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【模型准备】
校门口东西方向共有5条车道，路口无红绿灯.兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量(每分钟该方向通行的车辆数，单位:辆/min)与该方向车道数的比值来衡量.例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵程度为10.拥堵程度的数值越大，该方向越拥堵.记自东向西的拥堵程度为$ u_1 $，自西向东的拥堵程度为$ u_2 $.
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
| 时间$ x $ | 8时 | 11时 | 14时 | 17时 | 20时 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 自东向西交通量$ y_1 $/(辆/min) | 32 |
| 20 | 14 | 8 |
| 自西向东交通量$ y_2 $/(辆/min) | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 |
【建立模型】
成员小明发现，交通量与时间的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到$ y_1,y_2 $与$ x $之间的函数表达式.
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵程度来合理设置不同时段可变车道的方向.成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向.
【问题求解】
(1)$ y_1 $与$ x $之间的函数表达式为________，$ y_2 $与$ x $之间的函数表达式为________.(不写自变量的取值范围)
(2)在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算$ u_1 $及$ u_2 $的值说明哪个方向更拥堵.
(3)在没有可变车道的情况下，若$ u_1 = u_2 $，求$ x $的值；
(4)根据小敏的想法，直接写出该路段8时至20时可变车道的设置方案.
校门口东西方向共有5条车道，路口无红绿灯.兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量(每分钟该方向通行的车辆数，单位:辆/min)与该方向车道数的比值来衡量.例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵程度为10.拥堵程度的数值越大，该方向越拥堵.记自东向西的拥堵程度为$ u_1 $，自西向东的拥堵程度为$ u_2 $.
【收集数据】
小组成员分工进行数据收集并整理如下：
| 时间$ x $ | 8时 | 11时 | 14时 | 17时 | 20时 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 自东向西交通量$ y_1 $/(辆/min) | 32 |
| 20 | 14 | 8 || 自西向东交通量$ y_2 $/(辆/min) | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 |
【建立模型】
成员小明发现，交通量与时间的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到$ y_1,y_2 $与$ x $之间的函数表达式.
【模型应用】
兴趣小组希望根据两个方向的拥堵程度来合理设置不同时段可变车道的方向.成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向.
【问题求解】
(1)$ y_1 $与$ x $之间的函数表达式为________，$ y_2 $与$ x $之间的函数表达式为________.(不写自变量的取值范围)
(2)在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算$ u_1 $及$ u_2 $的值说明哪个方向更拥堵.
(3)在没有可变车道的情况下，若$ u_1 = u_2 $，求$ x $的值；
(4)根据小敏的想法，直接写出该路段8时至20时可变车道的设置方案.
答案
解:(1)$y_1=-2x+48$ $y_2=x+3$
(2)当$x=13$时,$y_1=-2×13+48=22$,所以$u_1=\frac{22}{3}$.
当$x=13$时,$y_2=13+3=16$,所以$u_2=\frac{16}{2}=8$.
因为$u_1＜u_2$,所以自西向东方向更拥堵.
(3)因为$u_1=u_2$,没有可变车道,所以$\frac{y_1}{2}=\frac{y_2}{2}$.
所以$y_1=y_2$,所以$-2x+48=x+3$,解得$x=15$.
(4)8时至15时,可变车道设置为自东向西方向;15时至20时,可变车道设置为自西向东方向.
(2)当$x=13$时,$y_1=-2×13+48=22$,所以$u_1=\frac{22}{3}$.
当$x=13$时,$y_2=13+3=16$,所以$u_2=\frac{16}{2}=8$.
因为$u_1＜u_2$,所以自西向东方向更拥堵.
(3)因为$u_1=u_2$,没有可变车道,所以$\frac{y_1}{2}=\frac{y_2}{2}$.
所以$y_1=y_2$,所以$-2x+48=x+3$,解得$x=15$.
(4)8时至15时,可变车道设置为自东向西方向;15时至20时,可变车道设置为自西向东方向.
解析
【分析】
(1) 已知交通量与时间符合一次函数特征，因此设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，分别选取两组已知的$x$和对应$y$的值代入，得到二元一次方程组，求解即可得到两个函数的表达式。
(2) 先将$x=13$代入两个函数表达式，求出对应时刻两个方向的交通量；再结合可变车道为自东向西方向的条件，确定自东向西车道共3条、自西向东车道共2条，按照“拥堵程度=交通量÷车道数”分别计算$u_1$和$u_2$，比较大小即可判断更拥堵的方向。
(3) 没有可变车道时，两个方向的车道数均为2条，根据$u_1=u_2$列等式，将$y_1$、$y_2$的表达式代入得到关于$x$的一元一次方程，解方程即可得到$x$的值。
(4) 以$u_1=u_2$时的$x=15$为分界点，分别判断8时~15时、15时~20时两个方向拥堵程度的大小，按规则将可变车道设置给拥堵程度更高的方向即可。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x+b_1$，将$\begin{cases}x=8,y_1=32\\x=14,y_1=20\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}8k_1+b_1=32\\14k_1+b_1=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-2\\b_1=48\end{cases}$，故$y_1=-2x+48$。
设$y_2=k_2x+b_2$，将$\begin{cases}x=8,y_2=11\\x=11,y_2=14\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}8k_2+b_2=11\\11k_2+b_2=14\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=1\\b_2=3\end{cases}$，故$y_2=x+3$。
(2) 当$x=13$时，代入$y_1=-2x+48$得：$y_1=-2×13+48=22$，此时可变车道为自东向西方向，自东向西车道数为3，因此$u_1=\frac{22}{3}$；
代入$y_2=x+3$得：$y_2=13+3=16$，自西向东车道数为2，因此$u_2=\frac{16}{2}=8$；
因为$\frac{22}{3}＜8$，即$u_1＜u_2$，所以自西向东方向更拥堵。
(3) 没有可变车道时，自东向西、自西向东车道数均为2，若$u_1=u_2$，则$\frac{y_1}{2}=\frac{y_2}{2}$，即$y_1=y_2$，
代入表达式得：$-2x+48=x+3$，移项合并同类项得$3x=45$，解得$x=15$。
(4) 当$8≤x＜15$时，$u_1＞u_2$，可变车道设置为自东向西方向；当$15＜x≤20$时，$u_2＞u_1$，可变车道设置为自西向东方向；$x=15$时两个方向拥堵程度相同，可变车道可任意设置。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y_1=-2x+48}$；$\boldsymbol{y_2=x+3}$
(2) 自西向东方向更拥堵
(3) $\boldsymbol{x=15}$
(4) 8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；15时至20时，可变车道设置为自西向东方向
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题以交通拥堵的现实场景为载体，将数学知识与生活实际结合，既考查了一次函数解析式求解、方程计算等基础能力，也考查了信息提取、规则应用的综合分析能力，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知交通量与时间符合一次函数特征，因此设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，分别选取两组已知的$x$和对应$y$的值代入，得到二元一次方程组，求解即可得到两个函数的表达式。
(2) 先将$x=13$代入两个函数表达式，求出对应时刻两个方向的交通量；再结合可变车道为自东向西方向的条件，确定自东向西车道共3条、自西向东车道共2条，按照“拥堵程度=交通量÷车道数”分别计算$u_1$和$u_2$，比较大小即可判断更拥堵的方向。
(3) 没有可变车道时，两个方向的车道数均为2条，根据$u_1=u_2$列等式，将$y_1$、$y_2$的表达式代入得到关于$x$的一元一次方程，解方程即可得到$x$的值。
(4) 以$u_1=u_2$时的$x=15$为分界点，分别判断8时~15时、15时~20时两个方向拥堵程度的大小，按规则将可变车道设置给拥堵程度更高的方向即可。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x+b_1$，将$\begin{cases}x=8,y_1=32\\x=14,y_1=20\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}8k_1+b_1=32\\14k_1+b_1=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-2\\b_1=48\end{cases}$，故$y_1=-2x+48$。
设$y_2=k_2x+b_2$，将$\begin{cases}x=8,y_2=11\\x=11,y_2=14\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}8k_2+b_2=11\\11k_2+b_2=14\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=1\\b_2=3\end{cases}$，故$y_2=x+3$。
(2) 当$x=13$时，代入$y_1=-2x+48$得：$y_1=-2×13+48=22$，此时可变车道为自东向西方向，自东向西车道数为3，因此$u_1=\frac{22}{3}$；
代入$y_2=x+3$得：$y_2=13+3=16$，自西向东车道数为2，因此$u_2=\frac{16}{2}=8$；
因为$\frac{22}{3}＜8$，即$u_1＜u_2$，所以自西向东方向更拥堵。
(3) 没有可变车道时，自东向西、自西向东车道数均为2，若$u_1=u_2$，则$\frac{y_1}{2}=\frac{y_2}{2}$，即$y_1=y_2$，
代入表达式得：$-2x+48=x+3$，移项合并同类项得$3x=45$，解得$x=15$。
(4) 当$8≤x＜15$时，$u_1＞u_2$，可变车道设置为自东向西方向；当$15＜x≤20$时，$u_2＞u_1$，可变车道设置为自西向东方向；$x=15$时两个方向拥堵程度相同，可变车道可任意设置。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y_1=-2x+48}$；$\boldsymbol{y_2=x+3}$
(2) 自西向东方向更拥堵
(3) $\boldsymbol{x=15}$
(4) 8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；15时至20时，可变车道设置为自西向东方向
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题以交通拥堵的现实场景为载体，将数学知识与生活实际结合，既考查了一次函数解析式求解、方程计算等基础能力，也考查了信息提取、规则应用的综合分析能力，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
