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1 依据所标数据判断，下列平行四边形一定为菱形的是（
C
）答案
1.C 【解析】
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对角线互相平分,故 A 不一定是菱形.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边相等,故 B 不一定是菱形. 根据三角形的内角和定理可得 180°-70°-55° = 55°,
∴ 邻边相等.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 该四边形是菱形,故 C 是菱形.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边平行,
∴ 内错角相等,故 D 不一定是菱形. 故选 C.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对角线互相平分,故 A 不一定是菱形.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边相等,故 B 不一定是菱形. 根据三角形的内角和定理可得 180°-70°-55° = 55°,
∴ 邻边相等.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 该四边形是菱形,故 C 是菱形.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边平行,
∴ 内错角相等,故 D 不一定是菱形. 故选 C.
解析
【分析】
解题前首先明确判定规则：要判定平行四边形是菱形，需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”两个条件之一，再结合平行四边形的基础性质逐个分析选项：首先排除仅符合平行四边形通用性质的选项，再对含角度的选项利用三角形内角和、等角对等边的性质，判断是否存在邻边相等，进而验证是否符合菱形判定条件。
【解析】
逐个分析各选项：
选项A：平行四边形的对角线天生互相平分，仅给出一条对角线的两段长度均为3，无法证明对角线互相垂直，也不能证明邻边相等，因此不一定是菱形；
选项B：平行四边形的对边天生相等，图中标注的两条长度为3的边是平行四边形的对边，无法证明邻边相等，因此不一定是菱形；
选项C：先计算平行四边形被对角线分割出的三角形的第三个内角：$180°-70°-55°=55°$，可知该三角形有两个内角为$55°$，根据等角对等边，可得平行四边形的一组邻边相等。根据菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此该平行四边形一定是菱形；
选项D：平行四边形对边平行，内错角相等，图中标注的两个$65°$是天然相等的内错角，无法证明邻边相等，因此不一定是菱形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查菱形的判定，解题时要注意区分平行四边形的通用性质和菱形的特殊判定条件，结合三角形的角度、边长关系分析即可快速解题，熟练掌握菱形判定定理是做对本题的核心。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确判定规则：要判定平行四边形是菱形，需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”两个条件之一，再结合平行四边形的基础性质逐个分析选项：首先排除仅符合平行四边形通用性质的选项，再对含角度的选项利用三角形内角和、等角对等边的性质，判断是否存在邻边相等，进而验证是否符合菱形判定条件。
【解析】
逐个分析各选项：
选项A：平行四边形的对角线天生互相平分，仅给出一条对角线的两段长度均为3，无法证明对角线互相垂直，也不能证明邻边相等，因此不一定是菱形；
选项B：平行四边形的对边天生相等，图中标注的两条长度为3的边是平行四边形的对边，无法证明邻边相等，因此不一定是菱形；
选项C：先计算平行四边形被对角线分割出的三角形的第三个内角：$180°-70°-55°=55°$，可知该三角形有两个内角为$55°$，根据等角对等边，可得平行四边形的一组邻边相等。根据菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此该平行四边形一定是菱形；
选项D：平行四边形对边平行，内错角相等，图中标注的两个$65°$是天然相等的内错角，无法证明邻边相等，因此不一定是菱形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查菱形的判定，解题时要注意区分平行四边形的通用性质和菱形的特殊判定条件，结合三角形的角度、边长关系分析即可快速解题，熟练掌握菱形判定定理是做对本题的核心。
【难度系数】
0.7
2[2026湖北武汉质检]如图,在$△ ABC$中,$BC=2AB$,$D$,$E$分别为$BC$,$AC$的中点.过点$A$作$AF// BC$交$DE$的延长线于点$F$.求证:四边形$ABDF$是菱形.
答案
【证明】在$△ ABC$中,$BC = 2AB$,$D$,$E$分别为$BC$,$AC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$BC = 2BD$,$\therefore AB = BD$,$DE// AB$. 又$\because AF// BC$,$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形.$\because AB = BD$,$\therefore$ 平行四边形$ABDF$是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形ABDF是菱形，常规思路是先判定它是平行四边形，再证明其一组邻边相等即可。首先结合已知的中点条件，可利用三角形中位线定理得到DE与AB的平行关系，再结合AF//BC的条件，即可判定四边形ABDF是平行四边形；之后根据BC=2AB、D是BC中点的条件，推导出AB=BD，即平行四边形的一组邻边相等，即可完成菱形的证明。
【解析】
证明：在$△ ABC$中，D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE是$△ ABC$的中位线，且$BC=2BD$，
∴$DE// AB$，
又$\because AF// BC$，
∴四边形ABDF两组对边分别平行，为平行四边形，
$\because BC=2AB$，$BC=2BD$，
$\therefore AB=BD$，
∴邻边相等的平行四边形ABDF是菱形。
【答案】
证明：在$△ ABC$中,$BC = 2AB$,$D$,$E$分别为$BC$,$AC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$BC = 2BD$,$\therefore AB = BD$,$DE// AB$. 又$\because AF// BC$,$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形.$\because AB = BD$,$\therefore$ 平行四边形$ABDF$是菱形.
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，先利用中位线性质和平行线条件判定平行四边形，再结合边长关系证明邻边相等即可完成推导。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABDF是菱形，常规思路是先判定它是平行四边形，再证明其一组邻边相等即可。首先结合已知的中点条件，可利用三角形中位线定理得到DE与AB的平行关系，再结合AF//BC的条件，即可判定四边形ABDF是平行四边形；之后根据BC=2AB、D是BC中点的条件，推导出AB=BD，即平行四边形的一组邻边相等，即可完成菱形的证明。
【解析】
证明：在$△ ABC$中，D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE是$△ ABC$的中位线，且$BC=2BD$，
∴$DE// AB$，
又$\because AF// BC$，
∴四边形ABDF两组对边分别平行，为平行四边形，
$\because BC=2AB$，$BC=2BD$，
$\therefore AB=BD$，
∴邻边相等的平行四边形ABDF是菱形。
【答案】
证明：在$△ ABC$中,$BC = 2AB$,$D$,$E$分别为$BC$,$AC$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$BC = 2BD$,$\therefore AB = BD$,$DE// AB$. 又$\because AF// BC$,$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形.$\because AB = BD$,$\therefore$ 平行四边形$ABDF$是菱形.
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，先利用中位线性质和平行线条件判定平行四边形，再结合边长关系证明邻边相等即可完成推导。
【难度系数】
0.8
3 新考法[2026安徽蚌埠期末]用四张全等的含$30°$角的直角三角形纸片拼成一个图案，下列拼成的图案中，不含菱形的是（
A
）答案
3.A 【解析】A 选项,不含菱形,符合题意; B 选项,四边形的四条边都是直角三角形的斜边,故该四边形的四条边相等,是菱形,不符合题意; C 选项,两个$30°$角所对直角边长度之和刚好等于斜边,最大的四边形的四条边相等,是菱形,不符合题意; D 选项,最大的四边形的四条边都是直角三角形的斜边,故该四边形的四条边相等,是菱形,不符合题意. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先明确菱形的判定规则：四条边相等的四边形是菱形，同时要知道含30°角的直角三角形的边长特征：30°角所对的短直角边长度是斜边的一半。接下来我们逐一分析每个选项的拼接图形，判断是否存在符合菱形判定条件的四边形即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：拼接后得到的四边形为矩形，各边长度分别为2倍短直角边、长直角边，不存在四条边相等的四边形，因此不含菱形，符合题意；
B选项：外侧大四边形的四条边都是直角三角形的斜边，由于四张三角形全等，四条边长度相等，该四边形是菱形，不符合题意；
C选项：含30°角的直角三角形中，斜边长度是短直角边的2倍，即两条短直角边之和等于斜边长度，外侧大四边形的四条边都等于直角三角形的斜边长度，四条边相等，该四边形是菱形，不符合题意；
D选项：外侧大四边形的四条边都是直角三角形的斜边，长度相等，该四边形是菱形，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合图形拼接考查菱形的判定，解题时需要结合直角三角形的边长特征分析拼接后图形的边长关系，逐一排查选项即可得出答案，解题时注意不要漏看图形中的四边形。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确菱形的判定规则：四条边相等的四边形是菱形，同时要知道含30°角的直角三角形的边长特征：30°角所对的短直角边长度是斜边的一半。接下来我们逐一分析每个选项的拼接图形，判断是否存在符合菱形判定条件的四边形即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：拼接后得到的四边形为矩形，各边长度分别为2倍短直角边、长直角边，不存在四条边相等的四边形，因此不含菱形，符合题意；
B选项：外侧大四边形的四条边都是直角三角形的斜边，由于四张三角形全等，四条边长度相等，该四边形是菱形，不符合题意；
C选项：含30°角的直角三角形中，斜边长度是短直角边的2倍，即两条短直角边之和等于斜边长度，外侧大四边形的四条边都等于直角三角形的斜边长度，四条边相等，该四边形是菱形，不符合题意；
D选项：外侧大四边形的四条边都是直角三角形的斜边，长度相等，该四边形是菱形，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合图形拼接考查菱形的判定，解题时需要结合直角三角形的边长特征分析拼接后图形的边长关系，逐一排查选项即可得出答案，解题时注意不要漏看图形中的四边形。
【难度系数】
0.7
4 如图,在四边形ABCD中,AC是BD的垂直平分线,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF,∠BEC=∠ADF,试证明四边形ABCD是菱形.
答案
思路分析
【证明】$\because AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线,$\therefore AB = AD$,$BC = CD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB$,$∠ BAF = ∠ DAF$.
在$△ ABF$ 和$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAF = ∠ DAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABF = ∠ ADF$.
$\because ∠ BEC = ∠ ADF$,$\therefore ∠ BEC = ∠ ABF$,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠ BAC = ∠ ACD$.
又$\because ∠ BAC = ∠ DAC$,$\therefore ∠ CAD = ∠ ACD$,$\therefore AD = CD$.
$\because AB = AD$,$BC = CD$,$\therefore AB = CB = CD = AD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$ 是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是菱形，可通过证明四边形四条边相等来判定。首先根据AC是BD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得AB=AD、BC=CD，同时得到对应角相等；接下来结合已知∠BEC=∠ADF，先证明△ABF和△ADF全等，将∠ADF转化为∠ABF，从而得到∠BEC=∠ABF，推出AB//CD；再利用平行线的性质和角的等量代换推导AD=CD，最终得到四条边长度相等，即可判定四边形ABCD为菱形。
【解析】
证明：
∵AC是BD的垂直平分线，
∴$AB = AD$，$BC = CD$，
∴$∠ ABD = ∠ ADB$，$∠ BAF = ∠ DAF$。
在$△ ABF$和$△ ADF$中：
$\begin{cases} AB = AD \\ ∠ BAF = ∠ DAF \\ AF = AF \end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ ABF = ∠ ADF$。
∵$∠ BEC = ∠ ADF$，
∴$∠ BEC = ∠ ABF$，
∴$AB// CD$，
∴$∠ BAC = ∠ ACD$。
又
∵$∠ BAC = ∠ DAC$，
∴$∠ CAD = ∠ ACD$，
∴$AD = CD$。
∵$AB = AD$，$BC = CD$，
∴$AB = CB = CD = AD$，
∴四边形ABCD是菱形。
【答案】
【证明】$\because AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线,$\therefore AB = AD$,$BC = CD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB$,$∠ BAF = ∠ DAF$.
在$△ ABF$ 和$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAF = ∠ DAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABF = ∠ ADF$.
$\because ∠ BEC = ∠ ADF$,$\therefore ∠ BEC = ∠ ABF$,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠ BAC = ∠ ACD$.
又$\because ∠ BAC = ∠ DAC$,$\therefore ∠ CAD = ∠ ACD$,$\therefore AD = CD$.
$\because AB = AD$,$BC = CD$,$\therefore AB = CB = CD = AD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$ 是菱形.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何证明常规题，综合了多个基础几何知识点，解题核心是通过角的等量代换得到线的平行关系，进而推导边的相等关系，需要学生熟练掌握各性质定理，具备基本的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABCD是菱形，可通过证明四边形四条边相等来判定。首先根据AC是BD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得AB=AD、BC=CD，同时得到对应角相等；接下来结合已知∠BEC=∠ADF，先证明△ABF和△ADF全等，将∠ADF转化为∠ABF，从而得到∠BEC=∠ABF，推出AB//CD；再利用平行线的性质和角的等量代换推导AD=CD，最终得到四条边长度相等，即可判定四边形ABCD为菱形。
【解析】
证明：
∵AC是BD的垂直平分线，
∴$AB = AD$，$BC = CD$，
∴$∠ ABD = ∠ ADB$，$∠ BAF = ∠ DAF$。
在$△ ABF$和$△ ADF$中：
$\begin{cases} AB = AD \\ ∠ BAF = ∠ DAF \\ AF = AF \end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ ABF = ∠ ADF$。
∵$∠ BEC = ∠ ADF$，
∴$∠ BEC = ∠ ABF$，
∴$AB// CD$，
∴$∠ BAC = ∠ ACD$。
又
∵$∠ BAC = ∠ DAC$，
∴$∠ CAD = ∠ ACD$，
∴$AD = CD$。
∵$AB = AD$，$BC = CD$，
∴$AB = CB = CD = AD$，
∴四边形ABCD是菱形。
【答案】
【证明】$\because AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线,$\therefore AB = AD$,$BC = CD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB$,$∠ BAF = ∠ DAF$.
在$△ ABF$ 和$△ ADF$ 中,$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ BAF = ∠ DAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABF = ∠ ADF$.
$\because ∠ BEC = ∠ ADF$,$\therefore ∠ BEC = ∠ ABF$,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠ BAC = ∠ ACD$.
又$\because ∠ BAC = ∠ DAC$,$\therefore ∠ CAD = ∠ ACD$,$\therefore AD = CD$.
$\because AB = AD$,$BC = CD$,$\therefore AB = CB = CD = AD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$ 是菱形.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何证明常规题，综合了多个基础几何知识点，解题核心是通过角的等量代换得到线的平行关系，进而推导边的相等关系，需要学生熟练掌握各性质定理，具备基本的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
5[2026河南信阳调研]如图,下列条件中不能使$□ ABCD$成为菱形的是 (
A.$AB=BC$
B.$AC ⊥ BD$
C.$∠ ADB = ∠ CDB$
D.$AD // BC$
D
)A.$AB=BC$
B.$AC ⊥ BD$
C.$∠ ADB = ∠ CDB$
D.$AD // BC$
答案
5.D 【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,且 $AB = BC$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,故 A 不符合题意. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,且 $AC ⊥ BD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,故 B 不符合题意. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB // CD$,$\therefore ∠ ABD = ∠ CDB$. $\because ∠ ADB = ∠ CDB$,$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB$,$\therefore AD = AB$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,故 C 不符合题意. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD// BC$,$\therefore AD// BC$ 不能使$□ ABCD$ 成为菱形,故 D 符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
本题已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个条件无法将其判定为菱形，解题思路如下：首先明确平行四边形证明为菱形的两个核心判定条件：①有一组邻边相等；②对角线互相垂直。接下来逐一分析每个选项是否满足上述判定，或者是否只是平行四边形本身固有的性质：若选项是平行四边形本来就具备的性质，就无法额外推出它是菱形；若满足菱形的判定条件，则不符合题意。
【解析】
A.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AB=BC$（一组邻边相等），
∴ 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意。
B.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AC ⊥ BD$（对角线互相垂直），
∴ 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意。
C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB // CD$，
∴ $∠ ABD = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠ ADB = ∠ CDB$，
∴ $∠ ABD = ∠ ADB$，
∴ $AD=AB$（等角对等边，即一组邻边相等），
∴ 四边形ABCD是菱形，故C不符合题意。
D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，本身就具备$AD // BC$的性质，该条件无法推出平行四边形ABCD是菱形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握在平行四边形基础上判定菱形的条件，注意区分平行四边形的固有性质和菱形的特殊判定要求，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
本题已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个条件无法将其判定为菱形，解题思路如下：首先明确平行四边形证明为菱形的两个核心判定条件：①有一组邻边相等；②对角线互相垂直。接下来逐一分析每个选项是否满足上述判定，或者是否只是平行四边形本身固有的性质：若选项是平行四边形本来就具备的性质，就无法额外推出它是菱形；若满足菱形的判定条件，则不符合题意。
【解析】
A.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AB=BC$（一组邻边相等），
∴ 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意。
B.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AC ⊥ BD$（对角线互相垂直），
∴ 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意。
C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB // CD$，
∴ $∠ ABD = ∠ CDB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠ ADB = ∠ CDB$，
∴ $∠ ABD = ∠ ADB$，
∴ $AD=AB$（等角对等边，即一组邻边相等），
∴ 四边形ABCD是菱形，故C不符合题意。
D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，本身就具备$AD // BC$的性质，该条件无法推出平行四边形ABCD是菱形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握在平行四边形基础上判定菱形的条件，注意区分平行四边形的固有性质和菱形的特殊判定要求，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
6[2026吉林长春质检]如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BD垂直平分AC,点E是OB上一点,且$∠ AEO = ∠ CDO$.求证:四边形AECD是菱形.
刷易错 ............小心有坑~
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答案
【证明】$\because BD$ 垂直平分 $AC$,$\therefore OA = OC$,$BD ⊥ AC$.
在$△ AEO$ 与$△ CDO$ 中,$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ CDO, \\ ∠ AOE = ∠ COD, \\ OA = OC, \end{cases}$
$\therefore △ AEO ≌ △ CDO(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD = AE$.
$\because ∠ AEO = ∠ CDO$,$\therefore CD// AE$,$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形. $\because BD ⊥ AC$,$\therefore □ AECD$ 是菱形.
在$△ AEO$ 与$△ CDO$ 中,$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ CDO, \\ ∠ AOE = ∠ COD, \\ OA = OC, \end{cases}$
$\therefore △ AEO ≌ △ CDO(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD = AE$.
$\because ∠ AEO = ∠ CDO$,$\therefore CD// AE$,$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形. $\because BD ⊥ AC$,$\therefore □ AECD$ 是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形AECD是菱形，可按照“先证平行四边形，再证菱形”的思路推导：首先根据BD垂直平分AC的条件，得到OA=OC且BD⊥AC；再结合已知的∠AEO=∠CDO，加上对顶角相等的隐含条件，可通过AAS证明△AEO和△CDO全等，得到CD=AE，同时由内错角相等可推出CD与AE平行，即可判定四边形AECD是平行四边形；最后结合BD⊥AC的条件，利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：$\because BD$ 垂直平分 $AC$,$\therefore OA = OC$,$BD ⊥ AC$.
在$△ AEO$ 与$△ CDO$ 中,
$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ CDO, \\ ∠ AOE = ∠ COD, \\ OA = OC, \end{cases}$
$\therefore △ AEO ≌ △ CDO(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD = AE$.
$\because ∠ AEO = ∠ CDO$,$\therefore CD// AE$,$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形.
$\because BD ⊥ AC$,$\therefore □ AECD$ 是菱形.
【答案】
四边形AECD是菱形，证明过程如上。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 菱形的判定
【点评】
本题是几何常规证明题，解题时需结合已知条件逐步推导，先通过三角形全等得到边的关系，依次证明平行四边形、菱形，要熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，学会结合已知条件选择合适的判定方法。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AECD是菱形，可按照“先证平行四边形，再证菱形”的思路推导：首先根据BD垂直平分AC的条件，得到OA=OC且BD⊥AC；再结合已知的∠AEO=∠CDO，加上对顶角相等的隐含条件，可通过AAS证明△AEO和△CDO全等，得到CD=AE，同时由内错角相等可推出CD与AE平行，即可判定四边形AECD是平行四边形；最后结合BD⊥AC的条件，利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：$\because BD$ 垂直平分 $AC$,$\therefore OA = OC$,$BD ⊥ AC$.
在$△ AEO$ 与$△ CDO$ 中,
$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ CDO, \\ ∠ AOE = ∠ COD, \\ OA = OC, \end{cases}$
$\therefore △ AEO ≌ △ CDO(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD = AE$.
$\because ∠ AEO = ∠ CDO$,$\therefore CD// AE$,$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形.
$\because BD ⊥ AC$,$\therefore □ AECD$ 是菱形.
【答案】
四边形AECD是菱形，证明过程如上。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 菱形的判定
【点评】
本题是几何常规证明题，解题时需结合已知条件逐步推导，先通过三角形全等得到边的关系，依次证明平行四边形、菱形，要熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，学会结合已知条件选择合适的判定方法。
【难度系数】
0.7
7 [2026 浙江台州期中]小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞同小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
小惠
证明:∵AC⊥BD,OB=OD,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD,CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
小洁
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
小惠
证明:∵AC⊥BD,OB=OD,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD,CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
小洁
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.
答案
【解】赞同小洁的说法. 补充一个条件为 $OA = OC$. 证明如下:
$\because OA = OC$,$OB = OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because AC ⊥ BD$,$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形. (补充条件不同,证明过程不同)
$\because OA = OC$,$OB = OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because AC ⊥ BD$,$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形. (补充条件不同,证明过程不同)
解析
【分析】
首先回忆菱形的判定定理：菱形的判定有三种方法，分别是一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、四条边均相等的四边形是菱形。分析小惠的证明过程：由AC⊥BD、OB=OD只能推出AC垂直平分BD，得到AB=AD、CB=CD，仅这两组邻边相等，既不能证明四条边都相等，也不能证明四边形是平行四边形，因此无法直接判定四边形ABCD是菱形，小洁的说法正确。我们可以补充能证明四边形是平行四边形的条件，比如OA=OC，再结合已知的AC⊥BD即可判定为菱形。
【解析】
赞同小洁的说法，补充条件：$OA=OC$（补充条件不唯一）。
证明如下：
$\because OA=OC$，$OB=OD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
赞同小洁的说法，补充条件为 $OA = OC$（答案不唯一）。证明：$\because OA = OC$,$OB = OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。$\because AC ⊥ BD$,$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 菱形的判定
3. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查特殊四边形的判定逻辑，解题的关键是牢记菱形的判定前提，不能仅由对角线垂直就直接判定四边形是菱形，必须先证明四边形是平行四边形，或者证明四条边全部相等，避免因遗漏判定条件出错。
【难度系数】
0.7
首先回忆菱形的判定定理：菱形的判定有三种方法，分别是一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、四条边均相等的四边形是菱形。分析小惠的证明过程：由AC⊥BD、OB=OD只能推出AC垂直平分BD，得到AB=AD、CB=CD，仅这两组邻边相等，既不能证明四条边都相等，也不能证明四边形是平行四边形，因此无法直接判定四边形ABCD是菱形，小洁的说法正确。我们可以补充能证明四边形是平行四边形的条件，比如OA=OC，再结合已知的AC⊥BD即可判定为菱形。
【解析】
赞同小洁的说法，补充条件：$OA=OC$（补充条件不唯一）。
证明如下：
$\because OA=OC$，$OB=OD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
赞同小洁的说法，补充条件为 $OA = OC$（答案不唯一）。证明：$\because OA = OC$,$OB = OD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。$\because AC ⊥ BD$,$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
【知识点】
1. 平行四边形的判定
2. 菱形的判定
3. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查特殊四边形的判定逻辑，解题的关键是牢记菱形的判定前提，不能仅由对角线垂直就直接判定四边形是菱形，必须先证明四边形是平行四边形，或者证明四条边全部相等，避免因遗漏判定条件出错。
【难度系数】
0.7
