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1.函数$y=ax^2 + k(a ≠ 0)$的图象相当于$y=ax^2(a ≠ 0)$的图象进行了
上下
平移。答案
1. 上下
解析
【分析】
解题时先对比两个二次函数的表达式特征，二者二次项系数a相同，说明图象的开口方向、形状完全一致，仅常数项不同。再结合二次函数图象平移的规律：自变量的变化对应左右平移，常数项的变化对应上下平移，即可判断平移类型。也可以通过找两个函数的顶点坐标对比位置，$y=ax^2$的顶点是$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点是$(0,k)$，顶点仅纵坐标发生变化，对应上下方向的平移。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k(a≠0)$：
1. 二者二次项系数均为$a$，因此图象形状、开口方向完全相同；
2. $y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，两个顶点均在y轴上，仅纵坐标相差$|k|$；
3. 当$k＞0$时，$y=ax^2+k$的图象是$y=ax^2$的图象向上平移$k$个单位得到；当$k＜0$时，是向下平移$|k|$个单位得到，因此属于上下平移。
【答案】
上下
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础考题，主要考查常数项变化对应的平移方向，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先对比两个二次函数的表达式特征，二者二次项系数a相同，说明图象的开口方向、形状完全一致，仅常数项不同。再结合二次函数图象平移的规律：自变量的变化对应左右平移，常数项的变化对应上下平移，即可判断平移类型。也可以通过找两个函数的顶点坐标对比位置，$y=ax^2$的顶点是$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点是$(0,k)$，顶点仅纵坐标发生变化，对应上下方向的平移。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k(a≠0)$：
1. 二者二次项系数均为$a$，因此图象形状、开口方向完全相同；
2. $y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，两个顶点均在y轴上，仅纵坐标相差$|k|$；
3. 当$k＞0$时，$y=ax^2+k$的图象是$y=ax^2$的图象向上平移$k$个单位得到；当$k＜0$时，是向下平移$|k|$个单位得到，因此属于上下平移。
【答案】
上下
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础考题，主要考查常数项变化对应的平移方向，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀就能快速解题。
【难度系数】
0.9
•练习1 把抛物线 $ y = -2x^2 $ 沿y轴平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为
巧学妙记 二次函数 $ y = ax^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 的图象间的关系，简记为“上加下减”。
$y=-2x^2+3$或$y=-2x^2-3$
。巧学妙记 二次函数 $ y = ax^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 的图象间的关系，简记为“上加下减”。
答案
练习1 $y=-2x^2+3$或$y=-2x^2-3$
解析
【分析】
首先回忆二次函数沿y轴平移的规律：沿y轴上下平移时仅改变函数的常数项，遵循“上加下减”的规则，即向上平移n个单位就在原解析式末尾加n，向下平移n个单位就在原解析式末尾减n。本题仅说明沿y轴平移3个单位，未明确平移方向，因此需要分向上平移、向下平移两种情况分别推导对应的解析式。
【解析】
解：已知原抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$，沿y轴平移分两种情况讨论：
① 若沿y轴向上平移3个单位，根据“上加下减”的平移规律，所得解析式为：
$y=-2x^2 + 3$
② 若沿y轴向下平移3个单位，根据“上加下减”的平移规律，所得解析式为：
$y=-2x^2 - 3$
综上，平移后所得抛物线对应的函数解析式为上述两种。
【答案】
$y=-2x^2+3$或$y=-2x^2-3$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题考查二次函数的上下平移变换，核心是掌握“上加下减”的平移规则，易错点是容易忽略题目未明确平移方向，漏写其中一种结果，解题时要注意全面审题，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数沿y轴平移的规律：沿y轴上下平移时仅改变函数的常数项，遵循“上加下减”的规则，即向上平移n个单位就在原解析式末尾加n，向下平移n个单位就在原解析式末尾减n。本题仅说明沿y轴平移3个单位，未明确平移方向，因此需要分向上平移、向下平移两种情况分别推导对应的解析式。
【解析】
解：已知原抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$，沿y轴平移分两种情况讨论：
① 若沿y轴向上平移3个单位，根据“上加下减”的平移规律，所得解析式为：
$y=-2x^2 + 3$
② 若沿y轴向下平移3个单位，根据“上加下减”的平移规律，所得解析式为：
$y=-2x^2 - 3$
综上，平移后所得抛物线对应的函数解析式为上述两种。
【答案】
$y=-2x^2+3$或$y=-2x^2-3$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题考查二次函数的上下平移变换，核心是掌握“上加下减”的平移规则，易错点是容易忽略题目未明确平移方向，漏写其中一种结果，解题时要注意全面审题，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
2.对于抛物线$y=ax^2 +k$，当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下.对称轴:$y$轴.顶点坐标:$(0,k)$.增减性:当$a＞0$时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而
增大
，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小
；当$a＜0$时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小
，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大
.答案
2. 增大 减小 减小 增大
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数$y=ax^2+k$的开口方向和对称轴判断增减性：首先明确该抛物线对称轴为y轴（直线$x=0$），增减性和开口方向直接相关：①当$a＞0$时抛物线开口向上，图象从左到右先降后升，因此对称轴左右侧的增减性相反；②当$a＜0$时抛物线开口向下，图象从左到右先升后降，同理可判断两侧增减性。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2+k$的对称轴为y轴：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
对称轴右侧（$x＞0$区域），$x$越大，$x^2$越大，$ax^2+k$的值越大，因此$y$随$x$的增大而增大；
对称轴左侧（$x＜0$区域），$x$越大，$x^2$越小，$ax^2+k$的值越小，因此$y$随$x$的增大而减小。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
对称轴右侧（$x＞0$区域），$x$越大，$x^2$越大，$ax^2$的值越小，$ax^2+k$的值越小，因此$y$随$x$的增大而减小；
对称轴左侧（$x＜0$区域），$x$越大，$x^2$越小，$ax^2$的值越大，$ax^2+k$的值越大，因此$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
增大；减小；减小；增大
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考查，属于概念类基础题，熟练掌握不同开口方向下二次函数的增减性规律，是学习后续更复杂二次函数性质的必备基础。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需结合二次函数$y=ax^2+k$的开口方向和对称轴判断增减性：首先明确该抛物线对称轴为y轴（直线$x=0$），增减性和开口方向直接相关：①当$a＞0$时抛物线开口向上，图象从左到右先降后升，因此对称轴左右侧的增减性相反；②当$a＜0$时抛物线开口向下，图象从左到右先升后降，同理可判断两侧增减性。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2+k$的对称轴为y轴：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
对称轴右侧（$x＞0$区域），$x$越大，$x^2$越大，$ax^2+k$的值越大，因此$y$随$x$的增大而增大；
对称轴左侧（$x＜0$区域），$x$越大，$x^2$越小，$ax^2+k$的值越小，因此$y$随$x$的增大而减小。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
对称轴右侧（$x＞0$区域），$x$越大，$x^2$越大，$ax^2$的值越小，$ax^2+k$的值越小，因此$y$随$x$的增大而减小；
对称轴左侧（$x＜0$区域），$x$越大，$x^2$越小，$ax^2$的值越大，$ax^2+k$的值越大，因此$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
增大；减小；减小；增大
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考查，属于概念类基础题，熟练掌握不同开口方向下二次函数的增减性规律，是学习后续更复杂二次函数性质的必备基础。
【难度系数】
0.9
•练习2 (1)在同一平面直角坐标系中,画出函数$y=\frac{1}{2}x^2$,$y=\frac{1}{2}x^2+3$,$y=\frac{1}{2}x^2-3$的图象.
(2)观察(1)中所画的图象,回答下面的问题:
①抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口向
②抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+3$的开口向
③抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-3$的开口向
(2)观察(1)中所画的图象,回答下面的问题:
①抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的开口向
上
,对称轴是$y$轴
,顶点坐标是$(0,0)$
;②抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+3$的开口向
上
,对称轴是$y$轴
,顶点坐标是$(0,3)$
;③抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-3$的开口向
上
,对称轴是$y$轴
,顶点坐标是$(0,-3)$
.答案
练习2 (1)略 (2)①上 $y$轴 $(0,0)$ ②上 $y$轴 $(0,3)$ ③上 $y$轴 $(0,-3)$
解析
【分析】
解决本题需先掌握二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：二次项系数$a$的正负决定开口方向，该形式的抛物线对称轴固定为$y$轴，顶点坐标为$(0,k)$。三个函数二次项系数相同，图象形状一致，可通过平移$y=\frac{1}{2}x^2$的图象得到另外两个函数图象；第二问直接对应性质填空即可。
【解析】
(1) 画图可选择两种方法：①描点法：分别对三个函数取顶点及左右对称的4~5组坐标，依次描点、连线即可得到对应图象；②平移法：先画出$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，将其向上平移3个单位得到$y=\frac{1}{2}x^2+3$的图象，向下平移3个单位得到$y=\frac{1}{2}x^2-3$的图象。
(2) 三个函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此开口均向上：
① $y=\frac{1}{2}x^2$中$k=0$，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；
② $y=\frac{1}{2}x^2+3$中$k=3$，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,3)$；
③ $y=\frac{1}{2}x^2-3$中$k=-3$，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
(1)略 (2)①上 $y$轴 $(0,0)$ ②上 $y$轴 $(0,3)$ ③上 $y$轴 $(0,-3)$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2+k$的图象特征和基本性质，熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标的判断规律，以及图象平移“上加下减”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题需先掌握二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：二次项系数$a$的正负决定开口方向，该形式的抛物线对称轴固定为$y$轴，顶点坐标为$(0,k)$。三个函数二次项系数相同，图象形状一致，可通过平移$y=\frac{1}{2}x^2$的图象得到另外两个函数图象；第二问直接对应性质填空即可。
【解析】
(1) 画图可选择两种方法：①描点法：分别对三个函数取顶点及左右对称的4~5组坐标，依次描点、连线即可得到对应图象；②平移法：先画出$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，将其向上平移3个单位得到$y=\frac{1}{2}x^2+3$的图象，向下平移3个单位得到$y=\frac{1}{2}x^2-3$的图象。
(2) 三个函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此开口均向上：
① $y=\frac{1}{2}x^2$中$k=0$，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；
② $y=\frac{1}{2}x^2+3$中$k=3$，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,3)$；
③ $y=\frac{1}{2}x^2-3$中$k=-3$，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
(1)略 (2)①上 $y$轴 $(0,0)$ ②上 $y$轴 $(0,3)$ ③上 $y$轴 $(0,-3)$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质、二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2+k$的图象特征和基本性质，熟练掌握开口方向、对称轴、顶点坐标的判断规律，以及图象平移“上加下减”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1.二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2$的图象上的一个点是(
A.$(-2,-4)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,0)$
D.$(2,-4)$
B
).A.$(-2,-4)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,0)$
D.$(2,-4)$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个点是否在二次函数图象上，核心依据是：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。因此解题时只需将各选项中点的横坐标代入给定的二次函数解析式，计算出对应的y值，再与选项中点的纵坐标对比，若二者相等则该点在函数图象上，否则不在。
【解析】
判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，验证计算得到的y值是否与点的纵坐标一致：
1. 验证选项A：将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}× (-2)^2 -2=\frac{1}{2}×4 -2=2-2=0≠-4$，故点$(-2,-4)$不在该函数图象上，A错误；
2. 验证选项B：将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}× (-2)^2 -2=0$，与纵坐标一致，故点$(-2,0)$在该函数图象上，B正确；
3. 验证选项C：将$x=0$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}×0^2 -2=-2≠0$，故点$(0,0)$不在该函数图象上，C错误；
4. 验证选项D：将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}×2^2 -2=2-2=0≠-4$，故点$(2,-4)$不在该函数图象上，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查点与函数图象的位置关系判定，掌握“代入坐标验证是否满足解析式”的方法即可快速解题，是二次函数章节的常见入门考点。
【难度系数】
0.9
要判断一个点是否在二次函数图象上，核心依据是：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。因此解题时只需将各选项中点的横坐标代入给定的二次函数解析式，计算出对应的y值，再与选项中点的纵坐标对比，若二者相等则该点在函数图象上，否则不在。
【解析】
判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，验证计算得到的y值是否与点的纵坐标一致：
1. 验证选项A：将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}× (-2)^2 -2=\frac{1}{2}×4 -2=2-2=0≠-4$，故点$(-2,-4)$不在该函数图象上，A错误；
2. 验证选项B：将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}× (-2)^2 -2=0$，与纵坐标一致，故点$(-2,0)$在该函数图象上，B正确；
3. 验证选项C：将$x=0$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}×0^2 -2=-2≠0$，故点$(0,0)$不在该函数图象上，C错误；
4. 验证选项D：将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，得$y=\frac{1}{2}×2^2 -2=2-2=0≠-4$，故点$(2,-4)$不在该函数图象上，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查点与函数图象的位置关系判定，掌握“代入坐标验证是否满足解析式”的方法即可快速解题，是二次函数章节的常见入门考点。
【难度系数】
0.9
2.下列关于二次函数$y=3x^2 -1$的图象的说法，错误的是(
A.它的对称轴是$x=0$
B.它的顶点坐标是$(0,-1)$
C.它的图象有最低点
D.在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大
D
).A.它的对称轴是$x=0$
B.它的顶点坐标是$(0,-1)$
C.它的图象有最低点
D.在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时先明确该二次函数的各项参数：$a=3＞0$，$b=0$，$k=-1$，再结合开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的相关性质，逐个判断选项即可。
【解析】
二次函数$y=3x^2-1$属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=3$，$b=0$，$k=-1$：
选项A：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=0$，即对称轴为$x=0$，A说法正确，不符合题意；
选项B：将$x=0$代入函数得$y=-1$，因此顶点坐标为$(0,-1)$，B说法正确，不符合题意；
选项C：由于$a=3＞0$，抛物线开口向上，因此图象有最低点，C说法正确，不符合题意；
选项D：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小，并非增大，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握$y=ax^2+k$的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等核心性质，逐一排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时先明确该二次函数的各项参数：$a=3＞0$，$b=0$，$k=-1$，再结合开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的相关性质，逐个判断选项即可。
【解析】
二次函数$y=3x^2-1$属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=3$，$b=0$，$k=-1$：
选项A：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=0$，即对称轴为$x=0$，A说法正确，不符合题意；
选项B：将$x=0$代入函数得$y=-1$，因此顶点坐标为$(0,-1)$，B说法正确，不符合题意；
选项C：由于$a=3＞0$，抛物线开口向上，因此图象有最低点，C说法正确，不符合题意；
选项D：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小，并非增大，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握$y=ax^2+k$的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等核心性质，逐一排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.若抛物线 $ y=2x^{m^2 -4m -3}+(m-5) $ 的顶点在x轴下方，则m的值为（
A.$ m=5 $
B.$ m=-1 $
C.$ m=5 $或 $ m=-1 $
D.$ m=-5 $
B
）.A.$ m=5 $
B.$ m=-1 $
C.$ m=5 $或 $ m=-1 $
D.$ m=-5 $
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和图象性质分两步思考：第一步，抛物线对应的函数是二次函数，因此自变量x的最高次数为2，据此列方程求出m的可能取值；第二步，该抛物线属于$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，顶点在x轴下方意味着顶点纵坐标小于0，据此对第一步得到的m值进行筛选，最终得到符合条件的结果。
【解析】
∵ 函数$y=2x^{m^2 -4m -3}+(m-5)$是抛物线，即该函数是二次函数
∴ x的次数为2，可得方程：
$m^2 -4m -3 = 2$
整理得：$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+1)=0$
解得：$m_1=5$，$m_2=-1$
又
∵ 抛物线顶点在x轴下方，该抛物线的顶点坐标为$(0, m-5)$
∴ 顶点纵坐标满足$m-5 ＜ 0$，即$m ＜ 5$
对上述解进行筛选：
当$m=5$时，$m-5=0$，顶点在x轴上，不符合题意，舍去；
当$m=-1$时，$m-5=-6 ＜ 0$，符合题意。
因此$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数基础知识点的综合考查，易错点是求出m的两个解后忽略顶点位置的限制条件直接选C，解题时要注意结合题目给出的限制条件对所得解进行验证筛选。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合二次函数的定义和图象性质分两步思考：第一步，抛物线对应的函数是二次函数，因此自变量x的最高次数为2，据此列方程求出m的可能取值；第二步，该抛物线属于$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，顶点在x轴下方意味着顶点纵坐标小于0，据此对第一步得到的m值进行筛选，最终得到符合条件的结果。
【解析】
∵ 函数$y=2x^{m^2 -4m -3}+(m-5)$是抛物线，即该函数是二次函数
∴ x的次数为2，可得方程：
$m^2 -4m -3 = 2$
整理得：$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+1)=0$
解得：$m_1=5$，$m_2=-1$
又
∵ 抛物线顶点在x轴下方，该抛物线的顶点坐标为$(0, m-5)$
∴ 顶点纵坐标满足$m-5 ＜ 0$，即$m ＜ 5$
对上述解进行筛选：
当$m=5$时，$m-5=0$，顶点在x轴上，不符合题意，舍去；
当$m=-1$时，$m-5=-6 ＜ 0$，符合题意。
因此$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数基础知识点的综合考查，易错点是求出m的两个解后忽略顶点位置的限制条件直接选C，解题时要注意结合题目给出的限制条件对所得解进行验证筛选。
【难度系数】
0.7
