11. 2025·东莞期中 新趋势·跨学科 C₆₀的发现使人类了解到一个全新的碳世界.如图是C₆₀的分子结构图,包括20个正六边形和12个正五边形,其中正五边形的一个外角的大小是.

11.72°

12.如图,已知AD平分∠BAC,点F是AD反向延长线上的一点,EF⊥BC于点E,∠1=40°,∠C=65°.求∠B和∠F的度数.

12.【解】$\because AD$平分$∠BAC,∠1=40°, \therefore ∠BAC=2∠1=80°. \because ∠C=65°, \therefore ∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-65°=35°, \therefore ∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°. \because EF⊥BC, \therefore ∠F=90°-∠EDF=90°-75°=15°.$

13.[2025绍兴月考] 在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“灵动三角形”,例如:三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“灵动三角形”.如图,$∠ MON=60°$,在射线$OM$上找一点$A$,过点$A$作$AB⊥ OM$交$ON$于点$B$,以$A$为端点作射线$AD$,交线段$OB$于点$C$(规定$0°＜∠ OAC＜90°$).当$△ ABC$为“灵动三角形”时,$∠ OAC$的度数为.

13.80°或52.5°或30° 【点拨】$\because AB⊥OM, \therefore ∠OAB=90°, \because ∠MON=60°, \therefore ∠ABO=30°. \because 0°＜∠OAC＜90°, \therefore 0°＜∠BAC＜90°, \therefore ∠BAC≠3∠ABC. \because ∠BCA＞60°, \therefore ∠ABC≠3∠ACB, ∠BAC≠3∠ACB.$当$∠ACB=3∠ABC$时，$\because ∠ABO=30°, \therefore ∠ACB=90°, \therefore ∠CAB=60°, \therefore ∠OAC=30°.$当$∠ABC=3∠CAB$时，$\because ∠ABO=30°, \therefore ∠CAB=10°, \therefore ∠OAC=80°;$当$∠ACB=3∠CAB$时，$\because ∠ABO=30°, \therefore ∠CAB+3∠CAB=180°-30°=150°, \therefore ∠CAB=37.5°, \therefore ∠OAC=52.5°.$综上所述，$∠OAC$的度数为$80°$或$52.5°$或$30°.$

14. [母题 教材 P19活动2] 已知六边形，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）

A.6
B.8
C.12
D.14

14.D 【点拨】 如图①,通过同一个顶点作三条对角线,这种分法有6种;如图②,从一个顶点作两条对角线,这种分法有2种;如图③,中间是个四边形,两端2个三角形,把四边形加条对角线,这种分法有6种,故各种不同的剖分方法有$6+2+6=14$(种).

15. 新视角 动点探究题 在$△ ABC$中，$∠ C=80°$，点$D,E$分别是$△ ABC$边$AC,BC$上的点(不与$A,B,C$重合)，点$P$是平面内一动点($P$与$D,E$不在同一直线上).令$∠ PDA=∠ 1$，$∠ PEB=∠ 2$，$∠ DPE=∠ α$.
(1)若点$P$在边$AB$上，如图①所示，且$∠ α=40°$，则$∠ 1+∠ 2=$$°$；
(2)若点$P$在$△ ABC$的外部，如图②所示，则$∠ α,∠ 1,∠ 2$之间有何数量关系？请说明理由；
(3)若点$P$在$△ ABC$边$BA$的延长线上运动($CE＜CD$)，直接写出$∠ α,∠ 1,∠ 2$之间的数量关系.

15.【解】(1)120 【点拨】$\because ∠C=80°,∠CEP=180°-∠2,∠CDP=180°-∠1, \therefore 180°-∠2+180°-∠1+∠α+80°=360°, \therefore ∠1+∠2=80°+∠α=80°+40°=120°.$
(2)$∠2-∠1=∠α-80°$,理由如下：
设$BC$与$PD$交于点$M. \because ∠2=∠α+∠PMB,∠1=∠C+∠CMD,∠PMB=∠CMD,∠C=80°,$
$\therefore ∠2-∠α=∠1-80°, \therefore ∠2-∠1=∠α-80°.$
(3)$∠2-∠1=∠α+80°$或$∠2-∠1=80°-∠α.$
【点拨】 连接$CP$,如图①,$\because ∠2=80°+∠3+∠α+∠4,∠1=∠3+∠4, \therefore ∠2=80°+∠α+∠1, \therefore ∠2-∠1=∠α+80°.$如图②,$\because ∠2=80°+∠3+∠4,∠1=∠3+∠4+∠α, \therefore ∠2-∠1=80°-∠α.$