1[中]如图,直线OC,BC的函数关系式分别是$y_1=x$和$y_2=-2x+6$,直线BC与x轴交于点B,直线BA与直线OC相交于点A,解答下面问题:
(1)当直线BA平分$△ BOC$的面积时,求直线BA的函数表达式;
(2)将直线OC向上平移2个单位长度,直线BC向右平移2个单位长度,求平移后的直线与坐标轴围成的四边形的面积.

(1)令$y_2=0$,则$-2x+6=0$,所以$x=3$,所以$B(3,0)$,联立$\begin{cases}y=x,\\y=-2x+6,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$所以点$C$的坐标为$(2,2)$.因为直线$BA$平分$△ BOC$的面积,所以$BA$是$△ BOC$的中线,所以点$A$是$OC$的中点,所以点$A$的坐标为$(1,1)$.设直线$BA$的表达式为$y = kx + b$,所以$\begin{cases}k+b=1,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{3}{2},\end{cases}$所以直线$BA$的函数表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.
(2)将直线$OC$向上平移2个单位长度,得到直线的表达式为$y=x+2$,将直线$BC$向右平移2个单位长度,得到直线的表达式为$y=-2(x-2)+6=-2x+10$.由$\begin{cases}y=x+2,\\y=-2x+10,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{8}{3},\\y=\dfrac{14}{3},\end{cases}$所以平移后两直线的交点坐标为$(\dfrac{8}{3},\dfrac{14}{3})$,所以平移后的直线与坐标轴围成的四边形的面积为$\dfrac{1}{2}×(2+\dfrac{14}{3})×\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{2}×(5-\dfrac{8}{3})×\dfrac{14}{3}=\dfrac{129}{9}$.

2[中]若直线$y=-4x+m$与直线$y=nx+2(n≠0)$关于y轴对称,则直线$y=mx+n$与坐标轴围成的三角形的面积为 ()

A.4
B.3
C.2
D.1

【解析】因为直线$y=-4x+m$与直线$y=nx+2(n≠0)$关于$y$轴对称,所以$m=2,n=4$,所以直线$y=mx+n$的表达式为$y=2x+4$,令$x=0$,则$y=4$,令$y=0$,则$x=-2$,所以直线$y=mx+n$与坐标轴的交点为$(-2,0)$和$(0,4)$,所以直线$y=mx+n$与坐标轴围成的三角形的面积为$\dfrac{1}{2}×2×4=4$.故选A.

3[较难]如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,点C在线段OB上,将$△ ABC$沿AC翻折,点B恰好落在x轴上的点D处,直线DC交AB于点E.
(1)求点C的坐标.
(2)若点P在直线DC上,点Q是y轴上一点(不与点B重合),当$△ CPQ$和$△ CBE$全等时,点P的坐标为(不包括这两个三角形重合的情况).

(1)因为$y=-\dfrac{4}{3}x+4$,令$x=0$,则$y=4$,令$y=0$,则$x=3$,所以$A(3,0),B(0,4)$,所以$OA=3,OB=4$.因为$∠ AOB=90°$,所以由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.
因为将$△ ABC$沿$AC$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$D$处,所以$AD=AB=5$,所以$OD=2$.
设$OC=x$,则$BC=DC=4-x$.在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理得$x^2+2^2=(4-x)^2$,解得$x=\dfrac{3}{2}$,所以$C(0,\dfrac{3}{2})$.
(2)设直线$CD$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,将$C$点坐标$(0,\dfrac{3}{2})$代入得$b=\dfrac{3}{2}$,再将$D$点坐标$(-2,0)$代入$y=kx+\dfrac{3}{2}$,解得$k=\dfrac{3}{4}$,所以直线$CD$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$.
因为将$△ ABC$沿$AC$翻折,点$B$恰好落在$x$轴上的点$D$处,所以$∠ ABO = ∠ CDO$.因为$∠ BCE = ∠ DCO$,所以$∠ BEC = ∠ COD = 90°$.由(1)得$OC=\dfrac{3}{2}$,所以$BC=4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$.
①当点$D$与$P$重合,点$Q$与$O$重合时,$△ CPQ≌△ CBE$,此时$P(-2,0)$.
②由①易知$BE=2,CE=\dfrac{3}{2}$. ,当$CQ=BC=\dfrac{5}{2}$,即点$Q$的纵坐标为$-1$,$CE=CP=\dfrac{3}{2}$,$PQ=BE=2$,$∠ CPQ = ∠ BEC=90°$时,$△ CPQ≌△ CEB$,所以$\dfrac{1}{2}×(-x_P)×\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×2$,解得$x_P=-\dfrac{6}{5}$,所以$y_P=\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{6}{5})+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{5}$,所以$P(-\dfrac{6}{5},\dfrac{3}{5})$.
③,当$PQ = BE = 2$,$CQ = CE = \dfrac{3}{2}$,$∠ CEB = ∠ CQP = 90°$时,$△ CPQ ≌ △ CBE$,所以$x_P=2$,所以$y_P=\dfrac{3}{4}×2+\dfrac{3}{2}=3$,所以$P(2,3)$.
综上,点$P$的坐标为$(-2,0)$或$(2,3)$或$(-\dfrac{6}{5},\dfrac{3}{5})$.

4[较难]如图,已知直线$l_1:y=kx(k＞0)$上有一点A,直线$l_1$绕着原点O旋转$45°$得到直线$l_2$,过点A作$AB⊥ l_1$,交直线$l_2$于点B.
(1)当$k=\frac{1}{2}$,且点A的横坐标是4,点B在第一象限内时,求点B的坐标和直线$l_2$的表达式;
(2)当点A的横坐标是$m(m＞0)$时,求旋转后直线$l_2$的表达式.(用含字母k的式子表示)

思路分析
(1)构造全等,求出点$B$的坐标,通过点$B$的坐标即可得到直线$l_2$的表达式.
(2)分两种情况讨论:①当直线$l_1$绕着原点$O$逆时针旋转 $45°$时,由(1)可知 $B ( m - km,m+km)$,进而可求出直线$l_2$的表达式;
②当直线$l_1$绕着原点$O$顺时针旋转$45°$时,利用两直线垂直,$k$值相乘得$-1$解答即可.
(1)因为$k=\dfrac{1}{2}$,所以$y=\dfrac{1}{2}x$.因为点$A$的横坐标是4,所以$A(4,2)$. ,过点$A$作$MN⊥ x$轴于点$N$,过点$B$作$BM⊥ MN$于点$M$.因为$∠ AOB = 45°$,$OA⊥ AB$,所以易得$OA = AB$.因为$OA ⊥ AB$,所以$∠ OAB= 90°$,所以$∠ OAN + ∠ BAM = 90°$.又因为$∠ OAN+ ∠ AON = 90°$,所以$∠ BAM = ∠ AON$.在$△ ONA$和$△ AMB$中,$\begin{cases}∠ AON= ∠ BAM,\\∠ ANO= ∠ BMA,\\OA=AB,\end{cases}$所以$△ ONA≌△ AMB(\mathrm{AAS})$,所以$ON = AM$,$AN = BM$.因为$A(4,2)$,所以$B(2,6)$.设直线$l_2$的表达式为$y=nx(n≠0)$,所以$6=2n$,所以$n=3$,所以直线$l_2$的表达式为$y=3x$.
(2)由题可知$A(m,km)$.①当直线$l_1$绕着原点$O$逆时针旋转$45°$时,如图所示.由(1)可知$B(m-km,m+km)$,所以直线$l_2$的表达式为$y=\dfrac{1+k}{1-k}x$.
②当直线$l_1$绕着原点$O$顺时针旋转$45°$时,如图所示.
因为$∠ AOB = ∠ AOB' = 45°$,所以$∠ BOB' = 90°$,即$l_2 ⊥ l_2'$,所以易得直线$l_2'$的表达式为$y=\dfrac{k-1}{1+k}x$.
综上所述,$l_2$的表达式为$y=\dfrac{1+k}{1-k}x$或$y=\dfrac{k-1}{1+k}x$.