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21 如图,在正方形ABCD中,P是AB上一动点(不与点A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,连接PO,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.给出下列结论:① $△ APE ≌ △ AME$;② $PM + PN = \sqrt{2} BD$;③ $PE^2 + PF^2 = PO^2$.其中,正确的是 (
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
(第21题) (第22题)
B
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
(第21题) (第22题)
答案
21. B
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质：对角线互相垂直且平分内角，得到相关角的度数，再逐一验证三个结论：①通过角边角判定两个三角形全等；②分别将PM、PN用等腰直角三角形的边长关系转化，求和后和$\sqrt{2}BD$比较；③利用矩形的性质将PF转化为OE，再结合勾股定理验证结论，最终选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，$∠ BAC=∠ DAC=∠ ABD=45°$，$∠ DAB=∠ ABC=90°$。
①证明：
∵PM⊥AC，
∴$∠ AEP=∠ AEM=90°$，
在△APE和△AME中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAE=∠ MAE\\ AE=AE\\ ∠ AEP=∠ AEM\end{array} $
∴$△ APE ≌ △ AME$（ASA），故①正确；
②
∵$∠ APM=90°-∠ PAE=45°$，$∠ PAM=90°$，
∴△APM是等腰直角三角形，$\therefore PM=\sqrt{2}AP$，
同理，△BPN是等腰直角三角形，$\therefore PN=\sqrt{2}BP$，
$\therefore PM+PN=\sqrt{2}(AP+BP)=\sqrt{2}AB$，
又
∵正方形对角线$BD=\sqrt{2}AB$，
$\therefore PM+PN=BD≠\sqrt{2}BD$，故②错误；
③
∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形PEOF是矩形，$\therefore PF=OE$，
在Rt△PEO中，由勾股定理得：$PE^2+OE^2=PO^2$，
$\therefore PE^2+PF^2=PO^2$，故③正确。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合正方形、等腰直角三角形、矩形的性质对结论逐一验证，重点考查逻辑推理能力和对几何性质的综合运用能力，解题时要注意将线段进行合理转化，避免计算出错。
【难度系数】
0.65
解题时先利用正方形的性质：对角线互相垂直且平分内角，得到相关角的度数，再逐一验证三个结论：①通过角边角判定两个三角形全等；②分别将PM、PN用等腰直角三角形的边长关系转化，求和后和$\sqrt{2}BD$比较；③利用矩形的性质将PF转化为OE，再结合勾股定理验证结论，最终选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，$∠ BAC=∠ DAC=∠ ABD=45°$，$∠ DAB=∠ ABC=90°$。
①证明：
∵PM⊥AC，
∴$∠ AEP=∠ AEM=90°$，
在△APE和△AME中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAE=∠ MAE\\ AE=AE\\ ∠ AEP=∠ AEM\end{array} $
∴$△ APE ≌ △ AME$（ASA），故①正确；
②
∵$∠ APM=90°-∠ PAE=45°$，$∠ PAM=90°$，
∴△APM是等腰直角三角形，$\therefore PM=\sqrt{2}AP$，
同理，△BPN是等腰直角三角形，$\therefore PN=\sqrt{2}BP$，
$\therefore PM+PN=\sqrt{2}(AP+BP)=\sqrt{2}AB$，
又
∵正方形对角线$BD=\sqrt{2}AB$，
$\therefore PM+PN=BD≠\sqrt{2}BD$，故②错误；
③
∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形PEOF是矩形，$\therefore PF=OE$，
在Rt△PEO中，由勾股定理得：$PE^2+OE^2=PO^2$，
$\therefore PE^2+PF^2=PO^2$，故③正确。
综上，正确的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合正方形、等腰直角三角形、矩形的性质对结论逐一验证，重点考查逻辑推理能力和对几何性质的综合运用能力，解题时要注意将线段进行合理转化，避免计算出错。
【难度系数】
0.65
22 [2025北京]如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠EBC=30°,则△ABF的面积为
$\frac{3}{8}$
.答案
22. $\frac{3}{8}$ 【解析】如图,过点 F 分别作 $FM⊥ BC,FN⊥ AB$,垂足为M,N,连接AM,则$∠ FMC=90°.\because$ 四边形ABCD为正方形,$\therefore ∠ ABC = 90°, AB = BC = 1. \therefore ∠ ABC = ∠ FMC.$$\therefore AB// FM. \therefore FN=BM. \because S_{△ ABF} = \frac{1}{2}AB · FN,S_{△ ABM} = \frac{1}{2}AB · BM, \therefore S_{△ ABF} = S_{△ ABM}. \because CF⊥ BE,∠ EBC = 30°,$$\therefore ∠ BFC=90°,CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2},∠ BCF=90°-∠ EBC=60°.$$\therefore ∠ CFM=90°-∠ BCF=30°. \therefore CM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{4}. \therefore BM=BC-CM=\frac{3}{4}. \therefore S_{△ ABF} = S_{△ ABM} = \frac{1}{2} × 1 × \frac{3}{4} = \frac{3}{8}.$
解析
【分析】
要求△ABF的面积，已知AB=1，只需算出AB边上的高即可。我们可以过点F作FM⊥BC、FN⊥AB，结合正方形的直角性质，可证AB//FM，得到FN=BM，因此只需算出BM的长度就能求出△ABF的面积。接下来利用CF⊥BE、∠EBC=30°的条件，先后在Rt△BFC、Rt△FMC中，用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，依次算出CF、CM的长度，再用BC的长度减去CM得到BM，最后代入面积公式即可求解。
【解析】
过点F分别作$FM⊥ BC$，$FN⊥ AB$，垂足分别为M、N。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ ABC=90°$，$AB=BC=1$，
∴ $∠ ABC=∠ FMC=90°$，
∴ $AB// FM$，
∴ $FN=BM$（平行线间的距离相等）。
∵ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· FN$，
∴ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· BM$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ EBC=30°$，
∴ $∠ BFC=90°$。
在$Rt△ BFC$中，$∠ EBC=30°$，$BC=1$，
∴ $CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$∠ BCF=90° - 30°=60°$。
在$Rt△ FMC$中，$∠ FCM=60°$，
∴ $∠ CFM=30°$，
∴ $CM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∴ $BM=BC-CM=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将正方形性质和直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是通过作合适的辅助线，将未知的三角形的高转化为可通过特殊角度计算的线段长度，是一道典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.6
要求△ABF的面积，已知AB=1，只需算出AB边上的高即可。我们可以过点F作FM⊥BC、FN⊥AB，结合正方形的直角性质，可证AB//FM，得到FN=BM，因此只需算出BM的长度就能求出△ABF的面积。接下来利用CF⊥BE、∠EBC=30°的条件，先后在Rt△BFC、Rt△FMC中，用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，依次算出CF、CM的长度，再用BC的长度减去CM得到BM，最后代入面积公式即可求解。
【解析】
过点F分别作$FM⊥ BC$，$FN⊥ AB$，垂足分别为M、N。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ ABC=90°$，$AB=BC=1$，
∴ $∠ ABC=∠ FMC=90°$，
∴ $AB// FM$，
∴ $FN=BM$（平行线间的距离相等）。
∵ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· FN$，
∴ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· BM$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ EBC=30°$，
∴ $∠ BFC=90°$。
在$Rt△ BFC$中，$∠ EBC=30°$，$BC=1$，
∴ $CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$∠ BCF=90° - 30°=60°$。
在$Rt△ FMC$中，$∠ FCM=60°$，
∴ $∠ CFM=30°$，
∴ $CM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∴ $BM=BC-CM=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将正方形性质和直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是通过作合适的辅助线，将未知的三角形的高转化为可通过特殊角度计算的线段长度，是一道典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.6
23 如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(不与点B,D重合),GE⊥CD,GF⊥BC,垂足分别为E,F.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1) 求证:$∠ DAG = ∠ EGH$;
(2) 判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
(1) 求证:$∠ DAG = ∠ EGH$;
(2) 判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
答案
23.（1）$\because$ 在正方形 $ABCD$ 中,$∠ ADC=90°, \therefore AD⊥ CD.$$\because GE⊥ CD, \therefore AD// GE. \therefore ∠ DAG=∠ EGH$
（2）$AH⊥ EF$ 理由:如图,连接 $GC$ 交 $EF$ 于点 $O. \because BD$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线,$\therefore ∠ ADG=∠ CDG=45°. \because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore AD=CD. 又\because DG=DG, \therefore △ ADG≌△ CDG. \therefore ∠ DAG=∠ DCG.$ 在正方形 $ABCD$ 中,$∠ ECF=90°, 又\because GE⊥ CD, GF⊥ BC, \therefore$ 四边形 $FCEG$ 为矩形. $\therefore OE=OC. \therefore ∠ OEC=∠ OCE. \therefore ∠ DAG=∠ OEC.$ 由(1),得 $∠ DAG=∠ EGH$，$\therefore ∠ EGH=∠ OEC. \therefore ∠ EGH + ∠ GEH = ∠ OEC + ∠ GEH = ∠ GEC=90°. \therefore ∠ GHE=90°. \therefore AH⊥ EF.$
解析
【分析】
（1）要证∠DAG=∠EGH，观察两个角的位置可知二者是直线AD、GE被直线AH所截的内错角，因此只需证明AD//GE即可。结合正方形AD⊥CD的性质和已知GE⊥CD的条件，可推出两条直线平行，再根据平行线的性质即可得证。
（2）判断AH与EF是否垂直，可通过证明∠GHE=90°推导。首先利用正方形对角线的对称性，连接GC证明△ADG≌△CDG，将∠DAG转化为∠DCG；再结合三个内角为直角的条件判定四边形FCEG是矩形，利用矩形对角线的性质得到∠OEC=∠OCE，将∠DAG转化为∠OEC；最后结合第一问的结论，将角转化到△EGH中，推出两个锐角的和为90°，即可得到∠GHE=90°，证明垂直关系。
【解析】
（1）证明：
∵在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴AD⊥CD。
∵GE⊥CD，
∴AD//GE，
∴∠DAG=∠EGH。
（2）AH⊥EF，理由如下：
连接GC交EF于点O。
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=∠CDG=45°。
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD。
又
∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG。
在正方形ABCD中，∠ECF=90°，又
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DAG=∠OEC。
由（1）得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC，
∴∠EGH + ∠GEH = ∠OEC + ∠GEH = ∠GEC=90°，
∴∠GHE=180°-（∠EGH + ∠GEH）=90°，
∴AH⊥EF。
【答案】
23.（1）$\because$ 在正方形 $ABCD$ 中,$∠ ADC=90°, \therefore AD⊥ CD.$$\because GE⊥ CD, \therefore AD// GE. \therefore ∠ DAG=∠ EGH$
（2）$AH⊥ EF$ 理由:如图,连接 $GC$ 交 $EF$ 于点 $O. \because BD$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线,$\therefore ∠ ADG=∠ CDG=45°. \because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore AD=CD. 又\because DG=DG, \therefore △ ADG≌△ CDG. \therefore ∠ DAG=∠ DCG.$ 在正方形 $ABCD$ 中,$∠ ECF=90°, 又\because GE⊥ CD, GF⊥ BC, \therefore$ 四边形 $FCEG$ 为矩形. $\therefore OE=OC. \therefore ∠ OEC=∠ OCE. \therefore ∠ DAG=∠ OEC.$ 由(1),得 $∠ DAG=∠ EGH$，$\therefore ∠ EGH=∠ OEC. \therefore ∠ EGH + ∠ GEH = ∠ OEC + ∠ GEH = ∠ GEC=90°. \therefore ∠ GHE=90°. \therefore AH⊥ EF.$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了正方形、全等三角形、矩形的相关知识点，解题的关键是合理添加辅助线，通过角的等量代换推导角的数量关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证∠DAG=∠EGH，观察两个角的位置可知二者是直线AD、GE被直线AH所截的内错角，因此只需证明AD//GE即可。结合正方形AD⊥CD的性质和已知GE⊥CD的条件，可推出两条直线平行，再根据平行线的性质即可得证。
（2）判断AH与EF是否垂直，可通过证明∠GHE=90°推导。首先利用正方形对角线的对称性，连接GC证明△ADG≌△CDG，将∠DAG转化为∠DCG；再结合三个内角为直角的条件判定四边形FCEG是矩形，利用矩形对角线的性质得到∠OEC=∠OCE，将∠DAG转化为∠OEC；最后结合第一问的结论，将角转化到△EGH中，推出两个锐角的和为90°，即可得到∠GHE=90°，证明垂直关系。
【解析】
（1）证明：
∵在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴AD⊥CD。
∵GE⊥CD，
∴AD//GE，
∴∠DAG=∠EGH。
（2）AH⊥EF，理由如下：
连接GC交EF于点O。
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=∠CDG=45°。
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD。
又
∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG。
在正方形ABCD中，∠ECF=90°，又
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DAG=∠OEC。
由（1）得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC，
∴∠EGH + ∠GEH = ∠OEC + ∠GEH = ∠GEC=90°，
∴∠GHE=180°-（∠EGH + ∠GEH）=90°，
∴AH⊥EF。
【答案】
23.（1）$\because$ 在正方形 $ABCD$ 中,$∠ ADC=90°, \therefore AD⊥ CD.$$\because GE⊥ CD, \therefore AD// GE. \therefore ∠ DAG=∠ EGH$
（2）$AH⊥ EF$ 理由:如图,连接 $GC$ 交 $EF$ 于点 $O. \because BD$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线,$\therefore ∠ ADG=∠ CDG=45°. \because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore AD=CD. 又\because DG=DG, \therefore △ ADG≌△ CDG. \therefore ∠ DAG=∠ DCG.$ 在正方形 $ABCD$ 中,$∠ ECF=90°, 又\because GE⊥ CD, GF⊥ BC, \therefore$ 四边形 $FCEG$ 为矩形. $\therefore OE=OC. \therefore ∠ OEC=∠ OCE. \therefore ∠ DAG=∠ OEC.$ 由(1),得 $∠ DAG=∠ EGH$，$\therefore ∠ EGH=∠ OEC. \therefore ∠ EGH + ∠ GEH = ∠ OEC + ∠ GEH = ∠ GEC=90°. \therefore ∠ GHE=90°. \therefore AH⊥ EF.$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了正方形、全等三角形、矩形的相关知识点，解题的关键是合理添加辅助线，通过角的等量代换推导角的数量关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
24 如图①,四边形 ABCD 是正方形,P 是对角线 BD 上的一点,点 E 在 AD 的延长线上,且 PA=PE,PE 交 CD 于点 F,连接 PC.
(1) 求证:PC=PE.
(2) 求∠CPE 的度数.
(3) 如图②,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接 CE.试探究线段 PA 与线段 CE 之间的数量关系,并说明理由.
(1) 求证:PC=PE.
(2) 求∠CPE 的度数.
(3) 如图②,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接 CE.试探究线段 PA 与线段 CE 之间的数量关系,并说明理由.
答案
24.（1）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AB = BC,∠ ABP = ∠ CBP = 45°.$ 在 $△ ABP$ 和 $△ CBP$ 中，$\because AB = CB,∠ ABP = ∠ CBP,PB = PB, \therefore △ ABP≌△ CBP. \therefore PA = PC. \because PA = PE, \therefore PC = PE$
（2）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = ∠ ADC = 90°.$ 由(1),知 $△ ABP ≌ △ CBP, \therefore ∠ BAP = ∠ BCP. \therefore ∠ DAP = ∠ DCP. \because PA = PE, \therefore ∠ DAP = ∠ E. \therefore ∠ DCP = ∠ E. \because ∠ PFC = ∠ DFE,$ $\therefore 180°-∠ PFC-∠ PCF=180°-∠ DFE-∠ E$,即$∠ CPE=∠ EDF=180°-90°=90°$
（3）$PA = CE$ 理由: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AB = CB,AD = CD,∠ ABP = ∠ CBP = \frac{1}{2}∠ ABC=60°,∠ ADC = ∠ ABC = 120°.$ 又 $\because BP = BP$，$\therefore △ ABP≌△ CBP. \therefore PA = PC,∠ BAP = ∠ BCP.$ 同理,可得 $∠ DAP = ∠ DCP. \because PA = PE, \therefore PC = PE,∠ DAP = ∠ PED. \therefore ∠ DCP = ∠ PED. \because ∠ PFC = ∠ DFE, \therefore 180°-∠ PFC-∠ DCP = 180°-∠ DFE-∠ PED$,即 $∠ CPF = ∠ EDF = 180°-∠ ADC = 180°-120°=60°. \because PC = PE,$ $\therefore △ EPC$ 是等边三角形. $\therefore PC=CE. \therefore PA=CE.$
（2）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = ∠ ADC = 90°.$ 由(1),知 $△ ABP ≌ △ CBP, \therefore ∠ BAP = ∠ BCP. \therefore ∠ DAP = ∠ DCP. \because PA = PE, \therefore ∠ DAP = ∠ E. \therefore ∠ DCP = ∠ E. \because ∠ PFC = ∠ DFE,$ $\therefore 180°-∠ PFC-∠ PCF=180°-∠ DFE-∠ E$,即$∠ CPE=∠ EDF=180°-90°=90°$
（3）$PA = CE$ 理由: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AB = CB,AD = CD,∠ ABP = ∠ CBP = \frac{1}{2}∠ ABC=60°,∠ ADC = ∠ ABC = 120°.$ 又 $\because BP = BP$，$\therefore △ ABP≌△ CBP. \therefore PA = PC,∠ BAP = ∠ BCP.$ 同理,可得 $∠ DAP = ∠ DCP. \because PA = PE, \therefore PC = PE,∠ DAP = ∠ PED. \therefore ∠ DCP = ∠ PED. \because ∠ PFC = ∠ DFE, \therefore 180°-∠ PFC-∠ DCP = 180°-∠ DFE-∠ PED$,即 $∠ CPF = ∠ EDF = 180°-∠ ADC = 180°-120°=60°. \because PC = PE,$ $\therefore △ EPC$ 是等边三角形. $\therefore PC=CE. \therefore PA=CE.$
解析
【分析】
(1) 要证$PC=PE$，已知$PA=PE$，因此只需证明$PA=PC$即可。正方形对角线$BD$是$∠ ABC$的角平分线，根据正方形性质可得$AB=BC$，$∠ ABP=∠ CBP$，结合公共边$PB$可证$△ ABP≌△ CBP$，得到$PA=PC$，等量代换即可得证。
(2) 求$∠ CPE$的度数，可利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合$PA=PE$的等腰三角形性质，通过对顶角相等、三角形内角和定理，推导$∠ CPE$与$∠ EDF$的关系，正方形中$∠ ADC=90°$，故$∠ EDF=90°$，即可得到$∠ CPE$的度数。
(3) 探究$PA$与$CE$的数量关系，类比正方形的解题思路，先利用菱形性质证$△ ABP≌△ CBP$得$PA=PC$，再通过角的转化推出$∠ CPE=60°$，结合$PC=PE$可得$△ EPC$是等边三角形，从而得到$PC=CE$，即可推出$PA$与$CE$的关系。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC,∠ ABP = ∠ CBP = 45°$。
在$△ ABP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases}AB = CB\\∠ ABP = ∠ CBP\\PB = PB\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PA = PC$。
$\because PA = PE$，$\therefore PC = PE$。
(2) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = ∠ ADC = 90°$。
由(1)知$△ ABP ≌ △ CBP$，$\therefore ∠ BAP = ∠ BCP$，$\therefore ∠ DAP = ∠ DCP$。
$\because PA = PE$，$\therefore ∠ DAP = ∠ E$，$\therefore ∠ DCP = ∠ E$。
$\because ∠ PFC = ∠ DFE$，
$\therefore 180°-∠ PFC-∠ PCF=180°-∠ DFE-∠ E$，即$∠ CPE=∠ EDF=180°-90°=90°$。
(3) $PA = CE$，理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB = CB,AD = CD,∠ ABP = ∠ CBP = \frac{1}{2}∠ ABC=60°,∠ ADC = ∠ ABC = 120°$。
又$\because BP = BP$，
$\therefore △ ABP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PA = PC,∠ BAP = ∠ BCP$，同理可得$∠ DAP = ∠ DCP$。
$\because PA = PE$，$\therefore PC = PE,∠ DAP = ∠ PED$，$\therefore ∠ DCP = ∠ PED$。
$\because ∠ PFC = ∠ DFE$，
$\therefore 180°-∠ PFC-∠ DCP = 180°-∠ DFE-∠ PED$，即 $∠ CPF = ∠ EDF = 180°-∠ ADC = 180°-120°=60°$。
$\because PC = PE$，$\therefore △ EPC$是等边三角形，$\therefore PC=CE$，$\therefore PA=CE$。
【答案】
(1) 证明见解析，$PC=PE$成立；
(2) $\boldsymbol{∠CPE=90°}$；
(3) $\boldsymbol{PA=CE}$，理由见解析。
【知识点】
特殊四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合变式题，从正方形拓展到菱形，解题核心是抓住特殊四边形对角线的对称性证明三角形全等，再通过角的等量转化推导角度关系和边的数量关系，能有效考查逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$PC=PE$，已知$PA=PE$，因此只需证明$PA=PC$即可。正方形对角线$BD$是$∠ ABC$的角平分线，根据正方形性质可得$AB=BC$，$∠ ABP=∠ CBP$，结合公共边$PB$可证$△ ABP≌△ CBP$，得到$PA=PC$，等量代换即可得证。
(2) 求$∠ CPE$的度数，可利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合$PA=PE$的等腰三角形性质，通过对顶角相等、三角形内角和定理，推导$∠ CPE$与$∠ EDF$的关系，正方形中$∠ ADC=90°$，故$∠ EDF=90°$，即可得到$∠ CPE$的度数。
(3) 探究$PA$与$CE$的数量关系，类比正方形的解题思路，先利用菱形性质证$△ ABP≌△ CBP$得$PA=PC$，再通过角的转化推出$∠ CPE=60°$，结合$PC=PE$可得$△ EPC$是等边三角形，从而得到$PC=CE$，即可推出$PA$与$CE$的关系。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC,∠ ABP = ∠ CBP = 45°$。
在$△ ABP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases}AB = CB\\∠ ABP = ∠ CBP\\PB = PB\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PA = PC$。
$\because PA = PE$，$\therefore PC = PE$。
(2) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = ∠ ADC = 90°$。
由(1)知$△ ABP ≌ △ CBP$，$\therefore ∠ BAP = ∠ BCP$，$\therefore ∠ DAP = ∠ DCP$。
$\because PA = PE$，$\therefore ∠ DAP = ∠ E$，$\therefore ∠ DCP = ∠ E$。
$\because ∠ PFC = ∠ DFE$，
$\therefore 180°-∠ PFC-∠ PCF=180°-∠ DFE-∠ E$，即$∠ CPE=∠ EDF=180°-90°=90°$。
(3) $PA = CE$，理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AB = CB,AD = CD,∠ ABP = ∠ CBP = \frac{1}{2}∠ ABC=60°,∠ ADC = ∠ ABC = 120°$。
又$\because BP = BP$，
$\therefore △ ABP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PA = PC,∠ BAP = ∠ BCP$，同理可得$∠ DAP = ∠ DCP$。
$\because PA = PE$，$\therefore PC = PE,∠ DAP = ∠ PED$，$\therefore ∠ DCP = ∠ PED$。
$\because ∠ PFC = ∠ DFE$，
$\therefore 180°-∠ PFC-∠ DCP = 180°-∠ DFE-∠ PED$，即 $∠ CPF = ∠ EDF = 180°-∠ ADC = 180°-120°=60°$。
$\because PC = PE$，$\therefore △ EPC$是等边三角形，$\therefore PC=CE$，$\therefore PA=CE$。
【答案】
(1) 证明见解析，$PC=PE$成立；
(2) $\boldsymbol{∠CPE=90°}$；
(3) $\boldsymbol{PA=CE}$，理由见解析。
【知识点】
特殊四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合变式题，从正方形拓展到菱形，解题核心是抓住特殊四边形对角线的对称性证明三角形全等，再通过角的等量转化推导角度关系和边的数量关系，能有效考查逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
