登录
7. 如图，正方形ABCD的面积为16，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动。设点P运动的路程为x，三角形PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（
B
）答案
7.B
解析
【分析】
解题时先根据正方形面积求出边长，再按动点P的运动路径分三个阶段分析△PAB面积的变化规律：①P在BC段运动时，△PAB的高随路程x增大而增大，面积随x线性增大；②P在CD段运动时，△PAB的高等于正方形边长保持不变，面积恒定；③P在DA段运动时，△PAB的高随路程x增大而减小，面积随x线性减小，最后对应变化规律匹配图象即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为16，
∴正方形的边长为$\sqrt{16}=4$，分三段讨论函数关系：
1. 当点P在BC上运动（$0≤ x≤4$）时，△PAB的底$AB=4$，高为$BP=x$，
则$y=\frac{1}{2}× AB× BP=\frac{1}{2}×4× x=2x$，此时y随x增大而增大，当$x=4$时，$y=8$；
2. 当点P在CD上运动（$4＜x≤8$）时，
∵$CD// AB$，
∴△PAB中AB边上的高等于正方形边长4，
则$y=\frac{1}{2}×4×4=8$，此时y值不变，图象为水平线段；
3. 当点P在DA上运动（$8＜x≤12$）时，△PAB的底$AB=4$，高为$12-x$，
则$y=\frac{1}{2}×4×(12-x)=24-2x$，此时y随x增大而减小，当$x=12$时，$y=0$。
综上，函数图象为“上升-水平-下降”的三段折线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，正方形的性质，一次函数图象
【点评】
本题考查分段函数图象的判断，核心是结合动点的不同位置，分析目标量的变化趋势，结合函数增减性即可快速判断对应图象。
【难度系数】
0.7
解题时先根据正方形面积求出边长，再按动点P的运动路径分三个阶段分析△PAB面积的变化规律：①P在BC段运动时，△PAB的高随路程x增大而增大，面积随x线性增大；②P在CD段运动时，△PAB的高等于正方形边长保持不变，面积恒定；③P在DA段运动时，△PAB的高随路程x增大而减小，面积随x线性减小，最后对应变化规律匹配图象即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为16，
∴正方形的边长为$\sqrt{16}=4$，分三段讨论函数关系：
1. 当点P在BC上运动（$0≤ x≤4$）时，△PAB的底$AB=4$，高为$BP=x$，
则$y=\frac{1}{2}× AB× BP=\frac{1}{2}×4× x=2x$，此时y随x增大而增大，当$x=4$时，$y=8$；
2. 当点P在CD上运动（$4＜x≤8$）时，
∵$CD// AB$，
∴△PAB中AB边上的高等于正方形边长4，
则$y=\frac{1}{2}×4×4=8$，此时y值不变，图象为水平线段；
3. 当点P在DA上运动（$8＜x≤12$）时，△PAB的底$AB=4$，高为$12-x$，
则$y=\frac{1}{2}×4×(12-x)=24-2x$，此时y随x增大而减小，当$x=12$时，$y=0$。
综上，函数图象为“上升-水平-下降”的三段折线，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，正方形的性质，一次函数图象
【点评】
本题考查分段函数图象的判断，核心是结合动点的不同位置，分析目标量的变化趋势，结合函数增减性即可快速判断对应图象。
【难度系数】
0.7
【变式题】如图①，在长方形ABCD中，AB=2，动点P从点B出发，沿路线B→C→D做匀速运动，在此运动过程中，三角形PAB的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象如图②所示，则BC的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
【变式题】B
解析
【分析】
解题时需结合动点的运动过程分析函数图象的意义：首先，动点P在BC段运动时，△PAB的底AB固定，高随P的运动增大，因此面积随运动路程增大而增大，对应图②的上升段；当P运动到C点后，在CD段运动时，△PAB的高等于BC的长度保持不变，因此面积不再变化，对应图②的水平段。图象的拐点（x=4处）就是P到达C点的时刻，此时P运动的路程就是BC的长，也可结合三角形面积公式计算验证。
【解析】
当点P在BC上运动时，△PAB的面积公式为：
$ S=\frac{1}{2} × AB × BP $
已知AB=2，BP为点P运动的路程x，因此$ S=\frac{1}{2} × 2 × x = x $。
当点P运动到C点后，沿CD段运动时，△PAB的高始终等于BC的长度，面积S保持不变。
观察图②可知，x=4时S开始保持不变，说明此时点P刚好到达C点，即点P从B到C的运动路程为4，因此BC=4。
也可代入面积验证：当S=4时，代入$ S=\frac{1}{2} × AB × BC $，得$ 4=\frac{1}{2} × 2 × BC $，解得BC=4。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，三角形面积公式，矩形的性质
【点评】
本题是动点与函数图象结合的基础题，解题核心是把函数图象的不同阶段和动点的运动位置对应起来，抓住图象拐点对应的实际运动状态即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时需结合动点的运动过程分析函数图象的意义：首先，动点P在BC段运动时，△PAB的底AB固定，高随P的运动增大，因此面积随运动路程增大而增大，对应图②的上升段；当P运动到C点后，在CD段运动时，△PAB的高等于BC的长度保持不变，因此面积不再变化，对应图②的水平段。图象的拐点（x=4处）就是P到达C点的时刻，此时P运动的路程就是BC的长，也可结合三角形面积公式计算验证。
【解析】
当点P在BC上运动时，△PAB的面积公式为：
$ S=\frac{1}{2} × AB × BP $
已知AB=2，BP为点P运动的路程x，因此$ S=\frac{1}{2} × 2 × x = x $。
当点P运动到C点后，沿CD段运动时，△PAB的高始终等于BC的长度，面积S保持不变。
观察图②可知，x=4时S开始保持不变，说明此时点P刚好到达C点，即点P从B到C的运动路程为4，因此BC=4。
也可代入面积验证：当S=4时，代入$ S=\frac{1}{2} × AB × BC $，得$ 4=\frac{1}{2} × 2 × BC $，解得BC=4。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，三角形面积公式，矩形的性质
【点评】
本题是动点与函数图象结合的基础题，解题核心是把函数图象的不同阶段和动点的运动位置对应起来，抓住图象拐点对应的实际运动状态即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8.如图，边长相等的正方形ABCD和正方形EFGH按如图所示的位置摆放(CD与EF重合)，点B,C,E,H共线，正方形ABCD沿BH方向匀速运动，直到点B与点H重合。设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的函数图象是（
）
）答案
8.B
解析
【分析】
我们将正方形的运动过程分段分析即可理清S与t的关系：首先设正方形边长为a，运动速度为v，初始状态两正方形仅边重合，重叠面积为0。第一阶段为从运动开始到点B运动到初始点C（即E点）的过程，此阶段重叠部分为矩形，面积随时间匀速增大；第二阶段为点B过初始点C到点B与H重合的过程，此阶段重叠面积随时间匀速减小到0，且两个阶段运动时长相等，对应图象为三角形，据此判断选项即可。
【解析】
设两个正方形的边长均为$a$，正方形运动的速度为$v$，将运动过程分为两个阶段讨论：
1. 当$0≤ t≤ \frac{a}{v}$时：
正方形ABCD向右运动的距离为$vt$，重叠部分是长为$vt$、宽为$a$的矩形，面积$S = a· vt$，S随t的增大匀速上升，当$t=\frac{a}{v}$时，S达到最大值$a^2$。
2. 当$\frac{a}{v}＜ t≤ \frac{2a}{v}$时：
正方形ABCD继续向右运动，重叠部分是长为$2a-vt$、宽为$a$的矩形，面积$S=a(2a-vt)$，S随t的增大匀速下降，当$t=\frac{2a}{v}$时，点B与H重合，运动结束，$S=0$。
综上，S与t的函数图象是先匀速上升到最高点，再匀速下降到0的三角形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，一次函数图象，正方形性质
【点评】
本题考查动点问题的图象判断，解题核心是合理分段分析运动过程，结合面积公式判断函数的增减性，无需计算具体解析式即可快速锁定答案。
【难度系数】
0.7
我们将正方形的运动过程分段分析即可理清S与t的关系：首先设正方形边长为a，运动速度为v，初始状态两正方形仅边重合，重叠面积为0。第一阶段为从运动开始到点B运动到初始点C（即E点）的过程，此阶段重叠部分为矩形，面积随时间匀速增大；第二阶段为点B过初始点C到点B与H重合的过程，此阶段重叠面积随时间匀速减小到0，且两个阶段运动时长相等，对应图象为三角形，据此判断选项即可。
【解析】
设两个正方形的边长均为$a$，正方形运动的速度为$v$，将运动过程分为两个阶段讨论：
1. 当$0≤ t≤ \frac{a}{v}$时：
正方形ABCD向右运动的距离为$vt$，重叠部分是长为$vt$、宽为$a$的矩形，面积$S = a· vt$，S随t的增大匀速上升，当$t=\frac{a}{v}$时，S达到最大值$a^2$。
2. 当$\frac{a}{v}＜ t≤ \frac{2a}{v}$时：
正方形ABCD继续向右运动，重叠部分是长为$2a-vt$、宽为$a$的矩形，面积$S=a(2a-vt)$，S随t的增大匀速下降，当$t=\frac{2a}{v}$时，点B与H重合，运动结束，$S=0$。
综上，S与t的函数图象是先匀速上升到最高点，再匀速下降到0的三角形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，一次函数图象，正方形性质
【点评】
本题考查动点问题的图象判断，解题核心是合理分段分析运动过程，结合面积公式判断函数的增减性，无需计算具体解析式即可快速锁定答案。
【难度系数】
0.7
1.将函数$y=4x-1$的图象向上平移5个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（
A.$y=4x-6$
B.$y=4x+5$
C.$y=4x+4$
D.$y=4x$
C
）A.$y=4x-6$
B.$y=4x+5$
C.$y=4x+4$
D.$y=4x$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象平移的特点：一次函数平移过程中，直线的倾斜程度不变，也就是x的系数k不变，仅改变与y轴交点的位置，即常数项b的数值。平移遵循“上加下减”的规律：向上平移几个单位，常数项就加几，向下平移几个单位，常数项就减几。我们先确定平移后的k值，再根据平移方向计算新的常数项，就能得到平移后的函数表达式。
【解析】
解：一次函数图象平移时，x的系数k保持不变，因此平移后函数的k=4。
原函数为$y=4x-1$，向上平移5个单位长度，根据“上加下减”的平移规则，新的常数项为$-1+5=4$。
因此平移后所得图象对应的函数表达式为$y=4x+4$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数平移规律
【点评】
本题考查一次函数的图象平移变换，解题关键是牢记平移规律“上加下减、左加右减”，明确上下平移是对函数的常数项进行加减运算，属于基础类题型，熟练掌握规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数图象平移的特点：一次函数平移过程中，直线的倾斜程度不变，也就是x的系数k不变，仅改变与y轴交点的位置，即常数项b的数值。平移遵循“上加下减”的规律：向上平移几个单位，常数项就加几，向下平移几个单位，常数项就减几。我们先确定平移后的k值，再根据平移方向计算新的常数项，就能得到平移后的函数表达式。
【解析】
解：一次函数图象平移时，x的系数k保持不变，因此平移后函数的k=4。
原函数为$y=4x-1$，向上平移5个单位长度，根据“上加下减”的平移规则，新的常数项为$-1+5=4$。
因此平移后所得图象对应的函数表达式为$y=4x+4$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数平移规律
【点评】
本题考查一次函数的图象平移变换，解题关键是牢记平移规律“上加下减、左加右减”，明确上下平移是对函数的常数项进行加减运算，属于基础类题型，熟练掌握规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与直线$y=\frac{2}{3}x-2$平行，且经过点$(3,4)$，则该一次函数的表达式为
$y=\frac{2}{3}x+2$
。答案
2.$y=\frac{2}{3}x+2$
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的性质：两条互相平行的一次函数直线，斜率k的值相等，因此可以先确定所求函数的k值；接下来已知函数经过一个定点，我们可以用待定系数法，将点的坐标代入只含未知参数b的函数表达式中，求解得到b的值，最终即可确定一次函数的完整表达式。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与直线$y=\frac{2}{3}x-2$平行
∴ 两个一次函数的斜率相等，即$k=\frac{2}{3}$
∴ 所求一次函数的表达式可写为$y=\frac{2}{3}x+b$
∵ 该函数经过点$(3,4)$，将$x=3$，$y=4$代入上式得：
$4=\frac{2}{3}×3 + b$
计算得：$4=2 + b$，解得$b=2$
∴ 该一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x+2$
【答案】
$y=\frac{2}{3}x+2$
【知识点】
两直线平行的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，解题核心是掌握平行直线的k值相等的性质，结合待定系数法代入点的坐标求解未知参数即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数的性质：两条互相平行的一次函数直线，斜率k的值相等，因此可以先确定所求函数的k值；接下来已知函数经过一个定点，我们可以用待定系数法，将点的坐标代入只含未知参数b的函数表达式中，求解得到b的值，最终即可确定一次函数的完整表达式。
【解析】
∵ 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与直线$y=\frac{2}{3}x-2$平行
∴ 两个一次函数的斜率相等，即$k=\frac{2}{3}$
∴ 所求一次函数的表达式可写为$y=\frac{2}{3}x+b$
∵ 该函数经过点$(3,4)$，将$x=3$，$y=4$代入上式得：
$4=\frac{2}{3}×3 + b$
计算得：$4=2 + b$，解得$b=2$
∴ 该一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x+2$
【答案】
$y=\frac{2}{3}x+2$
【知识点】
两直线平行的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，解题核心是掌握平行直线的k值相等的性质，结合待定系数法代入点的坐标求解未知参数即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中，将一次函数$y=2x+b$的图象向左平移3个单位长度后恰好经过点$(-1,0)$，则$b$的值为
$-4$
。答案
3.$-4$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要牢记一次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律：左右平移是对自变量x进行操作，向左平移几个单位就给x加几，向右平移就给x减几；上下平移是对常数项操作。解题时第一步先根据平移规则写出平移后的函数解析式，第二步把已知经过的点坐标代入平移后的解析式，得到关于b的一元一次方程，第三步解方程即可求出b的值。
【解析】
根据一次函数图像“左加右减”的平移规律，将$y=2x+b$的图象向左平移3个单位长度后，所得新函数的解析式为：
$y=2(x+3)+b$，化简得$y=2x+6+b$。
因为平移后的图象经过点$(-1,0)$，将$x=-1$，$y=0$代入上述解析式可得：
$0=2×(-1)+6+b$
计算得：$0=-2+6+b$，即$4+b=0$
解得：$b=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一次函数图象平移规律；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数平移的基础题型，核心是掌握平移口诀对自变量x进行正确变换，再结合函数图象上的点满足对应函数解析式的性质列方程求解，解题时注意平移规则是针对自变量x单独操作，不要和常数项的变换混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要牢记一次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律：左右平移是对自变量x进行操作，向左平移几个单位就给x加几，向右平移就给x减几；上下平移是对常数项操作。解题时第一步先根据平移规则写出平移后的函数解析式，第二步把已知经过的点坐标代入平移后的解析式，得到关于b的一元一次方程，第三步解方程即可求出b的值。
【解析】
根据一次函数图像“左加右减”的平移规律，将$y=2x+b$的图象向左平移3个单位长度后，所得新函数的解析式为：
$y=2(x+3)+b$，化简得$y=2x+6+b$。
因为平移后的图象经过点$(-1,0)$，将$x=-1$，$y=0$代入上述解析式可得：
$0=2×(-1)+6+b$
计算得：$0=-2+6+b$，即$4+b=0$
解得：$b=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一次函数图象平移规律；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数平移的基础题型，核心是掌握平移口诀对自变量x进行正确变换，再结合函数图象上的点满足对应函数解析式的性质列方程求解，解题时注意平移规则是针对自变量x单独操作，不要和常数项的变换混淆。
【难度系数】
0.8
