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1 [2026河北廊坊调研,中]已知二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=5, \\2x+y=4,\end{cases}$且$x+y=m$，$x-y=n$，则$n^m$的值为（ ）
A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
答案
A 【解析】$\begin{cases}x+2y=5,① \\2x+y=4,②\end{cases}$ ①+②,得 $3x+3y=9$,即 $x+y=3$. 因为 $x+y=m$, 所以 $m=3$. ②-①,得 $x-y=-1$. 因为 $x-y=n$, 所以 $n=-1$, 所以 $n^m=(-1)^3=-1$. 故选 A.
解析
【分析】
要计算$n^m$的值，首先需要求出$m$和$n$的取值，已知$m=x+y$，$n=x-y$，观察所给二元一次方程组的系数特征：两个方程中$x$、$y$的系数分别为1、2和2、1，无需单独求解$x$、$y$的取值，利用加减消元法，将两个方程相加可直接得到$x+y$的整体值即$m$的值，将两个方程相减可直接得到$x-y$的整体值即$n$的值，最后代入乘方运算即可得到结果。
【解析】
记方程组$\begin{cases}x+2y=5&① \\2x+y=4&②\end{cases}$
1. 求$m$的值：将①+②，得$3x+3y=9$，两边同时除以3化简得$x+y=3$，结合$x+y=m$，可得$m=3$。
2. 求$n$的值：将②-①，得$(2x+y)-(x+2y)=4-5$，化简得$x-y=-1$，结合$x-y=n$，可得$n=-1$。
3. 计算$n^m$：将$m=3$，$n=-1$代入得$n^m=(-1)^3=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，代数式求值，有理数乘方
【点评】
本题侧重考查加减消元法的灵活运用和整体思想，不需要单独求解未知数的取值，通过对两个方程进行整体加、减运算即可得到所需代数式的值，能有效简化计算过程，解题时需注意减法运算的符号问题和乘方运算的符号规则。
【难度系数】
0.7
要计算$n^m$的值，首先需要求出$m$和$n$的取值，已知$m=x+y$，$n=x-y$，观察所给二元一次方程组的系数特征：两个方程中$x$、$y$的系数分别为1、2和2、1，无需单独求解$x$、$y$的取值，利用加减消元法，将两个方程相加可直接得到$x+y$的整体值即$m$的值，将两个方程相减可直接得到$x-y$的整体值即$n$的值，最后代入乘方运算即可得到结果。
【解析】
记方程组$\begin{cases}x+2y=5&① \\2x+y=4&②\end{cases}$
1. 求$m$的值：将①+②，得$3x+3y=9$，两边同时除以3化简得$x+y=3$，结合$x+y=m$，可得$m=3$。
2. 求$n$的值：将②-①，得$(2x+y)-(x+2y)=4-5$，化简得$x-y=-1$，结合$x-y=n$，可得$n=-1$。
3. 计算$n^m$：将$m=3$，$n=-1$代入得$n^m=(-1)^3=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，代数式求值，有理数乘方
【点评】
本题侧重考查加减消元法的灵活运用和整体思想，不需要单独求解未知数的取值，通过对两个方程进行整体加、减运算即可得到所需代数式的值，能有效简化计算过程，解题时需注意减法运算的符号问题和乘方运算的符号规则。
【难度系数】
0.7
2[2026河南周口调研,中]如图,从左上角标注2的圆圈开始,顺时针方向按$an+b$的规律($n$表示前一个圆圈中的数字,$a,b$是常数)转换后得到下一个圆圈中的数,则“?”表示的数是 (
A.122
B.66
C.178
D.以上答案都错误
A
)A.122
B.66
C.178
D.以上答案都错误
答案
A 【解析】根据题意,得 $\begin{cases}2a+b=10, \\10a+b=26,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2, \\b=6,\end{cases}$ 所以顺时针方向按 $2n+6$ 的规律转换后得到下一个圆圈中的数. 当 $n=58$ 时,$2n+6=2×58+6=122$,故“?”表示的数是 122,故选 A.
解析
【分析】
题目明确给出数字转换规律为$an+b$（$n$为前一个圆圈的数字，$a、b$为常数），要求出“？”的值，首先需要确定常数$a、b$的数值。我们可以利用已知的两组相邻转换关系：2转换得到10、10转换得到26，分别代入规律式得到两个关于$a、b$的方程，联立成二元一次方程组，解出$a、b$后先验证规律是否符合26转换得到58的已知条件，确认规律正确后，将$n=58$代入规律式即可求出“？”代表的数。
【解析】
根据题意，将前两组相邻数字代入$an+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 10 \\10a + b = 26\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得：$8a=16$，解得$a=2$。
把$a=2$代入$2a + b = 10$，得：$4 + b = 10$，解得$b=6$。
因此转换规律为$2n+6$，验证规律：当$n=26$时，$2×26 +6=58$，和图中数字一致，规律成立。
当$n=58$时，$2×58 +6=116+6=122$，即“？”表示的数是122。
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法；代数式求值
【点评】
本题结合数字规律探究与二元一次方程组的应用，解题核心是利用已知的对应关系建立方程求出未知参数，验证规律正确性后再计算目标值，考查了学生建立方程模型解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
题目明确给出数字转换规律为$an+b$（$n$为前一个圆圈的数字，$a、b$为常数），要求出“？”的值，首先需要确定常数$a、b$的数值。我们可以利用已知的两组相邻转换关系：2转换得到10、10转换得到26，分别代入规律式得到两个关于$a、b$的方程，联立成二元一次方程组，解出$a、b$后先验证规律是否符合26转换得到58的已知条件，确认规律正确后，将$n=58$代入规律式即可求出“？”代表的数。
【解析】
根据题意，将前两组相邻数字代入$an+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 10 \\10a + b = 26\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得：$8a=16$，解得$a=2$。
把$a=2$代入$2a + b = 10$，得：$4 + b = 10$，解得$b=6$。
因此转换规律为$2n+6$，验证规律：当$n=26$时，$2×26 +6=58$，和图中数字一致，规律成立。
当$n=58$时，$2×58 +6=116+6=122$，即“？”表示的数是122。
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法；代数式求值
【点评】
本题结合数字规律探究与二元一次方程组的应用，解题核心是利用已知的对应关系建立方程求出未知参数，验证规律正确性后再计算目标值，考查了学生建立方程模型解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
3[中]已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a, \\x-y=3a,\end{cases}$下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$；②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；④若用$x$表示$y$，则$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$。
A.①②
B.②③
C.①③④
D.②③④
①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$；②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；④若用$x$表示$y$，则$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$。
A.①②
B.②③
C.①③④
D.②③④
答案
C 【解析】把两个方程相加得 $2x+2y=4+2a$,所以 $x+y=2+a$. ①当这个方程组的解 $x,y$ 的值互为相反数时,$x+y=0$,所以 $2+a=0$,所以 $a=-2$,故结论①正确; ②因为原方程组的解满足 $x+y=2+a$,所以当 $a=1$ 时,$x+y=3$,而当 $a=1$ 时,方程 $x+y=4+2a$ 的解满足 $x+y=6$,故结论②不正确; ③$\begin{cases}x+3y=4-a, \\x-y=3a,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2a+1, \\y=1-a,\end{cases}$ 所以 $x+2y=2a+1+2-2a=3$,所以无论 $a$ 取什么实数,$x+2y$ 的值始终不变,故结论③正确; ④$\begin{cases}x+3y=4-a, \\x-y=3a,\end{cases}$ 由第 1 个方程得 $a=4-x-3y$,将 $a=4-x-3y$ 代入第 2 个方程得 $x-y=3(4-x-3y)$,解得 $y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$,故结论④正确. 所以结论中正确的是①③④,故选 C.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的综合判断题，解题时需要对4个结论逐一验证：首先可以通过加减消元法处理原方程组，既可以先推导出$x+y$的表达式，也可以先把$x$、$y$都用含参数$a$的代数式表示出来，再分别结合每个结论的条件代入计算，判断结论是否成立，最终选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
对原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a&① \\x-y=3a&②\end{cases}$按以下步骤分析：
1. ①+②得$2x+2y=4+2a$，化简得$x+y=2+a$。
验证①：当$x,y$互为相反数时，$x+y=0$，因此$2+a=0$，解得$a=-2$，故①正确。
验证②：当$a=1$时，原方程组满足$x+y=2+1=3$；而方程$x+y=4+2a$代入$a=1$得$x+y=6$，$3≠6$，因此方程组的解不是该方程的解，故②错误。
2. ①-②得$4y=4-4a$，解得$y=1-a$，将$y=1-a$代入②得$x=3a+1-a=2a+1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2a+1 \\y=1-a\end{cases}$。
验证③：计算$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，值为固定常数，因此无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变，故③正确。
验证④：由$x=2a+1$变形得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得$y=1-\frac{x-1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程的解；代数式化简
【点评】
本题考查二元一次方程组的综合应用，解题时需逐一验证每个结论，既可以先求出方程组的通解再代入判断，也可结合结论特征用整体思想简化计算，能有效锻炼学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
这是一道二元一次方程组的综合判断题，解题时需要对4个结论逐一验证：首先可以通过加减消元法处理原方程组，既可以先推导出$x+y$的表达式，也可以先把$x$、$y$都用含参数$a$的代数式表示出来，再分别结合每个结论的条件代入计算，判断结论是否成立，最终选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
对原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a&① \\x-y=3a&②\end{cases}$按以下步骤分析：
1. ①+②得$2x+2y=4+2a$，化简得$x+y=2+a$。
验证①：当$x,y$互为相反数时，$x+y=0$，因此$2+a=0$，解得$a=-2$，故①正确。
验证②：当$a=1$时，原方程组满足$x+y=2+1=3$；而方程$x+y=4+2a$代入$a=1$得$x+y=6$，$3≠6$，因此方程组的解不是该方程的解，故②错误。
2. ①-②得$4y=4-4a$，解得$y=1-a$，将$y=1-a$代入②得$x=3a+1-a=2a+1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=2a+1 \\y=1-a\end{cases}$。
验证③：计算$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，值为固定常数，因此无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变，故③正确。
验证④：由$x=2a+1$变形得$a=\frac{x-1}{2}$，代入$y=1-a$得$y=1-\frac{x-1}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程的解；代数式化简
【点评】
本题考查二元一次方程组的综合应用，解题时需逐一验证每个结论，既可以先求出方程组的通解再代入判断，也可结合结论特征用整体思想简化计算，能有效锻炼学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4 [中] 若关于x，y的方程组$\begin{cases}x - y = 1, \\ by + ax = 5\end{cases}$与$\begin{cases}x + y = 7, \\ bx + ay = 2\end{cases}$的解相同，则a+b的值为（ ）
A.1
B.2
C.-1
D.0
A.1
B.2
C.-1
D.0
答案
A 【解析】联立得 $\begin{cases}x-y=1, \\x+y=7,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=4, \\y=3.\end{cases}$ 代入另外两个方程得 $\begin{cases}3b+4a=5,① \\4b+3a=2,②\end{cases}$ ①+②,得 $7a+7b=7$,所以 $a+b=1$. 故选 A.
解析
【分析】
两个方程组的解相同，说明存在一组x、y同时满足四个方程，解题可分三步：第一步先把不含参数a、b的两个二元一次方程联立，解出x和y的公共解；第二步把公共解代入剩下的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组；最后观察方程组的特点，将两个方程左右两边分别相加，就能整体求出a+b的值，不需要单独求解a和b，简化计算过程。
【解析】
∵两个方程组的解相同，
∴先联立不含a、b的方程：
$\begin{cases}x - y = 1 \\x + y = 7\end{cases}$
两式相加得$2x=8$，解得$x=4$，
把$x=4$代入$x-y=1$，得$4-y=1$，解得$y=3$，
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=4 \\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=4 \\y=3\end{cases}$代入剩余两个方程，得：
$\begin{cases}3b + 4a = 5 ① \\4b + 3a = 2 ②\end{cases}$
①+②得$7a + 7b = 7$，
两边同时除以7，得$a+b=1$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的典型题型，解题核心是抓住“解相同”的含义，先求出公共解，再代入含参数的方程，灵活运用整体思想计算，避免单独求解参数带来的多余计算，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
两个方程组的解相同，说明存在一组x、y同时满足四个方程，解题可分三步：第一步先把不含参数a、b的两个二元一次方程联立，解出x和y的公共解；第二步把公共解代入剩下的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组；最后观察方程组的特点，将两个方程左右两边分别相加，就能整体求出a+b的值，不需要单独求解a和b，简化计算过程。
【解析】
∵两个方程组的解相同，
∴先联立不含a、b的方程：
$\begin{cases}x - y = 1 \\x + y = 7\end{cases}$
两式相加得$2x=8$，解得$x=4$，
把$x=4$代入$x-y=1$，得$4-y=1$，解得$y=3$，
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=4 \\y=3\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=4 \\y=3\end{cases}$代入剩余两个方程，得：
$\begin{cases}3b + 4a = 5 ① \\4b + 3a = 2 ②\end{cases}$
①+②得$7a + 7b = 7$，
两边同时除以7，得$a+b=1$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组同解问题的典型题型，解题核心是抓住“解相同”的含义，先求出公共解，再代入含参数的方程，灵活运用整体思想计算，避免单独求解参数带来的多余计算，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
5[中]已知$ m $为负整数，关于$ x,y $的二元一次方程组$\begin{cases}mx+2y=10, \\ 3x+2y=0\end{cases}$有整数解，则$ m $的值为 ______ .
6[中]甲、乙两人都解方程组$\begin{cases}ax+y=2, \\ 2x-by=1,\end{cases}$甲看错$ a $解得$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$乙看错$ b $解得$\begin{cases}x=1, \\ y=1,\end{cases}$则方程组正确的解是 ______ .
6[中]甲、乙两人都解方程组$\begin{cases}ax+y=2, \\ 2x-by=1,\end{cases}$甲看错$ a $解得$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$乙看错$ b $解得$\begin{cases}x=1, \\ y=1,\end{cases}$则方程组正确的解是 ______ .
答案
5. $\boldsymbol{-2}$ 【解析】解方程组 $\begin{cases}mx+2y=10, \\3x+2y=0\end{cases}$ 可得 $\begin{cases}x=\dfrac{10}{m-3}, \\y=-\dfrac{15}{m-3}.\end{cases}$ 因为方程组 $\begin{cases}mx+2y=10, \\3x+2y=0\end{cases}$ 有整数解,所以 $m-3$ 为 10 和 15 的公约数,且 $m$ 为负整数,所以 $m-3=-5$,解得 $m=-2$,故答案为 $-2$.
6. $\boldsymbol{\begin{cases}x=\dfrac{4}{5}, \\y=\dfrac{6}{5}\end{cases}}$ 【解析】由题意,将 $\begin{cases}x=1, \\y=2\end{cases}$ 代入 $2x-by=1$,得 $2×1-2b=1$,解得 $b=\dfrac{1}{2}$; 将 $\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$ 代入 $ax+y=2$,得 $a×1+1=2$,解得 $a=1$,所以原方程组为 $\begin{cases}x+y=2,① \\2x-\dfrac{1}{2}y=1,②\end{cases}$ ②$×2$,得 $4x-y=2$,③ ①+③,得 $5x=4$,解得 $x=\dfrac{4}{5}$. 把 $x=\dfrac{4}{5}$ 代入①,得 $\dfrac{4}{5}+y=2$,解得 $y=\dfrac{6}{5}$,所以方程组正确的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{4}{5}, \\y=\dfrac{6}{5}.\end{cases}$
6. $\boldsymbol{\begin{cases}x=\dfrac{4}{5}, \\y=\dfrac{6}{5}\end{cases}}$ 【解析】由题意,将 $\begin{cases}x=1, \\y=2\end{cases}$ 代入 $2x-by=1$,得 $2×1-2b=1$,解得 $b=\dfrac{1}{2}$; 将 $\begin{cases}x=1, \\y=1\end{cases}$ 代入 $ax+y=2$,得 $a×1+1=2$,解得 $a=1$,所以原方程组为 $\begin{cases}x+y=2,① \\2x-\dfrac{1}{2}y=1,②\end{cases}$ ②$×2$,得 $4x-y=2$,③ ①+③,得 $5x=4$,解得 $x=\dfrac{4}{5}$. 把 $x=\dfrac{4}{5}$ 代入①,得 $\dfrac{4}{5}+y=2$,解得 $y=\dfrac{6}{5}$,所以方程组正确的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{4}{5}, \\y=\dfrac{6}{5}.\end{cases}$
解析
第5题
【分析】
要解决本题，首先利用加减消元法消去y，用含m的代数式表示出x和y，再结合方程组有整数解、m是负整数的条件确定m的取值。第一步观察方程组，两个方程都含有2y，用第一个方程减第二个方程即可消去y得到关于x的方程，求出x的表达式；第二步将x的表达式代入方程求出y的表达式；第三步根据x、y都是整数，可知分母m-3是10和15的公约数，再结合m是负整数筛选出符合条件的m即可。
【解析】
解方程组$\begin{cases}mx+2y=10, \\3x+2y=0\end{cases}$，用第一个方程减第二个方程得：$(m-3)x=10$，解得$x=\dfrac{10}{m-3}$。
将$x=\dfrac{10}{m-3}$代入$3x+2y=0$，得$3×\dfrac{10}{m-3}+2y=0$，解得$y=-\dfrac{15}{m-3}$。
因为方程组有整数解，所以$m-3$是10和15的公约数，10和15的公约数为$\pm1、\pm5$。又因为m是负整数，所以$m-3＜-3$，符合条件的公约数只有$-5$，即$m-3=-5$，解得$m=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
加减消元法解方程组，整数解问题
【点评】
本题重点考查加减消元法的应用，解题关键是将方程组的解用参数m表示，再结合整数条件和参数限制筛选结果，需要注意不要遗漏负公约数的情况。
【难度系数】
0.65
---
第6题
【分析】
本题属于看错系数求方程组正确解的问题，解题核心是：看错某个系数的情况下，该系数对应的方程不成立，但另一个未看错系数的方程仍然成立。第一步把甲的解代入未看错的第二个方程，求出正确的b的值；第二步把乙的解代入未看错的第一个方程，求出正确的a的值；第三步得到正确的方程组后，用加减消元法求解即可得到正确的解。
【解析】
由题意可知，甲看错a，因此他的解$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$满足方程$2x-by=1$，代入得：$2×1 - 2b=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
乙看错b，因此他的解$\begin{cases}x=1, \\ y=1\end{cases}$满足方程$ax+y=2$，代入得：$a×1 +1=2$，解得$a=1$。
所以原正确方程组为$\begin{cases}x+y=2,① \\ 2x-\dfrac{1}{2}y=1,②\end{cases}$。
将②两边同乘2消去分母得：$4x-y=2$③，①+③得$5x=4$，解得$x=\dfrac{4}{5}$。
把$x=\dfrac{4}{5}$代入①，得$\dfrac{4}{5}+y=2$，解得$y=\dfrac{6}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\begin{cases}x=\dfrac{4}{5} \\ y=\dfrac{6}{5}\end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，加减消元法解方程组
【点评】
解决这类问题的关键是明确看错系数时未看错的方程仍然成立，先求出正确的方程组系数，再按常规方法解方程组即可。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决本题，首先利用加减消元法消去y，用含m的代数式表示出x和y，再结合方程组有整数解、m是负整数的条件确定m的取值。第一步观察方程组，两个方程都含有2y，用第一个方程减第二个方程即可消去y得到关于x的方程，求出x的表达式；第二步将x的表达式代入方程求出y的表达式；第三步根据x、y都是整数，可知分母m-3是10和15的公约数，再结合m是负整数筛选出符合条件的m即可。
【解析】
解方程组$\begin{cases}mx+2y=10, \\3x+2y=0\end{cases}$，用第一个方程减第二个方程得：$(m-3)x=10$，解得$x=\dfrac{10}{m-3}$。
将$x=\dfrac{10}{m-3}$代入$3x+2y=0$，得$3×\dfrac{10}{m-3}+2y=0$，解得$y=-\dfrac{15}{m-3}$。
因为方程组有整数解，所以$m-3$是10和15的公约数，10和15的公约数为$\pm1、\pm5$。又因为m是负整数，所以$m-3＜-3$，符合条件的公约数只有$-5$，即$m-3=-5$，解得$m=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
加减消元法解方程组，整数解问题
【点评】
本题重点考查加减消元法的应用，解题关键是将方程组的解用参数m表示，再结合整数条件和参数限制筛选结果，需要注意不要遗漏负公约数的情况。
【难度系数】
0.65
---
第6题
【分析】
本题属于看错系数求方程组正确解的问题，解题核心是：看错某个系数的情况下，该系数对应的方程不成立，但另一个未看错系数的方程仍然成立。第一步把甲的解代入未看错的第二个方程，求出正确的b的值；第二步把乙的解代入未看错的第一个方程，求出正确的a的值；第三步得到正确的方程组后，用加减消元法求解即可得到正确的解。
【解析】
由题意可知，甲看错a，因此他的解$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$满足方程$2x-by=1$，代入得：$2×1 - 2b=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
乙看错b，因此他的解$\begin{cases}x=1, \\ y=1\end{cases}$满足方程$ax+y=2$，代入得：$a×1 +1=2$，解得$a=1$。
所以原正确方程组为$\begin{cases}x+y=2,① \\ 2x-\dfrac{1}{2}y=1,②\end{cases}$。
将②两边同乘2消去分母得：$4x-y=2$③，①+③得$5x=4$，解得$x=\dfrac{4}{5}$。
把$x=\dfrac{4}{5}$代入①，得$\dfrac{4}{5}+y=2$，解得$y=\dfrac{6}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\begin{cases}x=\dfrac{4}{5} \\ y=\dfrac{6}{5}\end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，加减消元法解方程组
【点评】
解决这类问题的关键是明确看错系数时未看错的方程仍然成立，先求出正确的方程组系数，再按常规方法解方程组即可。
【难度系数】
0.7
7 核心素养运算能力[2026湖北咸宁期末,较难]规定:形如关于x,y的方程$x+ky=b$与$kx+y=b$互为共轭二元一次方程,其中$k≠1$.由这两个二元一次方程组成的方程组$\begin{cases} x+ky=b, \\ kx+y=b \end{cases}$叫作共轭二元一次方程组.
【初步探究】
(1)若关于x,y的方程组$\begin{cases}x-2y=b+3, \\ (1-a)x+y=4\end{cases}$为共轭二元一次方程组,则$a=$ ______ ,$b=$ ______ ;
【深入探究】
(2)若关于x,y的方程$x+ky=b$的x,y的部分值满足下列表格,则这个方程的共轭二元一次方程是
(3)填空:方程组$\begin{cases}x+2y=6, \\ 2x+y=6\end{cases}$的解为 ______ ,
方程组$\begin{cases}2x-y=4, \\ -x+2y=4\end{cases}$的解为 ______ .
【延伸发现】
(4)若共轭二元一次方程组$\begin{cases} x+ky=b, \\ kx+y=b \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=m, \\ y=n \end{cases}$,猜想m与n的数量关系,并说明理由.
【初步探究】
(1)若关于x,y的方程组$\begin{cases}x-2y=b+3, \\ (1-a)x+y=4\end{cases}$为共轭二元一次方程组,则$a=$ ______ ,$b=$ ______ ;
【深入探究】
(2)若关于x,y的方程$x+ky=b$的x,y的部分值满足下列表格,则这个方程的共轭二元一次方程是
$2x+y=3$
;(3)填空:方程组$\begin{cases}x+2y=6, \\ 2x+y=6\end{cases}$的解为 ______ ,
方程组$\begin{cases}2x-y=4, \\ -x+2y=4\end{cases}$的解为 ______ .
【延伸发现】
(4)若共轭二元一次方程组$\begin{cases} x+ky=b, \\ kx+y=b \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=m, \\ y=n \end{cases}$,猜想m与n的数量关系,并说明理由.
答案
【解】(1)由题可得 $1-a=-2$,$b+3=4$,解得 $a=3$,$b=1$,故答案为 3,1.
(2)将 $x=-1,y=2$ 和 $x=1,y=1$ 分别代入 $x+ky=b$,得 $\begin{cases}-1+2k=b, \\1+k=b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=3, \\k=2,\end{cases}$ 所以关于 $x,y$ 的二元一次方程为 $x+2y=3$,所以其共轭二元一次方程为 $2x+y=3$,故答案为 $2x+y=3$.
(3)解方程组 $\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=2, \\y=2.\end{cases}$ 解方程组 $\begin{cases}2x-y=4, \\-x+2y=4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=4, \\y=4.\end{cases}$ 故答案为 $\begin{cases}x=2, \\y=2,\end{cases}$ $\begin{cases}x=4, \\y=4.\end{cases}$
(4)$m=n$. 理由如下:因为 $\begin{cases}x+ky=b, \\kx+y=b\end{cases}$ 是共轭二元一次方程组,所以 $x+ky=kx+y$,整理得 $(1-k)x=(1-k)y$. 因为 $k≠1$,所以 $x=y$. 因为 $\begin{cases}x+ky=b, \\kx+y=b\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=m, \\y=n,\end{cases}$ 所以 $m=n$.
(2)将 $x=-1,y=2$ 和 $x=1,y=1$ 分别代入 $x+ky=b$,得 $\begin{cases}-1+2k=b, \\1+k=b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=3, \\k=2,\end{cases}$ 所以关于 $x,y$ 的二元一次方程为 $x+2y=3$,所以其共轭二元一次方程为 $2x+y=3$,故答案为 $2x+y=3$.
(3)解方程组 $\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=2, \\y=2.\end{cases}$ 解方程组 $\begin{cases}2x-y=4, \\-x+2y=4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=4, \\y=4.\end{cases}$ 故答案为 $\begin{cases}x=2, \\y=2,\end{cases}$ $\begin{cases}x=4, \\y=4.\end{cases}$
(4)$m=n$. 理由如下:因为 $\begin{cases}x+ky=b, \\kx+y=b\end{cases}$ 是共轭二元一次方程组,所以 $x+ky=kx+y$,整理得 $(1-k)x=(1-k)y$. 因为 $k≠1$,所以 $x=y$. 因为 $\begin{cases}x+ky=b, \\kx+y=b\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=m, \\y=n,\end{cases}$ 所以 $m=n$.
解析
【分析】
1. 第(1)题根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程需符合$x+ky=b$和$kx+y=b$的形式，对应系数和常数项分别相等，据此列方程求解a、b即可。
2. 第(2)题先把表格中两组x、y的取值代入$x+ky=b$，联立求出k和b的值，再根据共轭方程的定义写出对应共轭方程。
3. 第(3)题利用加减消元法分别解两个二元一次方程组，即可得到对应解。
4. 第(4)题将方程组的解代入共轭方程组，对两个方程作差整理，结合$k≠1$的条件即可推导m、n的数量关系。
【解析】
(1) 根据共轭二元一次方程组的定义，对比所给方程组$\begin{cases}x-2y=b+3\\(1-a)x+y=4\end{cases}$，可得：
一次项系数对应$1-a=-2$，常数项对应$b+3=4$，解得$a=3$，$b=1$。
(2) 将表格中$\begin{cases}x=-1,y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=1,y=1\end{cases}$分别代入$x+ky=b$，得：
$\begin{cases}-1+2k=b\\1+k=b\end{cases}$
两式相减得$2-k=0$，解得$k=2$，代入$1+k=b$得$b=3$，原方程为$x+2y=3$，根据共轭方程定义，其共轭方程为$2x+y=3$。
(3) ①解$\begin{cases}x+2y=6&①\\2x+y=6&②\end{cases}$
$①×2-②$得$3y=6$，解得$y=2$，代入①得$x=2$，解为$\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$。
②解$\begin{cases}2x-y=4&①\\-x+2y=4&②\end{cases}$
$①×2+②$得$3x=12$，解得$x=4$，代入①得$y=4$，解为$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$。
(4) 猜想$m=n$，理由如下：
将$\begin{cases}x=m\\y=n\end{cases}$代入共轭方程组得$\begin{cases}m+kn=b&①\\km+n=b&②\end{cases}$
①-②整理得$(1-k)(m-n)=0$，因为$k≠1$，即$1-k≠0$，所以$m-n=0$，即$m=n$。
【答案】
(1) $3$，$1$
(2) $2x+y=3$
(3) $\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$；$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$
(4) $m=n$，理由见解析
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解，加减消元法
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程相关知识，需要先准确理解共轭方程组的形式特征，再结合二元一次方程组的解法、代数式推导等知识解题，能较好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)题根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程需符合$x+ky=b$和$kx+y=b$的形式，对应系数和常数项分别相等，据此列方程求解a、b即可。
2. 第(2)题先把表格中两组x、y的取值代入$x+ky=b$，联立求出k和b的值，再根据共轭方程的定义写出对应共轭方程。
3. 第(3)题利用加减消元法分别解两个二元一次方程组，即可得到对应解。
4. 第(4)题将方程组的解代入共轭方程组，对两个方程作差整理，结合$k≠1$的条件即可推导m、n的数量关系。
【解析】
(1) 根据共轭二元一次方程组的定义，对比所给方程组$\begin{cases}x-2y=b+3\\(1-a)x+y=4\end{cases}$，可得：
一次项系数对应$1-a=-2$，常数项对应$b+3=4$，解得$a=3$，$b=1$。
(2) 将表格中$\begin{cases}x=-1,y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=1,y=1\end{cases}$分别代入$x+ky=b$，得：
$\begin{cases}-1+2k=b\\1+k=b\end{cases}$
两式相减得$2-k=0$，解得$k=2$，代入$1+k=b$得$b=3$，原方程为$x+2y=3$，根据共轭方程定义，其共轭方程为$2x+y=3$。
(3) ①解$\begin{cases}x+2y=6&①\\2x+y=6&②\end{cases}$
$①×2-②$得$3y=6$，解得$y=2$，代入①得$x=2$，解为$\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$。
②解$\begin{cases}2x-y=4&①\\-x+2y=4&②\end{cases}$
$①×2+②$得$3x=12$，解得$x=4$，代入①得$y=4$，解为$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$。
(4) 猜想$m=n$，理由如下：
将$\begin{cases}x=m\\y=n\end{cases}$代入共轭方程组得$\begin{cases}m+kn=b&①\\km+n=b&②\end{cases}$
①-②整理得$(1-k)(m-n)=0$，因为$k≠1$，即$1-k≠0$，所以$m-n=0$，即$m=n$。
【答案】
(1) $3$，$1$
(2) $2x+y=3$
(3) $\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$；$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$
(4) $m=n$，理由见解析
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解，加减消元法
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程相关知识，需要先准确理解共轭方程组的形式特征，再结合二元一次方程组的解法、代数式推导等知识解题，能较好地考查知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
