB=6，旋转角∠BOB'=45°，∠B'=∠B。
∵在Rt△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠B=45°，即∠B'=45°。
在△ODB'中，∠ODB'=180°-∠BOB'-∠B'=180°-45°-45°=90°，
∴△ODB'是等腰直角三角形。
设OD=x，则OD=DB'=x，由勾股定理得：
$x^2+x^2=OB'^2$，即$2x^2=6^2$，
解得$x=3\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根），即$OD=3\sqrt{2}$。
∴$BD=OB-OD=6-3\sqrt{2}$。
【答案】
$6-3\sqrt{2}$
【知识点】
1.旋转的性质
2.等腰直角三角形的判定与性质
3.勾股定理的应用
【点评】
本题主要考查旋转与等腰直角三角形的综合应用，解题核心是根据已知角度推导特殊直角三角形，进而计算线段长度，难度不大，是旋转类基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系，再利用等腰直角三角形的角度特征推导出△ODB'为等腰直角三角形，计算出OD的长度，最后用OB的长度减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵△AOB绕点O顺时针旋转45°得到△A'OB'，
∴OB'=OB=6，旋转角∠BOB'=45°，∠B'=∠B。
∵在Rt△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠B=45°，即∠B'=45°。
在△ODB'中，∠ODB'=180°-∠BOB'-∠B'=180°-45°-45°=90°，
∴△ODB'是等腰直角三角形。
设OD=x，则OD=DB'=x，由勾股定理得：
$x^2+x^2=OB'^2$，即$2x^2=6^2$，
解得$x=3\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根），即$OD=3\sqrt{2}$。
∴$BD=OB-OD=6-3\sqrt{2}$。
【答案】
$6-3\sqrt{2}$
【知识点】
1.旋转的性质
2.等腰直角三角形的判定与性质
3.勾股定理的应用
【点评】
本题主要考查旋转与等腰直角三角形的综合应用，解题核心是根据已知角度推导特殊直角三角形，进而计算线段长度，难度不大，是旋转类基础题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，点P是等腰直角三角形ABC外一点，∠ABC=90°，将BP绕点B顺时针旋转90°得到BP'，已知∠AP'B=135°，P'A=1，P'C=3，求PB的长.
答案
10.连接 PA 和 PP'.
由旋转得 $P'B=PB$,在$△ ABC$ 中 $AB=BC$,
$\because ∠ABC=∠PBP'=90°,∴∠CBP'=∠ABP$,
$\therefore △CBP'≌△ABP(SAS),∴PA=P'C=3.$
$\because P'B=PB,∠PBP'=90°,∴∠BP'P=45°,P'P=\sqrt{2} PB$,
$\because ∠AP'B=135°,∴∠AP'P=90°$,
在 $Rt△ AP'P$ 中 $P'P=\sqrt{PA^2-P'A^2}=2\sqrt{2}$,则 $PB=2.$
解析
【分析】
本题可结合旋转性质与等腰直角三角形的特征求解，解题思路如下：1. 观察到BP绕点B顺时针旋转90°得到BP'，且△ABC是等腰直角三角形，存在等线段和等角，考虑连接PA、PP'构造全等三角形，将已知的P'C转化为PA；2. 证明△ABP≌△CBP'，得到PA的长度；3. 分析△PBP'是等腰直角三角形，结合已知∠AP'B=135°，可推出∠AP'P为直角，在Rt△AP'P中用勾股定理求出PP'的长度；4. 最后根据等腰直角三角形的边的关系求出PB的长度。
【解析】
连接 PA 和 PP'。
由旋转的性质可得 $P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB=BC$。
∵$∠ ABC=∠ PBP'=90°$，即$∠ ABP + ∠ ABP' = ∠ CBP' + ∠ ABP'$，
∴$∠ ABP=∠ CBP'$。
在$△ ABP$和$△ CBP'$中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABP=∠ CBP' \\PB=P'B\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ CBP'(\mathrm{SAS})$，
∴$PA=P'C=3$。
∵$P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$，
∴$△ PBP'$是等腰直角三角形，$∠ BP'P=45°$，且$P'P=\sqrt{PB^2 + P'B^2}=\sqrt{2} PB$。
∵$∠ AP'B=135°$，
∴$∠ AP'P=∠ AP'B - ∠ BP'P=135°-45°=90°$，即$△ AP'P$是直角三角形。
在$Rt△ AP'P$中，$P'A=1$，$PA=3$，由勾股定理得：
$P'P=\sqrt{PA^2 - P'A^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$。
又
∵$P'P=\sqrt{2} PB$，
∴$\sqrt{2} PB=2\sqrt{2}$，解得$PB=2$。
【答案】
$PB=2$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题可结合旋转性质与等腰直角三角形的特征求解，解题思路如下：1. 观察到BP绕点B顺时针旋转90°得到BP'，且△ABC是等腰直角三角形，存在等线段和等角，考虑连接PA、PP'构造全等三角形，将已知的P'C转化为PA；2. 证明△ABP≌△CBP'，得到PA的长度；3. 分析△PBP'是等腰直角三角形，结合已知∠AP'B=135°，可推出∠AP'P为直角，在Rt△AP'P中用勾股定理求出PP'的长度；4. 最后根据等腰直角三角形的边的关系求出PB的长度。
【解析】
连接 PA 和 PP'。
由旋转的性质可得 $P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB=BC$。
∵$∠ ABC=∠ PBP'=90°$，即$∠ ABP + ∠ ABP' = ∠ CBP' + ∠ ABP'$，
∴$∠ ABP=∠ CBP'$。
在$△ ABP$和$△ CBP'$中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABP=∠ CBP' \\PB=P'B\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ CBP'(\mathrm{SAS})$，
∴$PA=P'C=3$。
∵$P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$，
∴$△ PBP'$是等腰直角三角形，$∠ BP'P=45°$，且$P'P=\sqrt{PB^2 + P'B^2}=\sqrt{2} PB$。
∵$∠ AP'B=135°$，
∴$∠ AP'P=∠ AP'B - ∠ BP'P=135°-45°=90°$，即$△ AP'P$是直角三角形。
在$Rt△ AP'P$中，$P'A=1$，$PA=3$，由勾股定理得：
$P'P=\sqrt{PA^2 - P'A^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$。
又
∵$P'P=\sqrt{2} PB$，
∴$\sqrt{2} PB=2\sqrt{2}$，解得$PB=2$。
【答案】
$PB=2$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形，将分散的已知条件转化到同一个直角三角形中，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11.如图,已知 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$BC=6$,$AC=12$,点 $D$ 在 $AC$ 上,且 $AD=8$.将线段 $AD$ 绕点 $A$ 旋转至 $AD'$,$F$ 为 $BD'$ 的中点.线段 $CF$ 的长的最大值是多少?
答案
11.取 AB 的中点 M,连接 FM 和 CM.
由旋转得 $AD'=AD=8.$
$\because M$ 为 $AB$ 的中点,$F$ 为 $BD'$ 的中点,$\therefore FM=\frac{1}{2}AD'=4.$
$\because ∠ACB=90°,AC=12,BC=6,∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=6\sqrt{5},$
$\because M$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore CM=3\sqrt{5}.$
当且仅当 $M,F,C$ 三点共线且 $M$ 在线段 $CF$ 上时 $CF$ 最大,
此时 $CF=CM+FM=4+3\sqrt{5}.$
解析
【分析】
本题是几何线段最值问题，已知条件包含旋转、直角三角形和中点结构，思考路径如下：首先由旋转的性质可知$AD'$长度固定等于AD=8；已知F是$BD'$的中点，我们可以取AB的中点M，构造$△ ABD'$的中位线FM，得到FM长度为$AD'$的一半，是固定值；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可求出Rt△ABC斜边中线CM的长度也为固定值；最后根据三角形三边关系，$CF≤CM+FM$，当C、M、F三点共线且M在C、F之间时，CF取得最大值，即为两个固定线段的长度之和。
【解析】
取AB的中点M，连接FM和CM。
由旋转的性质可得：$AD'=AD=8$。
∵M为AB的中点，F为$BD'$的中点，
∴FM是$△ ABD'$的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}AD'=\frac{1}{2}×8=4$。
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=6$，$AC=12$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}$。
∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
根据三角形三边关系可知$CF≤CM+FM$，当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，等号成立，此时CF取得最大值，最大值为$CM+FM=3\sqrt{5}+4$。
【答案】
$4+3\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何综合类最值问题，解题关键是通过构造中点辅助线，将未知动线段的最值转化为两条固定线段的和，融合了多个基础几何知识点，有效考查了几何图形分析和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6
本题是几何线段最值问题，已知条件包含旋转、直角三角形和中点结构，思考路径如下：首先由旋转的性质可知$AD'$长度固定等于AD=8；已知F是$BD'$的中点，我们可以取AB的中点M，构造$△ ABD'$的中位线FM，得到FM长度为$AD'$的一半，是固定值；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可求出Rt△ABC斜边中线CM的长度也为固定值；最后根据三角形三边关系，$CF≤CM+FM$，当C、M、F三点共线且M在C、F之间时，CF取得最大值，即为两个固定线段的长度之和。
【解析】
取AB的中点M，连接FM和CM。
由旋转的性质可得：$AD'=AD=8$。
∵M为AB的中点，F为$BD'$的中点，
∴FM是$△ ABD'$的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}AD'=\frac{1}{2}×8=4$。
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=6$，$AC=12$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}$。
∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
根据三角形三边关系可知$CF≤CM+FM$，当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，等号成立，此时CF取得最大值，最大值为$CM+FM=3\sqrt{5}+4$。
【答案】
$4+3\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质；三角形中位线定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何综合类最值问题，解题关键是通过构造中点辅助线，将未知动线段的最值转化为两条固定线段的和，融合了多个基础几何知识点，有效考查了几何图形分析和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6
