6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE//BC,EF//AB。若AD=2BD,则$\frac{CF}{BF}$的值为。

6.$\frac{1}{2}$

【分析】
本题给出两组平行线，可利用平行线分线段成比例定理求解：第一步先根据DE//BC，结合已知AD=2BD，求出AE与EC的比值；第二步再根据EF//AB，得到CF与BF的比和CE与AE的比相等，代入比值即可求出结果。
【解析】
解：
∵ $DE// BC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
已知 $AD=2BD$，即 $\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}$，即 $\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2}$。
又
∵ $EF// AB$，
同理根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$，
∴ $\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例的运算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是灵活运用平行线分线段成比例定理找到线段间的比例关系，只要熟练掌握定理内容，就能快速推导得出结果。
【难度系数】
0.8

7.如图，E是$□ ABCD$的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$，EF=2，BF=1.5，求DF，BC的长。

7. 解:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AD// BC,\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{EF}{DF}$,
$\therefore \frac{1}{3}=\frac{2}{DF},\therefore DF=6$。
又$\because CD// BE$,
$\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{EF}{DF},\therefore \frac{1.5}{CF}=\frac{2}{6},\therefore CF=4.5$,
$\therefore BC=CF+BF=6$。

【分析】
解题时首先结合已知的平行四边形条件，回忆平行四边形对边平行的性质：①由AD//BC，可得平行线截线段成比例，即BE与AB的比等于EF与DF的比，代入已知数值即可先求出DF的长度；②再由CD//BE，同理可得BF与CF的比等于EF与DF的比，代入已求出的DF长度可算出CF的长度，最后利用BC=BF+CF即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，根据平行线分线段成比例可得$\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{DF}$，
将$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$，EF=2代入得：$\frac{1}{3}=\frac{2}{DF}$，解得DF=6。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//BE，
同理可得$\frac{BF}{CF}=\frac{EF}{DF}$，
将BF=1.5，EF=2，DF=6代入得：$\frac{1.5}{CF}=\frac{2}{6}$，解得CF=4.5，
∴ BC=CF+BF=4.5+1.5=6。
【答案】
DF=6，BC=6
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 平行线分线段成比例
3. 线段和差计算
【点评】
本题是常见的几何线段计算类题型，解题核心是利用平行四边形的平行性质得到成比例线段，列比例式时要注意对应线段的位置不要混淆，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在$△ ABC$中,D为边BC的中点,E为边AC上的任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下事实:
(1)当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$时,有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1}$(如图①);
(2)当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}$时,有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{2}{2+2}$(如图②);
(3)当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}=\frac{1}{1+3}$时,有$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{5}=\frac{2}{2+3}$(如图③)。
如图④,当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$时,请你猜想$\frac{AO}{AD}$的一般结论,并证明你的结论。(其中n为正整数)

8. 解:猜想$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。
证明:过点D作$DF// BE$,交AC于点F(图略),
$\therefore AO:AD=AE:AF$。
$\because D$为边BC的中点,$\therefore CF=EF=\frac{1}{2}EC$。
$\because \frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n},\therefore AE:(AE+2EF)=1:(1+n)$,
$\therefore AE:EF=2:n$,
$\therefore AE:AF=2:(n+2),即\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。

【分析】
首先从题干给出的3组特例找对应规律：当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$时，n分别取1、2、3，对应的$\frac{AO}{AD}$分别为$\frac{2}{2+1}$、$\frac{2}{2+2}$、$\frac{2}{2+3}$，可初步猜想$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。证明时需利用平行线分线段成比例的性质，结合D是BC中点的条件，过D作BE的平行线，将AD上的比例关系转化为AC上的比例关系，再通过线段比例推导验证猜想即可。
【解析】
猜想结论：$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$。
证明：过点$D$作$DF// BE$，交$AC$于点$F$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AO}{AD}=\frac{AE}{AF}$。
$\because D$为$BC$的中点，$DF// BE$，
$\therefore F$是$EC$的中点，即$CF=EF=\frac{1}{2}EC$。
$\because \frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$，$\therefore \frac{AE}{AE+EC}=\frac{1}{1+n}$，
将$EC=2EF$代入上式得：$\frac{AE}{AE+2EF}=\frac{1}{1+n}$，
交叉相乘整理得：$n· AE=2EF$，即$\frac{AE}{EF}=\frac{2}{n}$。
则$AF=AE+EF=\frac{2}{n}EF+EF=\frac{n+2}{n}EF$，
$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{\frac{2}{n}EF}{\frac{n+2}{n}EF}=\frac{2}{n+2}$，
即$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$，猜想成立。
【答案】
$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{n+2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中位线性质，规律探究
【点评】
本题是几何规律探究类典型题，既需要从特殊案例中归纳共性得到一般结论，也需要通过构造平行辅助线完成几何证明，能同时考查归纳推理能力和几何比例推导能力。
【难度系数】
0.6