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7. (温州中考改编)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的长方形由两个这样的图形拼成,若$a = 3,b = 4$,则该长方形的面积为______.
答案
24 解析：设小正方形的边长为 x，∵ $a = 3$，$b = 4$，∴ $AB = 3 + 4 = 7$。在 $Rt△ABC$ 中，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即 $(3 + x)^{2}+(x + 4)^{2}=7^{2}$，整理得 $x^{2}+7x - 12 = 0$，∴ $x^{2}+7x = 12$。又∵ 长方形面积为 $(3 + x)(x + 4)=x^{2}+7x + 12 = 12 + 12 = 24$，∴ 该长方形的面积为 24。
8. (2025·南京期中)如图,在$\triangle ABD$中,$AC\perp BD$于点C,点E为AC上一点,连接BE,DE,DE的延长线交AB于点F,已知$DE = AB$,$\angle CAD = 45^{\circ}$.
(1)求证:$DF\perp AB$.
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明.已知:如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = a,AC = b,AB = c$,求证:$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)求证:$DF\perp AB$.
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明.已知:如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = a,AC = b,AB = c$,求证:$a^2 + b^2 = c^2$.
答案
(1) ∵ $AC⊥BD$，$∠CAD = 45^{\circ }$，∴ $AC = DC$，$∠ACB = ∠DCE = 90^{\circ }$。在 $Rt△ABC$ 与 $Rt△DEC$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AC = DC\\ AB = DE\end{array}\right.$，∴ $Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)$，
∴ $∠BAC = ∠EDC$。∵ $∠EDC + ∠CED = 90^{\circ }$，$∠CED = ∠AEF$，
∴ $∠AEF + ∠BAC = 90^{\circ }$，∴ $∠AFE = 90^{\circ }$，∴ $DF⊥AB$。
(2) 由 $Rt△ABC≌Rt△DEC$，得 $BC = EC = a$，$AB = DE = c$，$AC = CD = b$。
∵ $S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$，∴ $\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}=\frac {1}{2}\cdot c\cdot DF-\frac {1}{2}\cdot c\cdot EF=\frac {1}{2}\cdot c\cdot (DF - EF)=\frac {1}{2}\cdot c\cdot DE=\frac {1}{2}c^{2}$，∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
∴ $∠BAC = ∠EDC$。∵ $∠EDC + ∠CED = 90^{\circ }$，$∠CED = ∠AEF$，
∴ $∠AEF + ∠BAC = 90^{\circ }$，∴ $∠AFE = 90^{\circ }$，∴ $DF⊥AB$。
(2) 由 $Rt△ABC≌Rt△DEC$，得 $BC = EC = a$，$AB = DE = c$，$AC = CD = b$。
∵ $S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$，∴ $\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}=\frac {1}{2}\cdot c\cdot DF-\frac {1}{2}\cdot c\cdot EF=\frac {1}{2}\cdot c\cdot (DF - EF)=\frac {1}{2}\cdot c\cdot DE=\frac {1}{2}c^{2}$，∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
9. 【问题情境】
小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积= 小正方形的面积+4个直角三角形的面积.
从而得数学等式:$(a + b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab$,化简证得勾股定理:$a^2 + b^2 = c^2$.
【初步运用】
(1)如图①,若$b = 2a$,则小正方形面积:大正方形面积= ______.
(2)现将图①中上方的两个直角三角形向内折叠,如图②,若$a = 4,b = 6$,此时空白部分的面积为______.
(3)如图③,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成风车状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,$OC = 3$,求该风车状图案的面积.
(4)如图④,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,若$S_1 + S_2 + S_3 = 40$,则$S_2$= ______.
【迁移运用】
如果用三张含$60^{\circ}$角的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢?带着这个疑问,小丽拼出图⑤的等边三角形,仿照勾股定理的验证,发现含$60^{\circ}角的三角形三边a,b,c$之间的关系为______.
(知识补充:如图⑥,含$60^{\circ}$角的直角三角形,$60^{\circ}角的对边y:斜边x = 定值k$)
小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积= 小正方形的面积+4个直角三角形的面积.
从而得数学等式:$(a + b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab$,化简证得勾股定理:$a^2 + b^2 = c^2$.
【初步运用】
(1)如图①,若$b = 2a$,则小正方形面积:大正方形面积= ______.
(2)现将图①中上方的两个直角三角形向内折叠,如图②,若$a = 4,b = 6$,此时空白部分的面积为______.
(3)如图③,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成风车状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,$OC = 3$,求该风车状图案的面积.
(4)如图④,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,若$S_1 + S_2 + S_3 = 40$,则$S_2$= ______.
【迁移运用】
如果用三张含$60^{\circ}$角的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢?带着这个疑问,小丽拼出图⑤的等边三角形,仿照勾股定理的验证,发现含$60^{\circ}角的三角形三边a,b,c$之间的关系为______.
(知识补充:如图⑥,含$60^{\circ}$角的直角三角形,$60^{\circ}角的对边y:斜边x = 定值k$)
答案
【初步运用】(1) $5:9$ (2) 28
(3) $24÷4 = 6$。设 $AC = x$，依题意有 $(x + 3)^{2}+3^{2}=(6 - x)^{2}$，解得 $x = 1$。
∴ 该风车状图案的面积为 $\frac {1}{2}×(3 + 1)×3×4=\frac {1}{2}×4×3×4 = 24$。
(4) $\frac {40}{3}$ 解析：将正方形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形其中一个面积设为 y。∵ 正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{1}+S_{2}+S_{3}=40$，∴ $S_{1}=8y + x$，$S_{2}=4y + x$，$S_{3}=x$，∴ $S_{1}+S_{2}+S_{3}=3x + 12y = 40$，∴ $x + 4y=\frac {40}{3}$，∴ $S_{2}=x + 4y=\frac {40}{3}$。
【迁移运用】$a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$ 解析：由题意知，大等边三角形的面积 = 三个全等三角形的面积 + 小等边三角形的面积，可得 $\frac {1}{2}(a + b)×k(a + b)=3×\frac {1}{2}×b×ka+\frac {1}{2}×c×ck$，∴ $(a + b)^{2}=3ab + c^{2}$，∴ $a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$。
(3) $24÷4 = 6$。设 $AC = x$，依题意有 $(x + 3)^{2}+3^{2}=(6 - x)^{2}$，解得 $x = 1$。
∴ 该风车状图案的面积为 $\frac {1}{2}×(3 + 1)×3×4=\frac {1}{2}×4×3×4 = 24$。
(4) $\frac {40}{3}$ 解析：将正方形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形其中一个面积设为 y。∵ 正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{1}+S_{2}+S_{3}=40$，∴ $S_{1}=8y + x$，$S_{2}=4y + x$，$S_{3}=x$，∴ $S_{1}+S_{2}+S_{3}=3x + 12y = 40$，∴ $x + 4y=\frac {40}{3}$，∴ $S_{2}=x + 4y=\frac {40}{3}$。
【迁移运用】$a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$ 解析：由题意知，大等边三角形的面积 = 三个全等三角形的面积 + 小等边三角形的面积，可得 $\frac {1}{2}(a + b)×k(a + b)=3×\frac {1}{2}×b×ka+\frac {1}{2}×c×ck$，∴ $(a + b)^{2}=3ab + c^{2}$，∴ $a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$。
