18. (8分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 的中点,$E$ 是 $AD$ 的中点,过点 $A$ 作 $AF// BC$ 交 $CE$ 的延长线于点 $F$。
(1)求证：$AF = BD$；
(2)连结 $BF$,若 $AB = AC$,求证：四边形 $ADBF$ 是矩形。

(1)∵AF//BC,∴∠AFE=∠DCE.∵点E为AD的中点，∴AE=DE,在△EAF和△EDC中,$\begin{cases}∠AFE=∠DCE,\\∠AEF=∠DEC,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△EAF≌△EDC(AAS),∴AF=CD.∵CD=BD,∴AF=BD.
(2)∵AF//BD,AF=BD,∴四边形ADBF是平行四边形.∵AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90°,∴平行四边形ADBF是矩形.

19. (8分)如图,已知在 $\square ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,$E$ 是 $BD$ 延长线上的点,且 $\triangle ACE$ 是等边三角形。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
(2)若 $\angle AED = 2\angle EAD$,求证：四边形 $ABCD$ 是正方形。

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.又△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC,∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC,∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°.∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴四边形ABCD是正方形.

20. (8分)【阅读发现】如图①,在正方形 $ABCD$ 的外侧,作两个等边三角形 $ABE$ 和 $ADF$,连结 $ED$ 与 $FC$ 交于点 $M$,则图中 $\triangle ADE\cong\triangle DCF$,可知 $ED = FC$,求得 $\angle DMC= $______。
【拓展应用】如图②,在矩形 $ABCD(AB＞BC)$ 的外侧,作两个等边三角形 $ABE$ 和 $ADF$,连结 $ED$ 与 $FC$ 交于点 $M$。
(1)求证：$ED = FC$；
(2)若 $\angle ADE = 20^{\circ}$,求 $\angle DMC$ 的度数。

【阅读发现】90°
【拓展应用】
(1)∵△ABE为等边三角形,∴∠EAB=60°,EA=AB.∵△ADF为等边三角形，∴∠FDA=60°,AD=FD.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°,DC=AB.∴EA=DC.∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°,∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°,∴∠EAD=∠CDF.在△EAD和△CDF中,$\begin{cases}AE=DC,\\∠EAD=∠CDF,\\AD=DF,\end{cases}$∴△EAD≌△CDF,∴ED=FC.
(2)∵△EAD≌△CDF,∴∠ADE=∠DFC=20°,
∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°.