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9. [2026 贵阳期中] 已知 $ a = \sqrt{3} + \sqrt{2}, b = \sqrt{3} - \sqrt{2} $，那么a与b的关系为（
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.绝对值相等
C
）A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.绝对值相等
答案
9 C 解题思路:结合选项要求,利用作差法得 $a - b = 2\sqrt{2}＞0$,可知 A 项错误;求和得 $a + b = 2\sqrt{3} ≠ 0$,可知 B 项错误;由 $ab=1$,可知 C 项正确;由于 $a + b ≠ 0$,且 $a - b ≠ 0$,可知D项错误。
A项,因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以 $a - b = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}＞0$,所以 $a＞b$,不符合题意;B项,因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以 $a + b = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} ≠ 0$,所以a与b不互为相反数,不符合题意;C项,因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以 $ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$,所以a与b互为倒数,符合题意;D项,由A项与B项的说明过程可知 $a + b ≠ 0$,且 $a - b ≠ 0$,所以a与b的绝对值不相等,不符合题意。
A项,因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以 $a - b = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}＞0$,所以 $a＞b$,不符合题意;B项,因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以 $a + b = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} ≠ 0$,所以a与b不互为相反数,不符合题意;C项,因为 $a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以 $ab=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$,所以a与b互为倒数,符合题意;D项,由A项与B项的说明过程可知 $a + b ≠ 0$,且 $a - b ≠ 0$,所以a与b的绝对值不相等,不符合题意。
10. [2025 沧州期末]若 m 为实数,在“$(\sqrt{5} + 2)□m$”的“”中添上一种运算符号(在“+”“-”“×”“÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则 m 的值不可能是 (
A.$\sqrt{5} + 2$
B.$\sqrt{5} - 2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2 - \sqrt{5}$
C
)A.$\sqrt{5} + 2$
B.$\sqrt{5} - 2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2 - \sqrt{5}$
答案
10 C 如果“”中添上的是“+”,要使运算的结果为有理数,则m可以为D项中的代数式;如果“”中添上的是“-”,要使运算的结果为有理数,则m可以为A项、B项中的代数式;如果“”中添上的是“×”,要使运算的结果为有理数,则m可以为B项、D项中的代数式;如果“”中添上的是“÷”,要使运算的结果为有理数,则m可以为A项中的代数式。综上所述,m的值不可能是C项中的代数式。
11. [2025 南阳十三中月考] 如图,从一个大正方形中裁去面积为$6\ \mathrm{cm}^2$和$15\ \mathrm{cm}^2$的两个小正方形,则留下的阴影部分的面积为 (
A.$6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}^2$
B.$21\ \mathrm{cm}^2$
C.$2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}^2$
D.$4\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}^2$
B.$21\ \mathrm{cm}^2$
C.$2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}^2$
D.$4\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$
答案
11 A 因为两个小正方形的面积分别为$15\ \mathrm{cm}^2$和$6\ \mathrm{cm}^2$,所以两个小正方形的边长分别为$\sqrt{15}\ \mathrm{cm},\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$,所以大正方形的边长为$(\sqrt{15}+\sqrt{6})\mathrm{cm}$,所以阴影部分的面积为$(\sqrt{15}+\sqrt{6})^2 -6 -15 =15+2×\sqrt{15}×\sqrt{6}+6-6-15=6\sqrt{10}(\mathrm{cm}^2)$。
12. [2026 上海期中] 计算：$(\sqrt{10} + 3)^{2026}(3 - \sqrt{10})^{2025} =$
$-3 - \sqrt{10}$
。答案
12 $-3 - \sqrt{10}$ $(\sqrt{10}+3)^{2026}(3-\sqrt{10})^{2025}=(3+\sqrt{10})^{2025}(3-\sqrt{10})^{2025}(3+\sqrt{10})=[(3+\sqrt{10})(3-\sqrt{10})]^{2025}×(3+\sqrt{10})=(-1)^{2025}×(3+\sqrt{10})=-3-\sqrt{10}$。
13. [2026苏州期末]若$\sqrt{a-2}+\sqrt{3-b}=0$，则$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$的值为
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
。答案
13 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 因为$\sqrt{a-2}+\sqrt{3-b}=0$,$\sqrt{a-2}≥0$,$\sqrt{3-b}≥0$,所以$\sqrt{a-2}=0$,$\sqrt{3-b}=0$,解得$a=2,b=3$,所以$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}+\sqrt{\frac{6}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
14. [2025怀化期末]对于任意不相等的两个数$a,b$，定义一种运算※如下：$a※b = \dfrac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，如$5※4 = \dfrac{\sqrt{5+4}}{5-4}=3$。则$(2 - \sqrt{3})※(7※5) =$
$-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
。答案
14 $-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ $(2-\sqrt{3})※(7※5)=(2-\sqrt{3})※\frac{\sqrt{7+5}}{7-5}=(2-\sqrt{3})※\frac{\sqrt{12}}{2}=(2-\sqrt{3})※\frac{2\sqrt{3}}{2}=(2-\sqrt{3})※\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}}}{2-\sqrt{3}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×(2+2\sqrt{3})}{(2-2\sqrt{3})(2+2\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4-12}=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{-8}=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$。
15. [2025长治期中] 已知 $a=2+\sqrt{5}, b=2-\sqrt{5}$，求代数式 $a^2b + ab^2$ 的值。
答案
15 解:因为 $a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5}$,
所以 $a^2b + ab^2 = ab(a + b) = (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})=(4-5)×4=-1×4=-4$。
所以 $a^2b + ab^2 = ab(a + b) = (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})=(4-5)×4=-1×4=-4$。
先阅读,后解答:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 × \sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{6}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{6}$。上述解题过程中,$\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$与$\sqrt{3} + \sqrt{2}$相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程也称为分母有理化。
(1)$\sqrt{7}$的有理化因式是________;$\sqrt{5} + 2$的有理化因式是________。(写出一个即可)
(2)将下列式子分母有理化:
①$\frac{1}{\sqrt{5}} = \_\_\_\_\_\_$;②$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \_\_\_\_\_\_$。
(3)类比(2)中②的计算结果,计算:
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}} = \_\_\_\_\_\_$。
(4)比较大小:$\frac{1}{\sqrt{11} - 3} \_\_\_\_\_\_ \frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{11}}$。(填“＞”“＜”“=”)
(5)已知整数$a,b$满足$\frac{a}{\sqrt{2} + 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$,求$a,b$的值。
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 × \sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{6}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{6}$。上述解题过程中,$\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$与$\sqrt{3} + \sqrt{2}$相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程也称为分母有理化。
(1)$\sqrt{7}$的有理化因式是________;$\sqrt{5} + 2$的有理化因式是________。(写出一个即可)
(2)将下列式子分母有理化:
①$\frac{1}{\sqrt{5}} = \_\_\_\_\_\_$;②$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \_\_\_\_\_\_$。
(3)类比(2)中②的计算结果,计算:
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}} = \_\_\_\_\_\_$。
(4)比较大小:$\frac{1}{\sqrt{11} - 3} \_\_\_\_\_\_ \frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{11}}$。(填“＞”“＜”“=”)
(5)已知整数$a,b$满足$\frac{a}{\sqrt{2} + 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$,求$a,b$的值。
答案
(1)(答案不唯一)$\sqrt{7}$ $\sqrt{5}-2$
(2)①$\frac{\sqrt{5}}{5}$;②$\sqrt{2}-1$
①$\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{1 × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{5}$;②$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =\frac{1 × (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} =\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} =\sqrt{2} - 1$。
(3) $\sqrt{2026} - 1$
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}} =\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \dots + \sqrt{2026} - \sqrt{2025} = \sqrt{2026} - 1$。
(4) ＜
$\frac{1}{\sqrt{11} - 3} = \frac{\sqrt{11} + 3}{(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)} = \frac{\sqrt{11} + 3}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{(\sqrt{13} - \sqrt{11})(\sqrt{13} + \sqrt{11})} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{2}$，因为$\frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{2} - \frac{\sqrt{11} + 3}{2} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2} ＞ 0$，所以$\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{11}} ＞ \frac{1}{\sqrt{11} - 3}$。
(5)$\frac{a}{\sqrt{2} + 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$可化为$(\sqrt{2} - 1)a - \frac{\sqrt{2}}{2}b = 3 - 2\sqrt{2}$，即$(a - \frac{1}{2}b + 2)\sqrt{2} - a - 3 = 0$，
所以$a - \frac{1}{2}b + 2 = 0$，$-a - 3 = 0$，
解得$a = -3$，$b = -2$，
所以$a$的值为$-3$，$b$的值为$-2$。
(2)①$\frac{\sqrt{5}}{5}$;②$\sqrt{2}-1$
①$\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{1 × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{5}$;②$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =\frac{1 × (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} =\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} =\sqrt{2} - 1$。
(3) $\sqrt{2026} - 1$
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}} =\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \dots + \sqrt{2026} - \sqrt{2025} = \sqrt{2026} - 1$。
(4) ＜
$\frac{1}{\sqrt{11} - 3} = \frac{\sqrt{11} + 3}{(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)} = \frac{\sqrt{11} + 3}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{(\sqrt{13} - \sqrt{11})(\sqrt{13} + \sqrt{11})} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{2}$，因为$\frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{2} - \frac{\sqrt{11} + 3}{2} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2} ＞ 0$，所以$\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{11}} ＞ \frac{1}{\sqrt{11} - 3}$。
(5)$\frac{a}{\sqrt{2} + 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}$可化为$(\sqrt{2} - 1)a - \frac{\sqrt{2}}{2}b = 3 - 2\sqrt{2}$，即$(a - \frac{1}{2}b + 2)\sqrt{2} - a - 3 = 0$，
所以$a - \frac{1}{2}b + 2 = 0$，$-a - 3 = 0$，
解得$a = -3$，$b = -2$，
所以$a$的值为$-3$，$b$的值为$-2$。
