19. 在$△ ABC$中,定义$∠ BAC$的平分线所在直线与$∠ ABC$的外角平分线所在直线所夹的锐角$∠ APB$为$∠ C$的伴随角.
(1) 如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ BAC = 60°$,则$∠ C$的伴随角$∠ APB$的度数为________;
(2) 小明试图探究任意$△ ABC$中$∠ C$的伴随角$∠ APB$与$∠ C$之间的数量关系,于是他动手画了$∠ C$分别为直角、锐角、钝角的三个图,猜想$∠ C$的伴随角$∠ APB$与$∠ C$之间的数量关系的猜想:________;
(3) 请你选择$∠ C$是锐角或钝角的情况,画出图形,帮小明证明他的猜想.

19. (1) 45°
(2) $∠APB=\frac{1}{2}∠C$
(3) 如图,
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC.又
∵BE平分∠ABD,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABD.
∵∠APB=∠1-∠BAP,
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠ABD - $\frac{1}{2}$∠BAC.
∴∠APB=$\frac{1}{2}$(∠ABD - ∠BAC).
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠C.

20. 在$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，$E$是$AB$上的动点(不与点$D$重合)，过点$E$作$EF// BC$交直线$CD$于点$F$，$∠ BEF$的平分线所在的直线与射线$CD$交于点$G$.
(1) 如图，点$E$在线段$AD$上运动.
① 若$∠ B=60°$，$∠ ACB=30°$，则$∠ EGC=$;
② 若$∠ A=80°$，求$∠ EGC$的度数.
(2) 若点$E$在射线$DB$上运动时，探究$∠ EGC$与$∠ A$之间的数量关系，请直接写出答案.

20. (1) ① 45°
② 由①,得∠EGC=$\frac{1}{2}$∠B+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$(∠B+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A=90°-$\frac{1}{2}$×80°=50°.
(2) 当点E在线段DB上时,如图①,
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠B,∠EFG=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵GH平分∠BEF,
∴∠BEH=∠HEF.
∴∠EGC=∠HEF-∠EFG=$\frac{180°-∠AEF}{2}$ - $\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠AEF-$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=90°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$∠A;当点E在射线DB上时,如图②,由(1),得∠EGD=90°-$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠EGC=180°-∠EGD=180°-90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$∠A.综上所述,∠EGC与∠A之间的数量关系为∠EGC=$\frac{1}{2}$∠A或∠EGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.