1[2026安徽六安校级期末,中]在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx-k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的大致图象为（）

1.C 【解析】将x=1代入y=kx−k,得y=k−k=0,所以直线y=kx−k过定点(1,0),故选项B不符合题意.当k＞0时,函数y=kx−k中y随x的增大而增大. 因为当k＞0时,$y=\frac{k}{|x|}＞0$,所以此函数的图象都在x轴的上方,故选项A,D不符合题意,选项C符合题意. 故选C.

【分析】
本题是一次函数与含绝对值的反比例函数的图象判断问题，可按以下思路解题：第一步先分析一次函数的定点特征，将$y=kx-k$变形为$y=k(x-1)$，可得$x=1$时$y$恒为0，即直线恒过点$(1,0)$，可先排除不符合该特征的选项；第二步对参数$k$分正负两种情况讨论，分别推导一次函数的增减性、经过的象限，以及反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$的函数值符号、所在象限，结合剩余选项的图象特征逐一排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 确定一次函数的定点：将$x=1$代入$y=kx-k$，得$y=k-k=0$，因此直线$y=kx-k$恒过点$(1,0)$，观察选项，选项B中直线与x轴交点在x负半轴，不符合该特征，排除B。
2. 分类讨论$k$的取值：
当$k＞0$时：
一次函数$y=kx-k$的斜率为正，$y$随$x$的增大而增大，常数项为$-k＜0$，即直线与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{|x|}$中，$|x|＞0$，$k＞0$，因此$y$恒大于0，图象全部位于x轴上方。
对照剩余选项：选项A中一次函数斜率为负，$y$随$x$增大而减小，不符合；选项D中反比例函数图象位于x轴下方，$y$值为负，不符合；只有选项C符合上述特征。
当$k＜0$时：
一次函数斜率为负，$y$随$x$增大而减小，与y轴交于正半轴，反比例函数$y=\frac{k}{|x|}＜0$，图象全部位于x轴下方，四个选项中无对应图象，因此该情况不存在。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质，反比例函数的图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合题，核心解题技巧是先利用一次函数的定点特征快速缩小选项范围，再通过分类讨论参数的取值，结合两类函数的图象性质验证剩余选项，能较好地考查学生对函数性质的掌握程度和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7

2[中]已知双曲线$y=\frac{3}{x}$与函数$y=|x-a|$的图象有两个交点，则$a$的值是.

2.$2\sqrt{3}$ 【解析】如图,
∵双曲线$y=\frac{3}{x}$与函数$y=|x-a|$的图象有两个交点,
∴由图可知,一次函数$y=-x+a$的图象与$y=\frac{3}{x}$的图象只有一个交点,且$a＞0$.令$\frac{3}{x}=-x+a$,整理得$-x^2+ax-3=0$,
∴方程$-x^2+ax-3=0$有两个相等的实数根,
∴$\Delta=a^2-12=0$,解得$a=2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$(舍去). 故答案为$2\sqrt{3}$.

【分析】
首先将绝对值函数$y=|x-a|$拆分为两段一次函数：当$x≥ a$时，$y=x-a$；当$x＜a$时，$y=-x+a$。结合图象观察可知，要让两个函数图象共有2个交点，需要$y=-x+a$与反比例函数$y=\frac{3}{x}$恰好相切（仅有1个交点），此时联立两个函数解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0即可列方程求解，最后结合图象中a的取值范围舍去不符合的解。
【解析】
由图可知，双曲线$y=\frac{3}{x}$与函数$y=|x-a|$的图象有两个交点时，一次函数$y=-x+a$的图象与$y=\frac{3}{x}$的图象只有1个交点（相切），且$a＞0$。
联立$y=\frac{3}{x}$和$y=-x+a$，可得：$\frac{3}{x}=-x+a$，
整理得：$-x^2+ax-3=0$，
∵两个函数图象只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = a^2 - 4×(-1)×(-3) = a^2 - 12 = 0$，
解得$a=2\sqrt{3}$或$a=-2\sqrt{3}$，
∵$a＞0$，
∴舍去$a=-2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
函数图象交点问题，绝对值函数分段，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将函数交点个数问题转化为一元二次方程根的个数问题，体现了数形结合思想的应用，解题时要注意结合图象特征对所求的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

3[中]如图,直线$y=-2x+5$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C,连接$OB,S_{△ BOC}=\frac{5}{4}$,若将直线$y=-2x+5$沿y轴向下平移n个单位,所得直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象有且只有一个交点,则n的值为.

3.1 【解析】过点B作$BE⊥x$轴于点E,如图所示.在$y=-2x+5$中,令$y=0$,则$0=-2x+5$,解得$x=\frac{5}{2}$,即$OC=\frac{5}{2}$.$\because S_{△ BOC}=\frac{5}{4}$,$\therefore \frac{1}{2}OC · BE=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}BE=\frac{5}{4}$,解得$BE=1$,$\therefore$ 点B的纵坐标为1. 当$y=1$时,有$1=-2x+5$,解得$x=2$,$\therefore$ 点B的坐标为$(2,1)$,$\therefore k=2×1=2$,即双曲线表达式为$y=\frac{2}{x}$. 将直线$y=-2x+5$向下平移n个单位得到的直线的表达式为$y=-2x+5-n$,联立$\begin{cases}y=\frac{2}{x}\\ y=-2x+5-n\end{cases}$,整理得$2x^2+(n-5)x+2=0$,$\because$所得直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象有且只有一个交点,$\therefore \Delta=(n-5)^2-16=0$,解得$n=1$或$n=9$. 当$n=9$时,平移后的直线为$y=-2x-4$,此时与第一象限的反比例函数图象无交点,舍去,故$n=1$.

【分析】
解题时首先要确定直线与x轴交点C的坐标，结合△BOC的面积求出点B的纵坐标，再代入直线解析式得到点B的坐标，代入反比例函数求出k值；接下来根据一次函数平移规律写出平移后的直线解析式，和反比例函数联立得到一元二次方程，因为两个图象只有一个交点，所以一元二次方程的判别式等于0，解出n的可能值后，还要结合反比例函数x＞0的取值范围，舍去不符合题意的解，即可得到最终n的值。
【解析】
过点B作$BE⊥x$轴于点E。
1. 求点C坐标：在直线$y=-2x+5$中，令$y=0$，得$0=-2x+5$，解得$x=\frac{5}{2}$，即$OC=\frac{5}{2}$。
2. 求点B的纵坐标：已知$S_{△BOC}=\frac{5}{4}$，由三角形面积公式$\frac{1}{2}·OC·BE=\frac{5}{4}$，代入$OC=\frac{5}{2}$得$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}·BE=\frac{5}{4}$，解得$BE=1$，即点B的纵坐标为1。
3. 求点B坐标：将$y=1$代入$y=-2x+5$，得$1=-2x+5$，解得$x=2$，故$B(2,1)$。
4. 求反比例函数解析式：将$B(2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×1=2$，即反比例函数为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$。
5. 求平移后的直线解析式：直线$y=-2x+5$沿y轴向下平移n个单位后，解析式为$y=-2x+5-n$。
6. 联立方程求n：联立$\begin{cases}y=\frac{2}{x}\\y=-2x+5-n\end{cases}$，消去y整理得$2x^2+(n-5)x+2=0$。
因为两图象有且只有一个交点，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=(n-5)^2-4×2×2=0$，解得$n=1$或$n=9$。
7. 验证取舍：当$n=9$时，平移后的直线为$y=-2x-4$，该直线经过第二、三、四象限，与第一象限的反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$无交点，不符合题意，舍去。
【答案】
1
【知识点】
函数交点问题；一次函数平移；根的判别式应用
【点评】
本题综合考察了一次函数、反比例函数的性质，以及平移规律和一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是先求出反比例函数解析式，要注意结合自变量的取值范围对结果进行验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

4[2026安徽安庆质检,较难]在平面直角坐标系$xOy$中,双曲线$y=\frac{k}{x}$与直线$y_1=\frac{1}{2}x,y_2=2x$分别交于第一象限内的点$A$,点$B$,将线段$OA$,$OB$和函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象在$A$,$B$之间的部分围成的区域(不含边界)记为区域$W$.若区域$W$有且仅有$1$个整点(横坐标和纵坐标都为整数的点),则$k$的取值范围为.

4.$1＜k≤4$ 【解析】根据题意画出图形如图,$\because$ 直线$y_1=\frac{1}{2}x$过点$(2,1)$,直线$y_2=2x$过点$(1,2)$,$\therefore$ 这个整点为$(1,1)$,$\therefore$ 当区域$W$有且仅有1个整点时,$1＜k≤4$,故答案为$1＜k≤4$.

【分析】
解决本题首先要明确区域W的范围：第一象限内介于直线$y=\frac{1}{2}x$和$y=2x$之间，且在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$在A、B之间图象下方的区域（不含边界）。解题思路如下：1. 先找第一象限内介于两条直线之间的整点，最小的整点为$(1,1)$，是唯一可能存在的单个整点；2. 要使区域W仅有1个整点，需保证$(1,1)$在区域内，同时其他更大的整点（如$(2,2)$）不在区域内；3. 结合整点与反比例函数图象的位置关系，列不等式求解k的范围，注意区域不含边界的条件对端点取值的影响。
【解析】
根据题意画出函数图象：
1. 直线$y_1=\frac{1}{2}x$过点$(2,1)$，直线$y_2=2x$过点$(1,2)$，这两个点都在直线边界上，不属于区域W内的点。
2. 第一象限内介于两条直线之间的最小整点为$(1,1)$，若区域W有且仅有1个整点，该整点只能是$(1,1)$。
3. 要使$(1,1)$在区域W内，说明$(1,1)$在反比例函数图象下方，代入得：$1 ＜ \frac{k}{1}$，解得$k＞1$。
4. 下一个可能出现在区域内的整点为$(2,2)$，该点也满足介于两条直线之间，要使其不在区域W内，需让$(2,2)$在反比例函数图象上或上方，代入得：$2 ≥ \frac{k}{2}$，解得$k≤4$。
综上，k的取值范围为$1 ＜ k ≤ 4$。
【答案】
$1＜k≤4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，整点问题
【点评】
本题将反比例函数、一次函数的图象性质与整点问题结合，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是准确判断区域内可能存在的整点，同时注意区域不含边界的要求，避免端点取值错误。
【难度系数】
0.3

5[中]如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数$y_1=kx+b$($k,b$是常数,且$k≠0$)与反比例函数$y_2=\dfrac{c}{x}$($c$是常数,且$c≠0$)的图象相交于$A(-3,-2)$,$B(2,m)$两点,则不等式$y_1＞y_2$的解集是 ()

A.$-3＜x＜2$
B.$x＜-3$或$x＞2$
C.$-3＜x＜0$或$x＞2$
D.$0＜x＜2$

(第5题图)
(第6题图)

5.C 【解析】$\because$ 一次函数$y_1=kx+b$($k,b$是常数,且$k≠0$)与反比例函数$y_2=\frac{c}{x}$($c$是常数,且$c≠0$)的图象相交于$A(-3,-2)$,$B(2,m)$两点,$\therefore$ 不等式$y_1＞y_2$的解集是$-3＜x＜0$或$x＞2$.

【分析】
要解决不等式$y_1＞y_2$的解集问题，核心是利用数形结合思想：不等式$y_1＞y_2$的几何意义是同一x值下，一次函数图像在反比例函数图像上方的x的取值范围。首先明确两个函数的交点是函数值相等的位置，再结合反比例函数$x≠0$的限制，将x的取值范围分段，逐段观察图像的上下位置即可得到解集。
【解析】
不等式$y_1＞y_2$的几何意义为：一次函数$y_1=kx+b$的图像位于反比例函数$y_2=\dfrac{c}{x}$图像上方时对应的x的取值范围。
已知两函数交点为$A(-3,-2)$、$B(2,m)$，结合反比例函数$x≠0$的限制，将x的取值范围分为四段讨论：
1. 当$x＜-3$时，观察图像可得$y_1＜y_2$，不满足要求；
2. 当$-3＜x＜0$时，观察图像可得$y_1＞y_2$，满足要求；
3. 当$0＜x＜2$时，观察图像可得$y_1＜y_2$，不满足要求；
4. 当$x＞2$时，观察图像可得$y_1＞y_2$，满足要求。
$x=-3$、$x=2$时两函数值相等，$x=0$时反比例函数无意义，均不满足不等式。
因此不等式$y_1＞y_2$的解集是$-3＜x＜0$或$x＞2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 图像法解不等式
3. 反比例函数性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题的关键是明确函数值大小关系和图像上下位置的对应关系，需注意反比例函数图像分为两支，x=0处无定义，分段讨论时不要遗漏该间断点。
【难度系数】
0.6

6[中]如图,已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$P(2,3)$,与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象在第一象限交于点$Q(m,n)$.若一次函数$y$的值随$x$值的增大而增大,则$m$的取值范围是.

6.$\frac{2}{3}＜m＜2$ 【解析】过点$P$作$PA// x$轴,交反比例函数的图象于点$A$,作$PB// y$轴,交反比例函数的图象于点$B$,如图.$\because P(2,3)$,反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$,$\therefore$ 易得$A(\frac{2}{3},3)$,$B(2,1)$.$\because$ 一次函数$y$的值随$x$值的增大而增大,$\therefore$ 点$Q(m,n)$在点$A,B$之间,$\therefore \frac{2}{3}＜m＜2$. 故答案为$\frac{2}{3}＜m＜2$.

【分析】
要确定m的取值范围，可先找到一次函数与反比例函数交点的两个临界位置：①一次函数过P(2,3)且斜率趋近于0时，函数接近水平直线y=3，此时与反比例函数的交点为左临界端点；②一次函数过P且斜率趋近于无穷大时，函数接近竖直直线x=2，此时与反比例函数的交点为右临界端点。再结合一次函数y随x增大而增大的性质，即可推出交点Q横坐标m的取值范围。
【解析】
过点P作$PA// x$轴，交反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象于点A，作$PB// y$轴，交反比例函数的图象于点B。
已知点P坐标为$(2,3)$：
1. 求点A坐标：$PA// x$轴，因此A点纵坐标为3，将$y=3$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$3=\dfrac{2}{x}$，解得$x=\dfrac{2}{3}$，即$A(\dfrac{2}{3},3)$。
2. 求点B坐标：$PB// y$轴，因此B点横坐标为2，将$x=2$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$y=\dfrac{2}{2}=1$，即$B(2,1)$。
由于一次函数$y=kx+b$的值随x的增大而增大，可知斜率$k＞0$，因此直线与反比例函数在第一象限的交点$Q(m,n)$只能落在A、B两点之间的反比例函数图象上，故m的取值范围是$\dfrac{2}{3}＜m＜2$。
【答案】
$\frac{2}{3}＜m＜2$

【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，核心解题方法是数形结合思想，通过找到两个临界交点的坐标，结合一次函数的增减性确定参数范围，熟练掌握两类函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

7[2026安徽合肥质检,较难]如图,直线$y_1=k_1x+2$与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$的图象交于点C,点C的纵坐标为4,与x轴交于点$A(2,0)$,与y轴交于点M,B为直线$y_1=k_1x+2$上一点,横坐标为-5,过点B作$BD⊥ x$轴于点D,交反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$的图象于点H,G为反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$图象上一动点,过点G作$GE⊥ BD$于点E,作$GF// AB$交y轴于点F,连接EF.
(1)$k_2=$;
(2)若点G在点C,H之间(不与点C,H重合)运动,当$△ EFG$的面积取得最大值时,GE的长为.

7. (1)-8 (2)$\frac{5}{2}$ 【解析】(1)将点$A(2,0)$代入$y_1=k_1x+2$,得$2k_1+2=0$,解得$k_1=-1$,$\therefore y_1=-x+2$. 当$y_1=4$时,$-x+2=4$,解得$x=-2$,$\therefore$ 点$C(-2,4)$.$\because$ 反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$的图象经过点$C(-2,4)$,$\therefore k_2=-8$. 故答案为-8.
(2)由(1)得$y_2=-\frac{8}{x}(x＜0)$.$\because BD⊥ x$轴,$GE⊥ BD$,$\therefore GE// x$轴. 由题可知点H,E的横坐标为-5. 设点$G(m,-\frac{8}{m})$,且$-5＜m＜-2$,$\therefore GE=m+5$.$\because GF// AB$,$\therefore$ 设直线$GF$的函数表达式为$y=-x+b$,将点$G(m,-\frac{8}{m})$代入,得$b=m-\frac{8}{m}$,$\therefore y=-x+m-\frac{8}{m}$,当$x=0$时,$y=m-\frac{8}{m}$,$\therefore$ 点$F(0,m-\frac{8}{m})$.延长$EG$交y轴于点N,易知$EN⊥ y$轴,$\therefore FN=-\frac{8}{m}-(m-\frac{8}{m})=-m$,$\therefore S_{△ EFG}=\frac{1}{2}EG · FN=\frac{1}{2}(m+5) · (-m)=-\frac{1}{2}m^2-\frac{5}{2}m = -\frac{1}{2}(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{8}$. $\because -\frac{1}{2}＜0$,$-5＜m＜-2$,$\therefore$ 当$m=-\frac{5}{2}$时,$S_{△ EFG}$取得最大值,此时$GE=m+5=\frac{5}{2}$. 故答案为$\frac{5}{2}$.

【分析】
(1) 要得反比例函数的系数$k_2$，需先求出反比例函数上已知点的坐标：首先将点$A$代入一次函数解析式求出$k_1$，得到一次函数的完整表达式；再结合点$C$的纵坐标为4，代入一次函数求出点$C$的横坐标，最后将点$C$代入反比例函数即可求出$k_2$。
(2) 求$△ EFG$面积最大时$GE$的长：首先由$BD⊥ x$轴、$GE⊥ BD$可得$GE// x$轴，设动点$G$的横坐标为$m$，用$m$表示出$G$的坐标和$GE$的长度；再根据$GF// AB$可知$GF$与一次函数斜率相同，设出$GF$的解析式后代入$G$的坐标，求出点$F$的坐标；最后将$△ EFG$的面积表示为关于$m$的二次函数，结合$m$的取值范围，利用二次函数的最值性质求出面积最大时$m$的值，代入$GE$的表达式即可得结果。
【解析】
(1) 将点$A(2,0)$代入$y_1=k_1x+2$，得$2k_1+2=0$，解得$k_1=-1$，因此一次函数解析式为$y_1=-x+2$。
已知点$C$在一次函数图象上且纵坐标为4，令$y_1=4$，即$-x+2=4$，解得$x=-2$，故点$C$坐标为$(-2,4)$。
将$C(-2,4)$代入反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＜0)$，得$4=\frac{k_2}{-2}$，解得$k_2=-8$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y_2=-\frac{8}{x}(x＜0)$。
因为$BD⊥ x$轴，点$B$横坐标为$-5$，所以$BD$上所有点的横坐标均为$-5$，又$GE⊥ BD$，故$GE// x$轴，点$E$的横坐标为$-5$。
设点$G$坐标为$(m,-\frac{8}{m})$，其中$-5＜m＜-2$，则$GE=m-(-5)=m+5$。
因为$GF// AB$，直线$AB$的斜率为$-1$，设直线$GF$的解析式为$y=-x+b$，将$G(m,-\frac{8}{m})$代入得$-\frac{8}{m}=-m+b$，解得$b=m-\frac{8}{m}$，因此直线$GF$的解析式为$y=-x+m-\frac{8}{m}$。
令$x=0$，得$y=m-\frac{8}{m}$，即点$F$坐标为$(0,m-\frac{8}{m})$。
延长$EG$交$y$轴于点$N$，可知$EN⊥ y$轴，点$G$、$E$的纵坐标均为$-\frac{8}{m}$，因此$FN=-\frac{8}{m}-(m-\frac{8}{m})=-m$。
$△ EFG$的面积$S=\frac{1}{2}× GE× FN=\frac{1}{2}(m+5)·(-m)=-\frac{1}{2}m^2-\frac{5}{2}m$，整理得$S=-\frac{1}{2}(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{8}$。
因为$-\frac{1}{2}＜0$，且$-5＜m＜-2$，所以当$m=-\frac{5}{2}$时，$△ EFG$的面积取得最大值，此时$GE=m+5=-\frac{5}{2}+5=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $-8$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
一次函数解析式确定，反比例函数的性质，二次函数的最值
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，结合动点和面积最值考查，需要熟练掌握函数解析式的求解方法，能够用参数表示动点坐标和图形面积，同时能利用二次函数性质求最值，很好地考查了数形结合思想和运算能力。
【难度系数】
0.3