登录
1 如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表。一枚圆形方孔钱的外圆半径为$r$，中间方孔边长为$a$，则圆形方孔钱的面积可表示为（
A.$π r^2 - a^2$
B.$π r^2 + a^2$
C.$2π r - a^2$
D.$2π r + a^2$
A
）A.$π r^2 - a^2$
B.$π r^2 + a^2$
C.$2π r - a^2$
D.$2π r + a^2$
答案
1. A
解析
【分析】
要求圆形方孔钱的面积，首先观察图形特征：它是外圆挖去中间正方形方孔得到的不规则图形，因此面积等于外圆的面积减去中间正方形的面积，我们只需要分别计算出圆和正方形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算外圆的面积：已知外圆半径为$r$，根据圆的面积公式，可得外圆面积为$π r^2$；
2. 计算中间方孔的面积：方孔是边长为$a$的正方形，根据正方形面积公式，可得方孔面积为$a× a=a^2$；
3. 计算钱币面积：圆形方孔钱的面积=外圆面积-方孔面积，即$π r^2 - a^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；正方形的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心思路是将不规则图形的面积转化为若干个规则图形面积的和或差，熟记常见规则图形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.9
要求圆形方孔钱的面积，首先观察图形特征：它是外圆挖去中间正方形方孔得到的不规则图形，因此面积等于外圆的面积减去中间正方形的面积，我们只需要分别计算出圆和正方形的面积，再作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算外圆的面积：已知外圆半径为$r$，根据圆的面积公式，可得外圆面积为$π r^2$；
2. 计算中间方孔的面积：方孔是边长为$a$的正方形，根据正方形面积公式，可得方孔面积为$a× a=a^2$；
3. 计算钱币面积：圆形方孔钱的面积=外圆面积-方孔面积，即$π r^2 - a^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；正方形的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心思路是将不规则图形的面积转化为若干个规则图形面积的和或差，熟记常见规则图形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.9
2 一个火炬模型的底座可以近似看作圆锥。如果$V$,$r$,$h$分别表示圆锥体积、底面半径和圆锥的高，那么$V=\frac{1}{3}π r^2 h$。当$r=3\ \mathrm{m}$，$h=12\ \mathrm{m}$时，$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^3$($π$取3)。
答案
2. $\frac{1}{3}π r^2 h$ 108
解析
【分析】
本题已经给出圆锥体积的计算公式，同时明确了底面半径$r$、高$h$以及$π$的取值，解题时只需将对应数值准确代入公式，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再依次计算乘法）即可求出体积$V$的结果。
【解析】
已知圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，将$r=3\ \mathrm{m}$，$h=12\ \mathrm{m}$，$π=3$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}×3×3^2×12\\&=\frac{1}{3}×3×9×12\\&=1×9×12\\&=108(\mathrm{m}^3)\end{aligned}$
【答案】
108
【知识点】
代数式求值，圆锥体积计算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公式的直接应用能力和基础运算能力，解题时需注意准确代入各参数数值，遵循运算顺序计算，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.9
本题已经给出圆锥体积的计算公式，同时明确了底面半径$r$、高$h$以及$π$的取值，解题时只需将对应数值准确代入公式，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再依次计算乘法）即可求出体积$V$的结果。
【解析】
已知圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，将$r=3\ \mathrm{m}$，$h=12\ \mathrm{m}$，$π=3$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}×3×3^2×12\\&=\frac{1}{3}×3×9×12\\&=1×9×12\\&=108(\mathrm{m}^3)\end{aligned}$
【答案】
108
【知识点】
代数式求值，圆锥体积计算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公式的直接应用能力和基础运算能力，解题时需注意准确代入各参数数值，遵循运算顺序计算，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.9
3 如图，在一块长为$a$，宽为$2b$的长方形铁皮中，以$2b$为直径分别剪掉两个半圆. 用含$a$，$b$的代数式表示出剩下铁皮的面积为________（结果保留$π$）.
答案
3. $2ab-π b^2$
解析
【分析】
要求剩下铁皮的面积，可采用“整体减空白”的割补思路：首先明确整体是长方形，空白部分是两个直径为2b的半圆，两个半圆刚好可以拼成一个完整的圆，因此只需分别计算长方形的面积和整圆的面积，再用长方形面积减去圆的面积即可得到结果。
【解析】
1. 计算长方形的面积：长方形的长为$a$，宽为$2b$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得长方形面积$S_{\mathrm{长方形}}=a×2b=2ab$。
2. 计算空白部分的总面积：两个半圆的直径均为$2b$，因此半圆的半径$r=2b÷2=b$，两个半圆恰好可以拼成一个半径为$b$的圆，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得空白部分总面积$S_{\mathrm{空白}}=π× b^2=π b^2$。
3. 计算剩下铁皮的面积：$S_{\mathrm{剩}}=S_{\mathrm{长方形}}-S_{\mathrm{空白}}=2ab-π b^2$。
【答案】
$2ab-π b^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是将零散的空白图形拼接为规则的整圆，把不规则面积的计算转化为规则图形面积的差，解题时需熟练掌握常见规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.8
要求剩下铁皮的面积，可采用“整体减空白”的割补思路：首先明确整体是长方形，空白部分是两个直径为2b的半圆，两个半圆刚好可以拼成一个完整的圆，因此只需分别计算长方形的面积和整圆的面积，再用长方形面积减去圆的面积即可得到结果。
【解析】
1. 计算长方形的面积：长方形的长为$a$，宽为$2b$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得长方形面积$S_{\mathrm{长方形}}=a×2b=2ab$。
2. 计算空白部分的总面积：两个半圆的直径均为$2b$，因此半圆的半径$r=2b÷2=b$，两个半圆恰好可以拼成一个半径为$b$的圆，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得空白部分总面积$S_{\mathrm{空白}}=π× b^2=π b^2$。
3. 计算剩下铁皮的面积：$S_{\mathrm{剩}}=S_{\mathrm{长方形}}-S_{\mathrm{空白}}=2ab-π b^2$。
【答案】
$2ab-π b^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是将零散的空白图形拼接为规则的整圆，把不规则面积的计算转化为规则图形面积的差，解题时需熟练掌握常见规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.8
4 教材P81例4变式 一块三角尺的形状和尺寸如图所示,如果圆孔的半径是r,三角尺的厚度是h,用式子表示这块三角尺的体积V.若a=6,r=0.5,h=0.2,求V的值(π取3).
答案
4. 这块三角尺的体积$V=\frac{1}{2}a^2h-π r^2h$ 因为$a=6,r=0.5$,$h=0.2$,所以$V=\frac{1}{2}×6^2×0.2-3×0.5^2×0.2=3.45$,即$V$的值是3.45
解析
【分析】
求解带孔三角尺的体积可采用“整体减空白”的思路：首先将未打孔的三角尺看作底面为等腰直角三角形、高为厚度h的直棱柱，根据直棱柱体积=底面积×高计算整体体积；再将中间圆孔看作底面半径为r、高为厚度h的圆柱，按圆柱体积公式计算空缺部分体积；二者作差即可得到体积V的表达式，最后将已知数值代入表达式，按先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到V的具体值。
【解析】
1. 推导体积公式：
等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2}a^2$，则完整三角棱柱的体积为$\frac{1}{2}a^2h$；
中间圆孔为圆柱，底面积为$π r^2$，则圆柱体积为$π r^2 h$；
因此三角尺的体积$V = 完整棱柱体积 - 圆柱体积 = \frac{1}{2}a^2h - π r^2 h$。
2. 代入数值计算：
将$a=6$，$r=0.5$，$h=0.2$，$π=3$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{2} × 6^2 × 0.2 - 3 × 0.5^2 × 0.2 \\&=\frac{1}{2} × 36 × 0.2 - 3 × 0.25 × 0.2 \\&=3.6 - 0.15 \\&=3.45\end{aligned}$
【答案】
$V=\frac{1}{2}a^2h-π r^2h$，V的值为3.45
【知识点】
体积公式应用，列代数式，代数式求值
【点评】
本题考查组合体体积的计算，核心方法是用整体体积减去空缺部分体积，解题时需熟练掌握棱柱、圆柱的体积公式，代入数值计算时要注意运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
求解带孔三角尺的体积可采用“整体减空白”的思路：首先将未打孔的三角尺看作底面为等腰直角三角形、高为厚度h的直棱柱，根据直棱柱体积=底面积×高计算整体体积；再将中间圆孔看作底面半径为r、高为厚度h的圆柱，按圆柱体积公式计算空缺部分体积；二者作差即可得到体积V的表达式，最后将已知数值代入表达式，按先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到V的具体值。
【解析】
1. 推导体积公式：
等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2}a^2$，则完整三角棱柱的体积为$\frac{1}{2}a^2h$；
中间圆孔为圆柱，底面积为$π r^2$，则圆柱体积为$π r^2 h$；
因此三角尺的体积$V = 完整棱柱体积 - 圆柱体积 = \frac{1}{2}a^2h - π r^2 h$。
2. 代入数值计算：
将$a=6$，$r=0.5$，$h=0.2$，$π=3$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{2} × 6^2 × 0.2 - 3 × 0.5^2 × 0.2 \\&=\frac{1}{2} × 36 × 0.2 - 3 × 0.25 × 0.2 \\&=3.6 - 0.15 \\&=3.45\end{aligned}$
【答案】
$V=\frac{1}{2}a^2h-π r^2h$，V的值为3.45
【知识点】
体积公式应用，列代数式，代数式求值
【点评】
本题考查组合体体积的计算，核心方法是用整体体积减去空缺部分体积，解题时需熟练掌握棱柱、圆柱的体积公式，代入数值计算时要注意运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
5 如图，长为$a$、宽为$b$的长方形中涂色部分的面积是（
A.$\frac{ab}{4}$
B.$\frac{ab}{2}$
C.$ab$
D.$\frac{a+b}{2}$
B
）A.$\frac{ab}{4}$
B.$\frac{ab}{2}$
C.$ab$
D.$\frac{a+b}{2}$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：涂色部分是两个高相同的三角形，它们的高都等于长方形的宽$b$，两个三角形的底相加的和正好等于长方形的长$a$。我们可以先分别表示出两个三角形的面积，再相加化简，也可以利用整体思想，把两个三角形的底之和作为整体代入三角形面积公式计算，避免分别求底的繁琐。
【解析】
设左边阴影三角形的底为$x$，则右边阴影三角形的底为$a-x$，两个三角形的高均等于长方形的宽$b$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
左边阴影面积：$S_1=\frac{1}{2}xb$
右边阴影面积：$S_2=\frac{1}{2}(a-x)b$
总面积$S=S_1+S_2=\frac{1}{2}xb+\frac{1}{2}(a-x)b$
提取公因式化简得：$S=\frac{1}{2}b(x+a-x)=\frac{1}{2}ab$
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，整式加减运算，用字母表示数
【点评】
本题考查组合图形的面积求解，核心是抓住两个阴影三角形高相等、底的和为长方形长的特征，运用整体思想计算即可快速得到答案，避免不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：涂色部分是两个高相同的三角形，它们的高都等于长方形的宽$b$，两个三角形的底相加的和正好等于长方形的长$a$。我们可以先分别表示出两个三角形的面积，再相加化简，也可以利用整体思想，把两个三角形的底之和作为整体代入三角形面积公式计算，避免分别求底的繁琐。
【解析】
设左边阴影三角形的底为$x$，则右边阴影三角形的底为$a-x$，两个三角形的高均等于长方形的宽$b$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
左边阴影面积：$S_1=\frac{1}{2}xb$
右边阴影面积：$S_2=\frac{1}{2}(a-x)b$
总面积$S=S_1+S_2=\frac{1}{2}xb+\frac{1}{2}(a-x)b$
提取公因式化简得：$S=\frac{1}{2}b(x+a-x)=\frac{1}{2}ab$
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，整式加减运算，用字母表示数
【点评】
本题考查组合图形的面积求解，核心是抓住两个阴影三角形高相等、底的和为长方形长的特征，运用整体思想计算即可快速得到答案，避免不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.8
6【剪拼操作】如图①，在边长为$a$的正方形内剪掉一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$.把图①中的空白部分沿虚线剪下来，拼接成如图②所示的平行四边形.
【探究发现】设图①中空白部分的面积为$S_1$，两个正方形对应边的距离为$x$，图②中平行四边形的面积为$S_2$，底边长为$m$.
（1）用含$a,b$的代数式表示：$x=$
（2）用含$a,b$的不同的代数式表示：$S_1=$
（3）若$a=2\dfrac{1}{2},b=1$，分别求出$S_1$和$S_2$的值.
【探究发现】设图①中空白部分的面积为$S_1$，两个正方形对应边的距离为$x$，图②中平行四边形的面积为$S_2$，底边长为$m$.
（1）用含$a,b$的代数式表示：$x=$
$\frac{a-b}{2}$
，$m=$$2(a+b)$
；（2）用含$a,b$的不同的代数式表示：$S_1=$
$a^2-b^2$
，$S_2=$$(a+b)(a-b)$
；（3）若$a=2\dfrac{1}{2},b=1$，分别求出$S_1$和$S_2$的值.
答案
6. (1) $\frac{a-b}{2}$ $2(a+b)$ (2) $a^2-b^2$ $(a+b)(a-b)$ (3) 当$a=2\frac{1}{2},b=1$时，$S_1=(2\frac{1}{2})^2-1^2=\frac{21}{4},S_2=(2\frac{1}{2}+1)×(2\frac{1}{2}-1)=\frac{21}{4}$
解析
【分析】
（1）求x时，观察图①可知，大正方形的边长等于小正方形边长加左右两个x的长度，据此列等式即可求出x；求平行四边形的底m时，分析剪拼的空白部分是4个全等的直角梯形，拼接时相邻梯形的上下底依次相连，即可得到m的表达式。
（2）求$S_1$直接用大正方形面积减去小正方形面积即可；$S_2$是平行四边形的面积，用底乘高计算，也可根据剪拼前后面积不变得到结果，刚好对应平方差公式的两种表达形式。
（3）将a、b的数值分别代入（2）中$S_1$、$S_2$的表达式计算即可。
【解析】
（1）由图①的边长关系可得：$b + 2x = a$，移项整理得$x=\frac{a-b}{2}$；
空白部分为4个全等的直角梯形，上底长为b，下底长为a，拼接成平行四边形时，底边长为两组梯形上下底的和，即$m=a+b+a+b=2(a+b)$。
（2）图①空白部分面积为大正方形面积减小正方形面积，因此$S_1=a^2 - b^2$；
图②平行四边形的高等于$x=\frac{a-b}{2}$，根据平行四边形面积=底×高，可得$S_2=m · x=2(a+b) × \frac{a-b}{2}=(a+b)(a-b)$，也可由剪拼前后面积不变直接得到该结果。
（3）当$a=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2},b=1$时：
$S_1=a^2 - b^2=(\frac{5}{2})^2 - 1^2=\frac{25}{4} - 1=\frac{21}{4}$；
$S_2=(a+b)(a-b)=(\frac{5}{2}+1) × (\frac{5}{2}-1)=\frac{7}{2} × \frac{3}{2}=\frac{21}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{a-b}{2}$，$2(a+b)$
(2) $a^2-b^2$，$(a+b)(a-b)$
(3) $S_1=\frac{21}{4}$，$S_2=\frac{21}{4}$
【知识点】
平方差公式的几何背景，列代数式，代数式求值
【点评】
本题通过图形剪拼操作直观展现了平方差公式的几何意义，解题时要充分利用图形的边长关系和剪拼前后面积不变的隐含条件，能帮助学生更好地理解代数公式的几何内涵。
【难度系数】
0.8
（1）求x时，观察图①可知，大正方形的边长等于小正方形边长加左右两个x的长度，据此列等式即可求出x；求平行四边形的底m时，分析剪拼的空白部分是4个全等的直角梯形，拼接时相邻梯形的上下底依次相连，即可得到m的表达式。
（2）求$S_1$直接用大正方形面积减去小正方形面积即可；$S_2$是平行四边形的面积，用底乘高计算，也可根据剪拼前后面积不变得到结果，刚好对应平方差公式的两种表达形式。
（3）将a、b的数值分别代入（2）中$S_1$、$S_2$的表达式计算即可。
【解析】
（1）由图①的边长关系可得：$b + 2x = a$，移项整理得$x=\frac{a-b}{2}$；
空白部分为4个全等的直角梯形，上底长为b，下底长为a，拼接成平行四边形时，底边长为两组梯形上下底的和，即$m=a+b+a+b=2(a+b)$。
（2）图①空白部分面积为大正方形面积减小正方形面积，因此$S_1=a^2 - b^2$；
图②平行四边形的高等于$x=\frac{a-b}{2}$，根据平行四边形面积=底×高，可得$S_2=m · x=2(a+b) × \frac{a-b}{2}=(a+b)(a-b)$，也可由剪拼前后面积不变直接得到该结果。
（3）当$a=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2},b=1$时：
$S_1=a^2 - b^2=(\frac{5}{2})^2 - 1^2=\frac{25}{4} - 1=\frac{21}{4}$；
$S_2=(a+b)(a-b)=(\frac{5}{2}+1) × (\frac{5}{2}-1)=\frac{7}{2} × \frac{3}{2}=\frac{21}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{a-b}{2}$，$2(a+b)$
(2) $a^2-b^2$，$(a+b)(a-b)$
(3) $S_1=\frac{21}{4}$，$S_2=\frac{21}{4}$
【知识点】
平方差公式的几何背景，列代数式，代数式求值
【点评】
本题通过图形剪拼操作直观展现了平方差公式的几何意义，解题时要充分利用图形的边长关系和剪拼前后面积不变的隐含条件，能帮助学生更好地理解代数公式的几何内涵。
【难度系数】
0.8
