21. (10分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$MN// BD$ 交 $AC$ 于点 $P$,$\angle ACB$,$\angle ACD$ 的平分线分别交 $MN$ 于点 $E$,$F$。
(1)求证：$PE = PF$。
(2)当 $MN$ 与 $AC$ 的交点 $P$ 在什么位置时,四边形 $AECF$ 是矩形？说明理由。
(3)当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $AECF$ 是正方形？(不需要证明)

(1)∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE.∵MN//BC,∴∠PEC=∠BCE,∴∠ACE=∠PEC,∴PE=PC.同理可得PF=PC,∴PE=PF.
(2)当P是AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:∵PA=PC,PF=PE,∴四边形AECF是平行四边形.∵PE=PC,∴AC=EF,∴四边形AECF是矩形.
(3)当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形.

22. (10分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $AB$ 上一点,$DE\perp AC$ 于点 $E$,$F$ 是 $AD$ 的中点,$FG\perp BC$ 于点 $G$,与 $DE$ 交于点 $H$,若 $FG = AF$,$AG$ 平分 $\angle CAB$,连结 $GE$,$GD$。
(1)求证：$\triangle ECG\cong\triangle GHD$；
(2)小亮同学经过探究发现：$AD = AC + EC$,请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若 $\angle B = 30^{\circ}$,判定四边形 $AEGF$ 是否为菱形,并说明理由。

(1)∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA.∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,∴∠CAG=∠FGA,∴AC//FG.∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.∵FG⊥BC,∴DE//BC,∴AC⊥BC,∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.∵F是AD的中点,FG//AE,∴H是ED的中点,∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.
(2)如图,过点G作GP⊥AB于点P,
∴GC=GP,
而AG=AG,

∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP.
由(1)可得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG,
∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)四边形AEGF是菱形.理由:∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,∴AE=$\frac{1}{2}$AD,∴AE=AF=FG,由(1)得AE//FG,∴四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形.