三、解答题(本大题共8小题,共72分)
17(8分)[2025浙江绍兴质检]已知线段$a,b,c$,根据以下条件回答问题.
(1)若$a=4\ \mathrm{cm},b=9\ \mathrm{cm},c$是$a,b$的比例中项,求$c$的长;
(2)若$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5},a+b+c=48$,求$a,b,c$的长.

17.【解】(1)$\because c$ 是 $a,b$ 的比例中项,
$\therefore c^2=ab=4×9=36$,$\therefore c=\pm6$. $\because c＞0$,$\therefore c$ 的长是 $6\ \mathrm{cm}$.
(2)设 $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,$\therefore a=3k$,$b=4k$,$c=5k$,
$\therefore a+b+c=12k=48$,解得 $k=4$,$\therefore a=12$,$b=16$,$c=20$.

18(8分)[2025浙江金华东阳期末]有4个完全一样的球，分别在球面写上-1,2,-3,4，放进一个不透明的口袋中.
(1)从口袋中任意摸出一个球，求球面上的数是正数的概率.
(2)先从口袋中任意摸出一个球，记下数字，不放回，再摸出一个球，记下数字.用列表或画树状图的方法求两次摸出的数字之和是正数的概率.

18.【解】(1)$-1,2,-3,4$ 这四个数中,正数有 $2,4$,
$\therefore$ 球面上的数是正数的概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
(2)画树状图如下:
共有 $12$ 种等可能的结果,其中两次摸出的数字之和是正数的结果有$(-1,2)$,$(-1,4)$,$(2,-1)$,$(2,4)$,$(-3,4)$,$(4,-1)$,$(4,2)$,$(4,-3)$,共8种,
$\therefore$ 两次摸出的数字之和是正数的概率为 $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

19(8分)[2026浙江宁波期末]如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点叫作格点,△ABC的三个顶点均在格点上,仅用无刻度的直尺在给定网格中画图(保留作图痕迹).
(1)在图(1)中画△DEF,使得△DEF与△ABC的相似比为$1:\sqrt{2};$
(2)在图(2)中画出△ABC的重心O.

19.【解】(1)如图(1)所示,$△ DEF$ 即为所求.(答案不唯一)
(2)如图(2)所示,点 $O$ 即为所求.

20(8分)[2025浙江杭州拱墅区期末]如图,一小球从点A处以4米/秒的速度水平抛出,下落过程中水平方向速度不变,忽略空气阻力,点M在下落路线上,点A,M间的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=0.1秒时,h=0.05米.
(1)求h关于t的函数表达式.
(2)已知A点的离地高度AQ为3.2米,求小球的落地位置P点与A点的水平距离PQ.

20.【解】(1)$\because$ 点 $A,M$ 间的竖直距离 $h$(米)与飞出时间 $t$(秒)的平方成正比,$\therefore$ 设 $h=kt^2$.
$\because$ 当 $t=0.1$ 秒时,$h=0.05$ 米,
$\therefore 0.01k=0.05$,$\therefore k=5$,$\therefore h=5t^2$.
(2)$\because h=5t^2$,$\therefore 3.2=5t^2$,$\therefore t^2=0.64$.
$\because t＞0$,$\therefore t=0.8$ 秒,$\therefore PQ=0.8×4=3.2$(米).
答:小球的落地位置 $P$ 点与 $A$ 点的水平距离 $PQ$ 为 $3.2$ 米.

21(8分)[2025浙江湖州期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点A在圆O上,AC交圆O于点M,BC与圆O交于点D,$DE ⊥ AD$交AB于点E,$DM=DE$,AE为圆O的直径,$DF ⊥ AB$于F.
(1)求证:$∠ CAD=∠ DAB$;
(2)若DM平分$∠ ADC$,求$∠ CAD$的度数;
(3)若$AD=BD=6\ \mathrm{cm}$,求图中阴影部分的面积.

21.(1)【证明】$\because DM=DE$,$\therefore \overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{DE}$,$\therefore ∠ CAD=∠ DAB$.
【解】(2)连结 $OM$,$OD$,作 $OH ⊥ MD$ 于 $H$,如图.
$\because OA=OD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$.
$\because ∠ CAD=∠ DAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ ODA$,$\therefore OD// AC$.
$\because ∠ C=90°$,$\therefore AC ⊥ BC$,
$\therefore OD ⊥ BC$,$\therefore ∠ MDC+∠ MDO=90°$.
$\because OM=OD$,$OH ⊥ MD$,$\therefore ∠ DOH=\frac{1}{2} ∠ MOD$.
$\because ∠ CAD=\frac{1}{2} ∠ MOD$,
$\therefore ∠ CAD=∠ DOH$. $\because ∠ DOH+∠ MDO=90°$,
$\therefore ∠ DOH=∠ CDM$,$\therefore ∠ CAD=∠ CDM$.
$\because DM$ 平分 $∠ ADC$,$\therefore ∠ CDM=∠ ADM$.
$\because ∠ CAD+∠ ADM+∠ CDM=90°$,$\therefore ∠ CAD=30°$.
(3)$\because DA=DB$,$\therefore ∠ DAB=∠ B$.
$\because OD=OA$,$\therefore ∠ DAB=∠ ADO$,
$\therefore ∠ DOB=∠ DAB+∠ ADO=2∠ B$.
$\because OD ⊥ BC$,$\therefore ∠ DOB+∠ B=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ DAB=30°$,$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because AD=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore DF=\frac{1}{2} AD=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 易得 $OF=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$OD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{扇形}ODE} = \frac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360} = 2π(\mathrm{cm}^2)$,$S_{△ ODF} = \frac{1}{2} OF · DF = \frac{1}{2} ×3×\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = S_{\mathrm{扇形}ODE} - S_{△ ODF} = (2π - \frac{3\sqrt{3}}{2}) \mathrm{cm}^2$.