1. 如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是 ()

A. $4\pi$
B. $8\pi$
C. $12\pi$
D. $16\pi$

B
技法点拨
如图，①②③是用直角三角形的三条边构造的几种图形，$S_{1}+S_{2}=S_{3}$均成立。

2. (2025·商丘校级月考)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的证明,后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.如图,下列式子中,可以用来表示从图①到图②的变化的是 ()

A. $4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^2 = c^2$
B. $\frac{1}{2}(a + b)^2 = 2(\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2)$
C. $4ab+(b - a)^2 = c^2$
D. $a^2 + ab + a×(b - a) = c^2$

A

3. (2024·南通中考改编)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$.若小正方形面积为5,$(m + n)^2 = 21$,则大正方形面积为______.

13

4. 如图,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3,S_4$,则$S_1 + S_4$= ______.

1.23

5. 小明用4个图①中的长方形组成图②,其中四边形ABCD,EFGH,MNPQ都是正方形,证明:$a^2 + b^2 = c^2$.

∵ 四边形 ABCD，EFGH，MNPQ 都是正方形，∴ $S_{正方形ABCD}=(a+b)^{2}$，$S_{正方形EFGH}=c^{2}$，$S_{△BEF}=\frac {1}{2}ab$。∵ $S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{△BEF}$，
∴ $(a+b)^{2}=c^{2}+4×\frac {1}{2}×ab$，∴ $a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$，∴ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

6. 新考法(2024·常州模拟)如图,四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH,连接AC,分别交EF,GH于点M,N.已知$AH = 3DH$,正方形ABCD的面积为24,则图中阴影部分的面积之和为 ()

A. 4
B. 4.5
C. 4.8
D. 5

C 解析：∵ $S_{正方形ABCD}=24$，∴ $AB^{2}=24$，设 $DH=x$，则 $AH=3DH=3x$，∴ $x^{2}+9x^{2}=24$，∴ $x^{2}=\frac {24}{10}=\frac {12}{5}$。根据题意可知 $AE=CG=DH=x$，$CF=AH=3x$，∴ $FE=FG=CF - CG=3x - x=2x$，∴ $S_{△FGN}=2S_{△CGN}$。∵ $S_{△AEM}=S_{△CGN}$，∴ $S_{△FGN}=S_{△AEM}+S_{△CGN}$，∴ 阴影部分的面积之和为 $S_{梯形NGFM}=\frac {1}{2}(NG + FM)\cdot FG=\frac {1}{2}(EM + MF)\cdot FG=\frac {1}{2}FE\cdot FG=\frac {1}{2}\cdot (2x)^{2}=2x^{2}=\frac {24}{5}=4.8$。故选 C。