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28. 核心素养 科学思维「2025安徽中考，★★★」(10分)某兴趣小组要测量一实心圆柱体(不吸水且不溶于水)的密度，进行了如下操作：用一根不可伸长的细线将圆柱体竖直悬挂在铁架台上并保持静止，将一盛有水的柱形容器放在水平升降台上，容器和升降台整体安放在圆柱体的正下方，使容器内的水面与圆柱体下表面恰好不接触，测得容器内水的深度为$h_1=10\ \mathrm{cm}$，如图所示；缓慢调节升降台使细线恰好伸直且无拉力，测得容器上升的高度为$h_2=8\ \mathrm{cm}$，整个过程没有水溢出，圆柱体始终处于竖直状态。已知圆柱体的高为$H=20\ \mathrm{cm}$，圆柱体与容器的底面积之比为$S_1:S_2=1:3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$g$取10 N/kg，不计容器壁厚度。求：
(1)调节升降台前水对容器底部的压强$p$；
(2)调节升降台后圆柱体浸入水中的深度$h$；
(3)圆柱体的密度$\rho$。
(1)调节升降台前水对容器底部的压强$p$；
(2)调节升降台后圆柱体浸入水中的深度$h$；
(3)圆柱体的密度$\rho$。
答案
28.解析 (1)调节升降台前，水对容器底部的压强$p=\rho_\mathrm{水}gh_1=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=10^3\ \mathrm{Pa}$。 …………(3分)
(2)初始状态，容器内水面与圆柱体下表面恰好不接触，此时容器内水的体积$V_\mathrm{水}=S_2h_1$；缓慢调节升降台后使细线恰好伸直且无拉力，此时升降台上升的高度$h_2=8\ \mathrm{cm}$，圆柱体下表面距容器底的高度为$h_1-h_2=2\ \mathrm{cm}$；此时容器内水的体积$V_\mathrm{水}=S_2×(h_1-h_2)+(S_2-S_1)×h$，其中$S_1:S_2=1:3$，水的体积不变，则$S_2h_1=S_2×(h_1-h_2)+(S_2-S_1)×h$，代入已知条件解得$h=12\ \mathrm{cm}$。 …………(3分)
(3)细线恰好伸直无拉力，说明此时圆柱体处于漂浮状态，$V_\mathrm{排}=S_1h$。由阿基米德原理可得$F_\mathrm{浮}=G_\mathrm{排}=\rho_\mathrm{水}gV_\mathrm{排}=\rho_\mathrm{水}gS_1h$ ①；圆柱体的重力$G=mg=\rho V_\mathrm{物}g=\rho S_1Hg$②；圆柱体漂浮时$F_\mathrm{浮}=G$，即①②两式相等，联立可得圆柱体的密度$\rho=\frac{\rho_\mathrm{水}h}{H}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.12\ \mathrm{m}}{0.20\ \mathrm{m}}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。 …………(4分)
(2)初始状态，容器内水面与圆柱体下表面恰好不接触，此时容器内水的体积$V_\mathrm{水}=S_2h_1$；缓慢调节升降台后使细线恰好伸直且无拉力，此时升降台上升的高度$h_2=8\ \mathrm{cm}$，圆柱体下表面距容器底的高度为$h_1-h_2=2\ \mathrm{cm}$；此时容器内水的体积$V_\mathrm{水}=S_2×(h_1-h_2)+(S_2-S_1)×h$，其中$S_1:S_2=1:3$，水的体积不变，则$S_2h_1=S_2×(h_1-h_2)+(S_2-S_1)×h$，代入已知条件解得$h=12\ \mathrm{cm}$。 …………(3分)
(3)细线恰好伸直无拉力，说明此时圆柱体处于漂浮状态，$V_\mathrm{排}=S_1h$。由阿基米德原理可得$F_\mathrm{浮}=G_\mathrm{排}=\rho_\mathrm{水}gV_\mathrm{排}=\rho_\mathrm{水}gS_1h$ ①；圆柱体的重力$G=mg=\rho V_\mathrm{物}g=\rho S_1Hg$②；圆柱体漂浮时$F_\mathrm{浮}=G$，即①②两式相等，联立可得圆柱体的密度$\rho=\frac{\rho_\mathrm{水}h}{H}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.12\ \mathrm{m}}{0.20\ \mathrm{m}}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。 …………(4分)
解析
【分析】
本题分三小问，第(1)问利用液体压强公式直接计算，只需明确初始水的深度即可；第(2)问的核心是水的体积不变，需分析调节升降台前后水的体积构成，结合底面积比例关系列方程求解浸入深度；第(3)问利用细线伸直无拉力时圆柱体漂浮，浮力等于重力，结合阿基米德原理和密度公式联立推导圆柱体密度。
【解析】
(1) 调节升降台前，水的深度为$h_1=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh_1=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=10^3\ \mathrm{Pa}$。
(2) 初始时水的体积$V_{\mathrm{水}}=S_2h_1$；调节升降台后，容器上升$h_2=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$，此时水面到容器底的高度为$h_1-h_2$，圆柱体浸入水中深度为$h$，水的体积可表示为$V_{\mathrm{水}}=S_2(h_1-h_2)+(S_2-S_1)h$。因水的体积不变，故：
$S_2h_1=S_2(h_1-h_2)+(S_2-S_1)h$。
已知$S_1:S_2=1:3$，即$S_2=3S_1$，代入上式：
$3S_1×0.1\ \mathrm{m}=3S_1×(0.1\ \mathrm{m}-0.08\ \mathrm{m})+(3S_1-S_1)h$，
两边约去$S_1$，解得$h=0.12\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{cm}$。
(3) 细线恰好伸直且无拉力，说明圆柱体漂浮，浮力等于重力，即$F_{\mathrm{浮}}=G$。
根据阿基米德原理，浮力$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=\rho_{\mathrm{水}}gS_1h$；
圆柱体的重力$G=mg=\rho Vg=\rho S_1Hg$；
联立两式得：$\rho_{\mathrm{水}}gS_1h=\rho S_1Hg$，约去$gS_1$，解得：
$\rho=\frac{\rho_{\mathrm{水}}h}{H}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.12\ \mathrm{m}}{0.20\ \mathrm{m}}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $10^3\ \mathrm{Pa}$；(2) $12\ \mathrm{cm}$；(3) $0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强计算；浮力应用；密度计算
【点评】
本题是力学综合题，考查液体压强、体积守恒、漂浮条件及密度的计算，关键在于抓住水的体积不变这一隐含条件，结合受力平衡分析，对学生的科学思维能力要求较高，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5
本题分三小问，第(1)问利用液体压强公式直接计算，只需明确初始水的深度即可；第(2)问的核心是水的体积不变，需分析调节升降台前后水的体积构成，结合底面积比例关系列方程求解浸入深度；第(3)问利用细线伸直无拉力时圆柱体漂浮，浮力等于重力，结合阿基米德原理和密度公式联立推导圆柱体密度。
【解析】
(1) 调节升降台前，水的深度为$h_1=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh_1=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.1\ \mathrm{m}=10^3\ \mathrm{Pa}$。
(2) 初始时水的体积$V_{\mathrm{水}}=S_2h_1$；调节升降台后，容器上升$h_2=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m}$，此时水面到容器底的高度为$h_1-h_2$，圆柱体浸入水中深度为$h$，水的体积可表示为$V_{\mathrm{水}}=S_2(h_1-h_2)+(S_2-S_1)h$。因水的体积不变，故：
$S_2h_1=S_2(h_1-h_2)+(S_2-S_1)h$。
已知$S_1:S_2=1:3$，即$S_2=3S_1$，代入上式：
$3S_1×0.1\ \mathrm{m}=3S_1×(0.1\ \mathrm{m}-0.08\ \mathrm{m})+(3S_1-S_1)h$，
两边约去$S_1$，解得$h=0.12\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{cm}$。
(3) 细线恰好伸直且无拉力，说明圆柱体漂浮，浮力等于重力，即$F_{\mathrm{浮}}=G$。
根据阿基米德原理，浮力$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=\rho_{\mathrm{水}}gS_1h$；
圆柱体的重力$G=mg=\rho Vg=\rho S_1Hg$；
联立两式得：$\rho_{\mathrm{水}}gS_1h=\rho S_1Hg$，约去$gS_1$，解得：
$\rho=\frac{\rho_{\mathrm{水}}h}{H}=\frac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.12\ \mathrm{m}}{0.20\ \mathrm{m}}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $10^3\ \mathrm{Pa}$；(2) $12\ \mathrm{cm}$；(3) $0.6×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强计算；浮力应用；密度计算
【点评】
本题是力学综合题，考查液体压强、体积守恒、漂浮条件及密度的计算，关键在于抓住水的体积不变这一隐含条件，结合受力平衡分析，对学生的科学思维能力要求较高，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5
