1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B = 70°$，则$∠ A$的度数为().

A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$

1. A

【分析】
解题时首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，据此可得到∠A与∠B的和为90°；结合题目给出的∠A与∠B的差为70°，将两个关系式联立，通过加减消元即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又已知$∠ A - ∠ B = 70°$ ②
①+②得：$2∠ A = 160°$
解得$∠ A = 80°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础类题型，核心考查直角三角形两锐角互余的性质，结合角度和差关系即可求解，计算难度低，掌握相关基础性质就能快速答题。
【难度系数】
0.9

2.(2025·内蒙古包头模拟)已知$AB// CD$，点E在直线AB上，点F,G在直线CD上，$EG⊥ EF$于点E，$∠ AEF=40°$，则$∠ EGF$的度数是().


A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

2. C

【分析】
解题时首先从已知条件出发：1. 由AB//CD可联想到平行线的性质，得到内错角∠AEF与∠EFG相等；2. 由EG⊥EF可知△EFG是直角三角形，∠FEG=90°，再利用直角三角形两锐角互余的性质，代入角度计算即可得到∠EGF的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得
$∠ EFG = ∠ AEF = 40°$，
∵EG⊥EF，
∴$∠ FEG = 90°$，
在$Rt△ EFG$中，根据直角三角形的两个锐角互余，得
$∠ EGF + ∠ EFG = 90°$，
∴$∠ EGF = 90° - 40° = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是结合平行线的性质转化相等角，再利用直角三角形的角的关系计算未知角，解题时注意找准平行线对应的内错角，避免找错角导致计算错误。
【难度系数】
0.8

3. 下列选项中，不能构成直角三角形的是().

A.$∠ A=∠ B=3∠ C$
B.$∠ A+∠ B=∠ C$
C.$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$

3. A

【分析】
本题考查直角三角形的判定，核心依据是三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角为90°。解题思路为：对每个选项，结合给出的角度关系，利用内角和定理计算三个内角的度数，判断是否存在90°的角，不存在的即为符合题意的选项。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析选项：
选项A：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，代入内角和公式得：
$3∠ C + 3∠ C + ∠ C = 180°$
$7∠ C=180°$，解得$∠ C=\frac{180°}{7}\approx25.7°$，$∠ A=∠ B\approx77.1°$，三个角均不等于90°，不能构成直角三角形。
选项B：已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得：
$∠ C + ∠ C =180°$，解得$∠ C=90°$，能构成直角三角形。
选项C：已知$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$，代入内角和公式得：
$\frac{1}{2}∠ C + \frac{1}{2}∠ C + ∠ C=180°$，$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，能构成直角三角形。
选项D：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：
$x+2x+3x=180°$，$6x=180°$，解得$x=30°$，$∠ C=3x=90°$，能构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，通过代入角度关系计算即可快速判断是否为直角三角形。
【难度系数】
0.85

4.如图，$CE ⊥ AF$，垂足为$E$，$CE$与$BF$相交于点$D$，$∠ F = 40°$，$∠ C = 30°$，求$∠ EDF$和$∠ DBC$的度数.

4. 解 $\because CE⊥AF,\therefore ∠DEF=90°$,
$\therefore ∠EDF=90°-∠F=90°-40°=50°$.
$\because ∠C+∠DBC=∠F+∠DEF$,
$\therefore 30°+∠DBC=40°+90°,\therefore ∠DBC=100°$.

【分析】
解题可分两步进行：①求∠EDF的度数：已知CE⊥AF，可得△DEF是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去已知的∠F的度数即可算出∠EDF；②求∠DBC的度数：先利用对顶角相等得到∠CDB与∠EDF相等，再在△BCD中根据三角形内角和为180°，减去已知的∠C和∠CDB的度数，就能求出∠DBC的度数。
【解析】
解：$\because CE⊥ AF$，垂足为$E$，
$\therefore ∠ DEF=90°$，
在$Rt△ DEF$中，$∠ EDF+∠ F=90°$，
$\therefore ∠ EDF=90°-∠ F=90°-40°=50°$。
$\because ∠ EDF$与$∠ CDB$是对顶角，
$\therefore ∠ CDB=∠ EDF=50°$，
在$△ BCD$中，$∠ C+∠ CDB+∠ DBC=180°$，
$\therefore ∠ DBC=180°-∠ C-∠ CDB=180°-30°-50°=100°$。
【答案】
$∠ EDF=50°$，$∠ DBC=100°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是基础角度计算类题目，解题的核心是先通过垂直条件得到直角，再找准所求角所在的三角形，结合相关角度性质转化已知条件即可求解，解题时要注意不要混淆角度之间的对应关系。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，$FD ⊥ BC$，$DE ⊥ AB$，$∠ AFD = 152°$，求$∠ EDF$的度数.

5. 解 $\because ∠AFD=152°,\therefore ∠DFC=28°$.
$\because ∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB$,
$\therefore ∠EDB=∠DFC=28°,\therefore ∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-28°-90°=62°$.

【分析】
要求∠EDF的度数，首先观察到∠EDB、∠EDF、∠FDC共同构成平角∠BDC，已知FD⊥BC可得∠FDC=90°，因此只需要求出∠EDB的度数即可。首先利用邻补角的性质，由已知∠AFD=152°求出∠DFC的度数；再结合FD⊥BC、DE⊥AB可得△BDE和△CDF都是直角三角形，且∠B=∠C，根据等角的余角相等可推出∠EDB=∠DFC，最后利用平角的和为180°即可计算出∠EDF的度数。
【解析】
解：
∵∠AFD=152°，∠AFD+∠DFC=180°（邻补角的和为180°），
∴∠DFC=180°-152°=28°。
∵FD⊥BC，DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=∠FDC=90°（垂直的定义），
∴在Rt△BDE中，∠B+∠EDB=90°（直角三角形两锐角互余），
在Rt△CDF中，∠C+∠DFC=90°（直角三角形两锐角互余），
又
∵∠B=∠C（已知），
∴∠EDB=∠DFC=28°（等角的余角相等）。
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（平角的定义），
∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-28°-90°=62°。
【答案】
62°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等角的余角相等；平角的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用等角的余角相等实现角度的转化，结合垂直、平角的性质即可完成求解，解题时注意理清各角度之间的位置关系和数量关系即可。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ BA$,交$BA$的延长线于点$D$,$DE ⊥ AC$于点$E$.

(1)如图①,若$∠ B=35°$,$∠ CDE=60°$,求$∠ ACB$的度数.
(2)如图②,若$AC$平分$∠ BCD$,$BF ⊥ AC$交$CA$的延长线于点$F$,直接写出与$∠ ACB$相等的角($∠ ACB$除外).

6. 解 (1)如题图①，
$\because CD⊥BD,\therefore ∠BDC=90°$.
$\because ∠B=35°,\therefore ∠BCD=90°-∠B=55°$.
$\because DE⊥AC$于点E,$\therefore ∠DEC=90°$.
$\because ∠EDC=60°,\therefore ∠DCE=90°-∠EDC=30°$,
$\therefore ∠ACB=∠BCD-∠DCE=55°-30°=25°$.
(2)$∠DCA,∠ADE,∠FBA$.

【分析】
（1）要求∠ACB的度数，观察图形可得∠ACB=∠BCD-∠DCE，因此只需分别求出∠BCD和∠DCE的度数即可。已知CD⊥BA，△BCD为直角三角形，结合∠B的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BCD；已知DE⊥AC，△CDE为直角三角形，结合∠CDE的度数，同理可求出∠DCE，最后作差即可得到∠ACB的度数。
（2）首先根据角平分线的定义，AC平分∠BCD可直接得到∠ACB=∠DCA；再结合“同角（或等角）的余角相等”的性质，分别结合DE⊥AC、CD⊥BA和BF⊥AC、CD⊥BA的条件，推导其余和∠ACB相等的角即可。
【解析】
（1）如图①，
$\because CD⊥ BD,\therefore ∠ BDC=90°$，
$\because ∠ B=35°,\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-35°=55°$，
$\because DE⊥ AC$于点$E,\therefore ∠ DEC=90°$，
$\because ∠ CDE=60°,\therefore ∠ DCE=90°-∠ CDE=90°-60°=30°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ BCD-∠ DCE=55°-30°=25°$。
（2）$\because AC$平分$∠ BCD,\therefore ∠ ACB=∠ DCA$；
$\because CD⊥ BA,DE⊥ AC,\therefore ∠ ADE+∠ DAE=90°,∠ DCA+∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ DCA=∠ ACB$；
$\because BF⊥ AC,CD⊥ BA,\therefore ∠ FBA+∠ BAF=90°,∠ DCA+∠ CAD=90°$，
又$\because ∠ BAF=∠ CAD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ FBA=∠ DCA=∠ ACB$。
【答案】
（1）$\boxed{25°}$；（2）$\boxed{∠DCA,∠ADE,∠FBA}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；同角的余角相等
【点评】
本题主要考查直角三角形的性质和角平分线的应用，解题的核心是熟练运用直角三角形两锐角互余的性质进行角度推导，第二问需要结合余角的性质多角度寻找相等的角，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75