8[2025浙江宁波慈溪期末]二次函数$y=2x^2+4x+m+1$（$m$为常数）的图象过$A(-4,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(1,y_3)$，$D(4,y_4)$四个点，下列说法一定正确的是（）

A.若$y_1y_2＞0$，则$y_3y_4＞0$
B.若$y_1y_4＞0$，则$y_2y_3＞0$
C.若$y_3y_4＜0$，则$y_1y_2＞0$
D.若$y_2y_3＜0$，则$y_1y_4＞0$

8.D 【解析】$\because y=2x^2+4x+m+1$,$a=2＞0$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=-\frac{4}{2×2}=-1$. $\because 4-(-1)＞-1-(-4)＞1-(-1)＞-1-(-2)$,$\therefore y_4＞y_1＞y_3＞y_2$. 若 $y_4＞0＞y_1＞y_3＞y_2$,则$y_1y_2＞0$,$y_3y_4＜0$,故选项 A 错误. 若 $y_4＞y_1＞y_3＞0＞y_2$,则$y_1y_4＞0$,$y_2y_3＜0$,故选项 B 错误. 若 $y_4＞y_1＞0＞y_3＞y_2$,则$y_3y_4＜0$,$y_1y_2＜0$,故选项 C 错误. 若 $y_4＞y_1＞y_3＞0＞y_2$,则$y_2y_3＜0$,$y_1y_4＞0$,故选项 D 正确. 故选 D.

9[2025浙江金华永康期末]如图,平行线$l_1,l_2$分别经过$\odot O$直径$AB$的两个端点,$C$为$\odot O$上一点,过点$C$作$l_3// l_1$交$AB$于点$D$,若$l_1,l_2$之间的距离为16,$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$,$BC=20$,则$AB$的长为()

A.$4\sqrt{26}$
B.21
C.$5\sqrt{17}$
D.$7\sqrt{10}$

(第9题图)
(第10题图)

9.C 【解析】过点 $C$ 作 $CM ⊥ l_1$ 于点 $M$,$MC$ 的延长线交 $l_2$ 于点 $N$,如图. $\because l_1// l_2$,$\therefore MN ⊥ l_2$,$\therefore MN = 16$. $\because l_3// l_1$,$\therefore l_3// l_2$,$\therefore \frac{MC}{CN} = \frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}$,$\therefore \frac{MC}{MN} = \frac{1}{4}$,$\therefore MC = \frac{1}{4} MN = \frac{1}{4} × 16=4$,$\therefore CN = 12$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCN$ 中,$BN = \sqrt{BC^2-CN^2} = \sqrt{20^2-12^2} = 16$. $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB = 90°$. $\because ∠ ACM+∠ CAM=90°$,$∠ ACM+∠ BCN=90°$,$\therefore ∠ CAM = ∠ BCN$. $\because ∠ CMA = ∠ CNB$,$\therefore △ ACM ∽ △ CBN$,$\therefore \frac{AC}{BC} = \frac{MC}{NB}$,即 $\frac{AC}{20} = \frac{4}{16}$,解得 $AC = 5$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{5^2+20^2} = 5\sqrt{17}$. 故选 C.

10[2026 浙江宁波质检]如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=45°,BC=2,AD,BE分别是BC,AC边上的高线,AD与BE交于点F,则FD的最大值为 ()

A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

10.C 【解析】$\because AD,BE$ 分别是 $BC,AC$ 边上的高线,$\therefore ∠ ADB= ∠ ADC = 90°$, $∠ BEA = ∠ BEC = 90°$. $\because ∠ BAC=45°$,$\therefore ∠ ABE = 45° = ∠ BAC$,$\therefore AE = BE$. $\because ∠ CBE+∠ BCA=90°$,$∠ CAD+∠ BCA=90°$,$\therefore ∠ CBE = ∠ CAD$. $\because ∠ AEF = ∠ BEC$,$\therefore △ AEF ≌ △ BEC (\mathrm{ASA})$,$\therefore AF = BC = 2$. 如图,作$△ ABC$ 的外接圆 $\odot O$,连结 $OB$, $OC$. $\because ∠ BAE=45°$,$\therefore ∠ BOC = 2∠ BAC = 90°$. 又 $\because OB = OC$,$\therefore ∠ OBC = ∠ OCB=45°$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBC$ 中,由勾股定理得 $BC = \sqrt{OB^2+OC^2} = \sqrt{2}\ OB = 2$,$\therefore OB = \sqrt{2}$. 过 $O$ 作 $OD' ⊥ BC$ 于 $D'$,延长 $D'O$ 交 $\odot O$ 于点 $A'$. 由垂径定理,得 $BD' = 1$,$∠ BOD' = 45°$,$\therefore ∠ BOD' = ∠ OBD'$,$\therefore OD' = BD' = 1$,$\therefore A'D' = \sqrt{2} + 1$. $\because FD = AD - AF$,$AF = BC = 2$,$\therefore FD = AD - 2$,$\therefore$ 当 $AD$ 的值最大时,$FD$ 的值最大. 当 $AD$ 过圆心 $O$ 时,$AD$ 的值最大,最大值为 $A'D'$ 的值,即$\sqrt{2} + 1$,$\therefore FD$ 的最大值为$\sqrt{2}+1-2=\sqrt{2}-1$,故选 C.

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11[2025浙江台州椒江区校级期末]如图显示了用计算机模拟投掷一枚图钉的试验的结果.随着投掷次数的增加,“钉尖向上”的频率总在一常数附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是.

11.0.618 【解析】因为随着投掷次数的增加,“钉尖向上”的频率总稳定在0.618附近,所以“钉尖向上”的频率约为0.618,可以估计概率是0.618,故答案为0.618.

12[2026浙江杭州滨江区期末]如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BC是$\odot O$的直径，若$BC=2CD$，则$∠ BAD$的度数是。

12.120° 【解析】如图,连结 OD.
$\because BC$ 是 $\odot O$ 的直径,$BC = 2CD$,
$\therefore OC=OD=CD$,$\therefore △ COD$ 为等边三角形,$\therefore ∠ C = 60°$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore ∠ BAD+∠ C=180°$,$\therefore ∠ BAD=120°$,故答案为$120°$.

13[2025浙江杭州拱墅区期末]如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB'C'D'，若点C,B',D'恰好在同一直线上，且BC=2，则AB的长为。

13.$\sqrt{5}-1$ 【解析】设$AB=x$. $\because$ 将矩形$ABCD$绕点A逆时针旋转90°得到矩形$AB'C'D'$,$\therefore AB'=AB=x$,$AD'=AD=BC=2$,$∠ DAB=∠ D'AB'=90°$,$\therefore ∠ DAB+∠ D'AB'=180°$,$\therefore D',A,B$ 三点共线. $\because AD// BC$,$\therefore △ AB'D' ∽ △ BCD'$,$\therefore \frac{AB'}{BC} = \frac{AD'}{BD'}$,即 $\frac{x}{2} = \frac{2}{x+2}$,解得$x=\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$(舍去),经检验,$x=\sqrt{5}-1$是方程的解,也符合题意,$\therefore AB$的长为$\sqrt{5}-1$. 故答案为$\sqrt{5}-1$.

14[2025 浙江嘉兴平湖期末]如图,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$x$轴的正半轴交于点$A,B(A$在$B$的左侧$)$,与$y$轴交于点$C$,若$OA:OB:OC=1:2:3$,则二次函数的表达式是________.

14.$y=x^2 - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ 【解析】设 $OA = t$,则 $OB = 2t$,$OC = 3t$,
$\therefore A(t,0)$,$B(2t,0)$,$C(0,3t)$. $\because$ 抛物线与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点,$\therefore$ 设二次函数表达式为 $y=(x-t)(x-2t)$,把 $C(0,3t)$代入得$3t=(0-t)(0-2t)$,解得$t_1=0$(舍去),$t_2=\frac{3}{2}$,
$\therefore$ 二次函数表达式为 $y=(x-\frac{3}{2})(x-3)$,即 $y=x^2 - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$. 故答案为 $y=x^2 - \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$.

15[2025浙江金华东阳期末]如图,在$\odot O$中,直径CD长为4,弦AB⊥CD于点G,且OG=1,点E为弧BC上一点,连结AE,过点C作CF⊥AE于点F,若FC=$\sqrt{6}$,则AE的长为.

15.$\sqrt{6}+\sqrt{2}$ 【解析】连结 $AC$,$CE$,$OA$,$AD$,如图. $\because$ 直径 $CD$ 长为 $4$,$\therefore OD = \frac{1}{2} ×4 = 2$. $\because OG = 1$,$\therefore DG = OD - OG = 1$,
$\therefore AB$ 垂直平分 $OD$,$\therefore AO = AD$. $\because OD = OA$,$\therefore △ AOD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ D = 60°$,$AD = OD = 2$. $\because CD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ CAD = 90°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CA = \sqrt{CD^2-AD^2} = \sqrt{4^2-2^2} = 2\sqrt{3}$. $\because CF ⊥ AE$,$CF = \sqrt{6}$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACF$ 中,$AF = \sqrt{AC^2-CF^2} = \sqrt{6}$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CFE$ 中,$∠ CEF = ∠ D = 60°$,$∠ CFE = 90°$,$\therefore ∠ ECF = 30°$,$\therefore$ 易得 $EF = \sqrt{2}$,
$\therefore AE=AF+EF=\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{6}+\sqrt{2}$.

16[2025浙江杭州拱墅区校级期末]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，把$\mathrm{Rt}△ ABC$沿斜边$AB$折叠，得到$△ ABD$，过点$D$作$DE ⊥ CA$交$CA$的延长线于点$E$，过点$C$作$CN // AD$，分别交$AB$，$BD$于点$M$，$N$，若$CM=3$，$DE=2\sqrt{2}$，则$\dfrac{BM}{AM}=$。

16.$\frac{1}{2}$ 【解析】如图所示,连结 $DM$ 并延长交 $BC$ 于点 $F$.
$\because CM// AD$,$\therefore ∠ DAM = ∠ CMA$. 由折叠的性质可得 $CA = AD$,$∠ DAM = ∠ CAM$,$\therefore ∠ CAM = ∠ CMA$,$\therefore CA = CM$,
$\therefore CM=AD$,$\therefore$ 四边形 $ACMD$ 为平行四边形,$AD = CM = 3$,
$\therefore DF// EC$. 又$\because ∠ ECB=90°$,$\therefore ∠ DFC=90°$. 又$\because ∠ E = 90°$,$\therefore$ 四边形 $DFCE$ 为矩形,$\therefore DE = FC = 2\sqrt{2}$,$\therefore FM = \sqrt{CM^2-FC^2} = \sqrt{9-8} = 1$. 由折叠的性质可得 $∠ ADB = ∠ ACB = 90°$. $\because CM // AD$,$\therefore ∠ BNM = ∠ ADB = 90°$.
$\because MF ⊥ BC$,$BA$ 为 $∠ DBC$ 的平分线,$\therefore NM = FM = 1$.
$\because MN// AD$,$\therefore △ BNM ∽ △ BDA$,$\therefore \frac{BM}{BA} = \frac{NM}{AD} = \frac{1}{3}$,$\therefore$ 设 $BM = k$,$BA = 3k$,则 $AM = 3k - k = 2k$,$\therefore \frac{BM}{AM} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$. 故答案为$\frac{1}{2}$.