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1 在方程①$3x - y = 2$；②$x + \frac{1}{x} = 3$；③$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$；④$x^2 - 2x - 3 = 0$中，一元一次方程的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
①3x-y=2，不是一元一次方程，不合题意；②$x+\frac{1}{x}=3$，不是一元一次方程，不合题意；③$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，是一元一次方程，符合题意；④$x^2-2x-3=0$，不是一元一次方程，不合题意. 故选A.
2 下列变形中，正确的是（
A.若$x^2=5x$，则$x=5$
B.若$a^2x=a^2y$，则$x=y$
C.若$-\dfrac{3}{2}y=8$，则$y=-12$
D.若$\dfrac{x}{a^2+1}=\dfrac{y}{a^2+1}$，则$x=y$
D
）A.若$x^2=5x$，则$x=5$
B.若$a^2x=a^2y$，则$x=y$
C.若$-\dfrac{3}{2}y=8$，则$y=-12$
D.若$\dfrac{x}{a^2+1}=\dfrac{y}{a^2+1}$，则$x=y$
答案
若$x^2=5x$，则x=5或x=0，故A选项错误；若$a^2x=a^2y$，若a≠0，则x=y，故B选项错误；若$-\frac{3}{2}y=8$，则$y=-\frac{16}{3}$，故C选项错误；若$\frac{x}{a^2+1}=\frac{y}{a^2+1}$，则x=y，故D选项正确. 故选D.
3 已知$x=2$是方程$x+4a=-6$的解，则$a^2+1$的值是（
A.10
B.5
C.2
D.-3
B
）A.10
B.5
C.2
D.-3
答案
将x=2代入原方程可得2+4a=-6，解得a=-2，所以$a^2+1=4+1=5$. 故选B.
4[2025山东济南期中]现定义运算“*”,对于任意有理数$a,b$满足$a*b=\begin{cases}2a - b&(a≥ b),\\a - 2b&(a ＜ b).\end{cases}$如$5*3=2×5 - 3=7$,$\frac{1}{2}*1=\frac{1}{2}-2×1=-\frac{3}{2}$.若$x*3=5$,则有理数$x$的值为（ ）
A.4
B.11
C.4或11
D.1或11
A.4
B.11
C.4或11
D.1或11
答案
当x≥3时，x*3=2x-3=5，解得x=4；当x＜3时，x*3=x-2×3=5，解得x=11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去. 所以若x*3=5，则有理数x的值为4，故选A.
5[2025 山东淄博质检]已知关于 x 的方程 $x - \dfrac{2 - ax}{6} = \dfrac{x}{3} - 1$ 有非负整数解,则整数 a 的所有可能的取值的和为 (
A.-8
B.-11
C.-14
D.-19
D
)A.-8
B.-11
C.-14
D.-19
答案
$x-\frac{2-ax}{6}=\frac{x}{3}-1$，去分母，得6x-(2-ax)=2x-6，去括号，得6x-2+ax=2x-6，移项、合并同类项，得(4+a)x=-4. 因为方程有解，所以$x=-\frac{4}{4+a}$. 因为方程有非负整数解，且a为整数，所以4+a取-1,-2,-4，所以a=-5,-6,-8，所以整数a的所有可能的取值之和为-5+(-6)+(-8)=-19，故选D.
6 某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1 000个螺母.1个螺钉配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设安排x名工人生产螺钉，可列方程为（
A.$2×600x=1\ 000(22-x)$
B.$2×1\ 000x=600(22-x)$
C.$600x=2×1\ 000(22-x)$
D.$1\ 000x=2×600(22-x)$
A
）A.$2×600x=1\ 000(22-x)$
B.$2×1\ 000x=600(22-x)$
C.$600x=2×1\ 000(22-x)$
D.$1\ 000x=2×600(22-x)$
答案
安排x名工人生产螺钉，则(22-x)人生产螺母. 由题意，得2×600x=1000(22-x). 故选A.
7 将连续的奇数1,3,5,7,9,…,按如图所示方式排列.图中的T字框框住了四个数,若将T字框上下左右移动,按同样的方式可框住另外的四个数,则框住的四个数的和不可能是（
A.22
B.70
C.182
D.206
D
）A.22
B.70
C.182
D.206
答案
设T字框内处于中间且靠上方的数为2n-1，则框内该数左边的数为2n-3，右边的数为2n+1，下面的数为2n-1+10，所以T字框内四个数的和为2n-3+2n-1+2n+1+2n-1+10=8n+6. A选项，令框住的四个数的和为22，则8n+6=22，解得n=2，故本选项不符合题意；B选项，令框住的四个数的和为70，则8n+6=70，解得n=8，故本选项不符合题意；C选项，令框住的四个数的和为182，则8n+6=182，解得n=22，故本选项不符合题意；D选项，令框住的四个数的和为206，则8n+6=206，解得n=25. 因为2n-1=49，不能处在T字框内中间且靠上方的位置，所以框住的四个数的和不能为206，故本选项符合题意.
8 甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了（
A.3000米
B.4000米
C.5000米
D.6000米
B
）A.3000米
B.4000米
C.5000米
D.6000米
答案
设这只小狗一共跑了x分，则两人也走了x分. 根据题意可得(45+55)x=2000，解得x=20，则这只小狗一共跑了20×200=4000(米). 故选B.
9 [2026 山东日照质检]已知$(n^2 -16)x^2 - (n-4)x +6=0$是关于x的一元一次方程，则n的值为
-4
。答案
因为方程是关于x的一元一次方程，所以$n^2-16=0$，n-4≠0，所以n=-4.
10[2026河北廊坊期末]已知$5a+8b=3b+10$，利用等式性质可求得$a+b$的值是
2
.答案
5a+8b=3b+10，5a+8b-3b=3b-3b+10，5a+5b=10，5(a+b)=10，a+b=2.
11 商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%,现商场决定将加价幅度降低一半来促销,商品售价比以前降低了54元,则该商品原来的售价是
378
元.答案
设该商品的进货价为x元. 由题意，得(1+40%)x-(1+20%)x=54，解得x=270，所以(1+40%)x=1.4×270=378. 故答案为378.
12[2026浙江杭州质检]已知关于x的一元一次方程$\frac{1}{2025}x +3=4x -m$的解为$x=2026$，则关于y的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)-3=4(y+1)+m$的解为$y=$
-2027
。答案
已知方程$\frac{1}{2025}x+3=4x-m$的解为x=2026. 设z=y+1，则方程$\frac{1}{2025}(y+1)-3=4(y+1)+m$可化为$\frac{1}{2025}z -3=4z +m$. 两边同时乘-1，得$-\frac{1}{2025}z +3=-4z -m$，此方程相当于关于x的方程中x=-z的形式. 因为关于x的方程的解为x=2026，所以-z=2026，解得z=-2026，所以y+1=-2026，解得y=-2027，故答案为-2027.
