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1. 直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角
直角三角形的两个锐角
互余
.答案
1. 互余
解析
【分析】
解题时可从三角形内角和定理入手推导：首先明确直角三角形的定义是有一个内角为直角（90°）的三角形，再结合三角形内角和为180°，就能算出两个锐角的和，再根据余角的定义即可得出结论。
【解析】
已知直角三角形有一个内角为90°，根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，因此直角三角形中两个锐角的和为：$180°-90°=90°$。
根据互余的定义：如果两个角的和为$90°$，那么这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对直角三角形核心性质的理解与记忆，是解决直角三角形相关角度计算、证明类问题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
解题时可从三角形内角和定理入手推导：首先明确直角三角形的定义是有一个内角为直角（90°）的三角形，再结合三角形内角和为180°，就能算出两个锐角的和，再根据余角的定义即可得出结论。
【解析】
已知直角三角形有一个内角为90°，根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，因此直角三角形中两个锐角的和为：$180°-90°=90°$。
根据互余的定义：如果两个角的和为$90°$，那么这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对直角三角形核心性质的理解与记忆，是解决直角三角形相关角度计算、证明类问题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
2. 直角三角形的判定
有两个角
有两个角
互余
的三角形是直角三角形。答案
2. 互余
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理与直角三角形的定义：三角形三个内角和为180°，有一个内角是90°的三角形是直角三角形。如果一个三角形有两个角的和为90°，那么剩下的第三个角的度数就是180°减去这两个角的和，结果为90°，正好满足直角三角形的判定条件，而两个角和为90°的关系就是互余，由此可确定答案。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。若三角形有两个角互余，即这两个角的度数之和为90°，则第三个角的度数为$180°-90°=90°$，属于直角，因此该三角形是直角三角形，横线处应填“互余”。
【答案】
互余
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；互余的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要对直角三角形的判定定理进行识记层面的考查，熟练掌握相关基础定义和定理就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理与直角三角形的定义：三角形三个内角和为180°，有一个内角是90°的三角形是直角三角形。如果一个三角形有两个角的和为90°，那么剩下的第三个角的度数就是180°减去这两个角的和，结果为90°，正好满足直角三角形的判定条件，而两个角和为90°的关系就是互余，由此可确定答案。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。若三角形有两个角互余，即这两个角的度数之和为90°，则第三个角的度数为$180°-90°=90°$，属于直角，因此该三角形是直角三角形，横线处应填“互余”。
【答案】
互余
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；互余的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要对直角三角形的判定定理进行识记层面的考查，熟练掌握相关基础定义和定理就能快速解答。
【难度系数】
0.9
[典例1]如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$EF // AB$，$∠ B = 39°$，则$∠ 1$的度数为（）.
A.$39°$
B.$51°$
C.$38°$
D.$52°$
A.$39°$
B.$51°$
C.$38°$
D.$52°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形条件入手，首先利用直角三角形两个锐角互余的性质，结合已知的∠B的度数计算出∠A的度数；再观察∠1和∠A的位置关系，结合EF//AB的条件，利用平行线的同位角相等的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
已知$∠ B=39°$，代入得：
$∠ A = 90° - 39° = 51°$
∵$EF// AB$，∠1和∠A是直线EF、AB被AC所截形成的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
$∠ 1 = ∠ A = 51°$
通过分析，选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，综合考查了直角三角形的角度计算和平行线的性质，解题的关键是找到待求角和已知角之间的等量关系，熟练掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的直角三角形条件入手，首先利用直角三角形两个锐角互余的性质，结合已知的∠B的度数计算出∠A的度数；再观察∠1和∠A的位置关系，结合EF//AB的条件，利用平行线的同位角相等的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
已知$∠ B=39°$，代入得：
$∠ A = 90° - 39° = 51°$
∵$EF// AB$，∠1和∠A是直线EF、AB被AC所截形成的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
$∠ 1 = ∠ A = 51°$
通过分析，选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，综合考查了直角三角形的角度计算和平行线的性质，解题的关键是找到待求角和已知角之间的等量关系，熟练掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
[举一反三]在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=2∠ B$，则$∠ A$的度数是(
A.$45°$
B.$30°$
C.$90°$
D.$60°$
D
).A.$45°$
B.$30°$
C.$90°$
D.$60°$
答案
1. 【举一反三】D
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：题目给出△ABC是直角三角形，∠C=90°，且∠A=2∠B。首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，结合给出的∠A和∠B的倍数关系，将∠A用含∠B的式子替换，即可先求出∠B的度数，再进一步求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
又
∵ ∠A = 2∠B，代入上式可得：
2∠B + ∠B = 90°
即3∠B = 90°，解得∠B=30°
∴ ∠A = 2∠B = 2×30° = 60°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，属于对核心基础概念的直接应用，只要掌握直角三角形的内角性质，结合简单的代数代换即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理已知条件：题目给出△ABC是直角三角形，∠C=90°，且∠A=2∠B。首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，结合给出的∠A和∠B的倍数关系，将∠A用含∠B的式子替换，即可先求出∠B的度数，再进一步求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）
又
∵ ∠A = 2∠B，代入上式可得：
2∠B + ∠B = 90°
即3∠B = 90°，解得∠B=30°
∴ ∠A = 2∠B = 2×30° = 60°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，属于对核心基础概念的直接应用，只要掌握直角三角形的内角性质，结合简单的代数代换即可快速求解。
【难度系数】
0.9
典例1
答案B
解析 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ C=90°$，$∠ B=39°$，$\therefore ∠ A=90°-∠ B=51°$. $\because EF// AB$，$\therefore ∠ 1=∠ A$，$\therefore ∠ 1=51°$. 故选B.
$∠ ACD=∠ B$.求证:$△ CDB$是直角三角形.
答案B
解析 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ C=90°$，$∠ B=39°$，$\therefore ∠ A=90°-∠ B=51°$. $\because EF// AB$，$\therefore ∠ 1=∠ A$，$\therefore ∠ 1=51°$. 故选B.
$∠ ACD=∠ B$.求证:$△ CDB$是直角三角形.
答案
证明：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
又∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠A + ∠ACD) = 90°，
∴ ∠CDB = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ △CDB是直角三角形。
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
又∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠A + ∠ACD) = 90°，
∴ ∠CDB = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ △CDB是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△CDB是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个90°的内角。首先从已知的Rt△ABC入手，利用直角三角形两锐角互余得到∠A与∠B的和为90°，再结合给出的∠ACD=∠B的条件做等量代换，推导∠A与∠ACD的和，之后借助三角形内角和定理求出∠ADC的度数，最后利用邻补角的性质得到∠CDB的度数，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
又
∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠A + ∠ACD) = 90°，
∴ ∠CDB = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ △CDB是直角三角形。
【答案】
△CDB是直角三角形，证明过程如下：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
又
∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠A + ∠ACD) = 90°，
∴ ∠CDB = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ △CDB是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，侧重考察直角三角形相关性质和判定的应用，解题关键是找准角之间的等量关系，通过代换推导得到直角，是巩固角度推导逻辑、夯实直角三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
要证明△CDB是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个90°的内角。首先从已知的Rt△ABC入手，利用直角三角形两锐角互余得到∠A与∠B的和为90°，再结合给出的∠ACD=∠B的条件做等量代换，推导∠A与∠ACD的和，之后借助三角形内角和定理求出∠ADC的度数，最后利用邻补角的性质得到∠CDB的度数，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
又
∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠A + ∠ACD) = 90°，
∴ ∠CDB = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ △CDB是直角三角形。
【答案】
△CDB是直角三角形，证明过程如下：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
又
∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ADC = 180° - (∠A + ∠ACD) = 90°，
∴ ∠CDB = 180° - ∠ADC = 90°，
∴ △CDB是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，侧重考察直角三角形相关性质和判定的应用，解题关键是找准角之间的等量关系，通过代换推导得到直角，是巩固角度推导逻辑、夯实直角三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
[举一反三]在$△ ABC$中,若$∠ A=42°$,$∠ B=48°$,则$△ ABC$是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
).A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
2. 【举一反三】B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。已知△ABC中两个内角的度数，我们可以先计算出第三个内角的度数，再结合三角形按角分类的标准（三个角都是锐角为锐角三角形，有一个角是直角为直角三角形，有一个角是钝角为钝角三角形）即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=42°$，$∠ B=48°$代入得：
$∠ C = 180° - 42° - 48° = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、三角形的分类
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对三角形内角和的运用和三角形分类规则的掌握，计算难度低，熟练掌握基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。已知△ABC中两个内角的度数，我们可以先计算出第三个内角的度数，再结合三角形按角分类的标准（三个角都是锐角为锐角三角形，有一个角是直角为直角三角形，有一个角是钝角为钝角三角形）即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=42°$，$∠ B=48°$代入得：
$∠ C = 180° - 42° - 48° = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、三角形的分类
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对三角形内角和的运用和三角形分类规则的掌握，计算难度低，熟练掌握基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.9
