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1. [2025广州中考]若$|k|=-k(k≠0)$，则反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在（
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
C
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
∵ |k| = -k(k≠0),
∴ k ＜ 0,
∴ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限.
变式 [2026合肥期末]若反比例函数$y=\dfrac{3 - k}{x}$的图象分布在第一、三象限，则$k$的取值范围是（
A.$k≥ 3$
B.$k＜3$
C.$k≤ 3$
D.$k＞3$
B
）A.$k≥ 3$
B.$k＜3$
C.$k≤ 3$
D.$k＞3$
答案
由题意,得3 - k ＞ 0,
∴ k ＜ 3.
∴ k ＜ 3.
2. [2026合肥包河区期末]已知反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$，则它的图象经过点（
A.$(3,-2)$
B.$(-2,-3)$
C.$(1,6)$
D.$(-6,-1)$
A
）A.$(3,-2)$
B.$(-2,-3)$
C.$(1,6)$
D.$(-6,-1)$
答案
由$y= -\frac{6}{x}$得$xy = -6$,结合选项只有A符合.
3. ▶一题多解 [2024 北京中考] 在平面直角坐标系中，若函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(3,y_1)$和$(-3,y_2)$，则$y_1+y_2$的值是
0
。答案
通解：
∵ 函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(3,y_1)$和$(-3,y_2)$,
∴ $y_1=\frac{k}{3},y_2=-\frac{k}{3}$,
∴ $y_1 + y_2 = 0$.
另解：根据反比例函数的对称性可知,点$(3,y_1)$和点$(-3,y_2)$关于原点对称,故$y_1 + y_2 = 0$.
∵ 函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(3,y_1)$和$(-3,y_2)$,
∴ $y_1=\frac{k}{3},y_2=-\frac{k}{3}$,
∴ $y_1 + y_2 = 0$.
另解：根据反比例函数的对称性可知,点$(3,y_1)$和点$(-3,y_2)$关于原点对称,故$y_1 + y_2 = 0$.
4. 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{3}{x}$与$y=-\frac{3}{x}$的图象.
答案
函数$y=\frac{3}{x}$与$y=-\frac{3}{x}$的图象如图所示.
5. [2025合肥二模]当$x＞0$时,下列函数中$y$随$x$的增大而增大的是 (
A.$y=-5x+1$
B.$y=-\dfrac{5}{x}$
C.$y=-x^2$
D.$y=-x^2+2x$
B
)A.$y=-5x+1$
B.$y=-\dfrac{5}{x}$
C.$y=-x^2$
D.$y=-x^2+2x$
答案
逐项分析列表如下,故选项B符合题意.
|选项|分析|$x＞0$时,图象的增减性|
| ---- | ---- | ---- |
|A.$y=-5x+1$|$k=-5＜0$|$y$随$x$的增大而减小|
|B.$y=-\frac{5}{x}$|$k=-5＜0$|$y$随$x$的增大而增大|
|C.$y=-x^2$|$a=-1＜0$,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=0$|$y$随$x$的增大而减小|
|D.$y=-x^2+2x$|$a=-1＜0$,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=1$|当$0＜x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小|
|选项|分析|$x＞0$时,图象的增减性|
| ---- | ---- | ---- |
|A.$y=-5x+1$|$k=-5＜0$|$y$随$x$的增大而减小|
|B.$y=-\frac{5}{x}$|$k=-5＜0$|$y$随$x$的增大而增大|
|C.$y=-x^2$|$a=-1＜0$,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=0$|$y$随$x$的增大而减小|
|D.$y=-x^2+2x$|$a=-1＜0$,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=1$|当$0＜x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小|
6. 一题多解 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上的三点，若$x_1＜0＜x_2＜x_3$，则有（
A.$y_1＜0＜y_3＜y_2$
B.$y_2＜0＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜0＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜0＜y_3$
A
）A.$y_1＜0＜y_3＜y_2$
B.$y_2＜0＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜0＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜0＜y_3$
答案
解题思路:通解:根据k的符号确定点A,B,C所在的象限及每个象限内的增减性,再比较大小;另解:根据题意画出草图,由图象判断.
通解(增减性法)
∵ k ＞ 0,$x_1 ＜ 0 ＜ x_2 ＜ x_3$,
∴ 点A在第三象限,点B,C在第一象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,
∴ $y_1 ＜ 0$,$y_2 ＞ y_3 ＞ 0$,
∴ $y_1 ＜ 0 ＜ y_3 ＜ y_2$.
另解(图象法) 由k ＞ 0可知函数图象位于第一、三象限,画出草图如图所示,描出符合条件的A,B,C三点,观察图象可知$y_1 ＜ 0 ＜ y_3 ＜ y_2$.
7. 已知反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$，若$x≥2$，则$y$的取值范围为
0 ＜ y ≤ 3
。答案
∵ 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中,$k=6＞0$,
∴ 此函数图象位于第一、三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小.
∵ 当x=2时,y=3,
∴ 当x≥2时,0 ＜ y ≤ 3.
变式 易错题 [2025阜阳段考]已知反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$1≤x≤3$时，函数$y$的最大值和最小值之差为4，则$k = \_\_\_\_\_\_$。
答案
±6
分两种情况讨论:(1)当k ＞ 0时,在每一象限内,y随x的增大而减小.
∵ 当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,
∴ $\frac{k}{1}-\frac{k}{3}=4$,解得k=6.(2)当k ＜ 0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
∵ 当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,
∴ $\frac{k}{3}-\frac{k}{1}=4$,解得k=-6.综上所述,k=±6.
避坑指南：本题易出现的错误是只考虑k＞0一种情况,误认为当x=1和x=3时,函数分别取得最大值和最小值,导致漏解.
分两种情况讨论:(1)当k ＞ 0时,在每一象限内,y随x的增大而减小.
∵ 当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,
∴ $\frac{k}{1}-\frac{k}{3}=4$,解得k=6.(2)当k ＜ 0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
∵ 当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,
∴ $\frac{k}{3}-\frac{k}{1}=4$,解得k=-6.综上所述,k=±6.
避坑指南：本题易出现的错误是只考虑k＞0一种情况,误认为当x=1和x=3时,函数分别取得最大值和最小值,导致漏解.
8. 如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数,k＞0,x＞0)的图象上,过点A作x轴的垂线,垂足为B,连接OA.若△OAB的面积为$\frac{19}{12}$,则k=
变式题图
$\frac{19}{6}$
.变式题图
答案
∵ $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|k|=\frac{19}{12}$,
∴ $|k|=\frac{19}{6}$.
∵ k＞0,
∴ $k=\frac{19}{6}$.
变式 [2026合肥包河区期末]如图,点A是反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}(x＜0)$的图象上一点,过点A作$AB ⊥ y$轴于点B,点P在x轴上,则$△ ABP$的面积是
2
.答案
连接OA,易知$S_{△ABP}=S_{△AOB}$(同底等高),由k的几何意义,知$S_{△AOB}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×4=2$,
∴ △ABP的面积是2.
∴ △ABP的面积是2.
