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1 新考法[2025广东佛山调研,中]数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥,同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面,下列图示中的剪法一定能构成一个圆锥的是 (
B
)答案
1. B 【解析】设正方形的边长为 1. A 选项,如图(1),令 $\odot D$ 与正方形一边的切点为 $C$, 连接 $AB,CD$, 则 $∠ ACD=∠ AFB=90°$, 易得 $D$ 在 $AB$ 上, $AC=CD$. 设 $AC=CD=x$, 过 $D$ 作 $DH⊥ BF$ 于 $H$, 连接 $DE$, $\therefore$ 四边形 $DCFH$ 为矩形, $\therefore DC=HF=x$, $DH=CF=1-x$, $EH=\frac{1}{2}-x$, $DE=\frac{1}{2}+x$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEH$ 中, $(\frac{1}{2}+x)^2=(1-x)^2+(\frac{1}{2}-x)^2$, 解得 $x_1=2+\sqrt{3}$ (舍去), $x_2=2-\sqrt{3}$, $\therefore \odot D$ 的周长为 $2π(2-\sqrt{3})=(4-2\sqrt{3})π$. $\because \overset{\frown}{BF}$ 的长为 $π×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π≠(4-2\sqrt{3})π$, $\therefore$ A 不符合题意.
B 选项,如图(2),令 $\odot T$ 与半圆的公共点为 $K$, 与正方形一边的切点为 $G$, 由正方形与圆的性质可得 $GT=TK=\frac{1}{4}$, $\therefore \odot T$ 的周长为 $π×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π$. $\because$ 半圆弧的周长为 $π×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π$, $\therefore$ B 符合题意.
C 选项,如图(3),令 $\odot E$ 与 $\overset{\frown}{DC}$ 的公共点为 $S$, $\odot E$ 与正方形一边的切点为 $F$, 连接 $AB,EF$, 易得 $∠ BFE=90°$, $AS=1$, $AB=\sqrt{2}$, 易得 $E$ 在 $AB$ 上, $ES=EF=BF$. 设 $ES=EF=BF=y$, $\therefore BE=\sqrt{2}y$, $AE=1+y$, $\therefore 1+y=\sqrt{2}-\sqrt{2}y$, 解得 $y=3-2\sqrt{2}$, $\therefore \odot E$ 的周长为 $2π×(3-2\sqrt{2})=6π-4\sqrt{2}π$. $\because \overset{\frown}{CD}$ 的长为 $\frac{90π×1}{180}=\frac{1}{2}π≠6π-4\sqrt{2}π$, $\therefore$ C 不符合题意.
D 选项,如图(4),令 $\odot E$ 与 $\overset{\frown}{DG}$ 的公共点为 $S$, 与正方形一边的切点为 $F$, 连接 $AB,EF$, 易得 $E$ 在 $AB$ 上, $BF=EF$. 设 $EF=BF=a$, 当能围成一个圆锥时,扇形的弧长等于 $\odot E$ 的周长, $\therefore \frac{90π× AS}{180}=2π a$, $\therefore AS=4a$, $\therefore$ 不一定能围成一个圆锥, $\therefore$ D 不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
要判断哪种剪法能构成圆锥，核心依据是：作为圆锥侧面的扇形的弧长必须等于作为底面的小圆的周长。我们可以设正方形边长为1，结合圆与正方形、圆与圆相切的性质，通过线段和差、勾股定理求出各选项中小圆的半径，分别计算扇形弧长和小圆周长，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
设正方形的边长为1。
A选项：如图(1)，令$\odot D$与正方形一边的切点为$C$，连接$AB,CD$，则$∠ ACD=∠ AFB=90°$，易得$D$在$AB$上，$AC=CD$。设$AC=CD=x$，过$D$作$DH⊥ BF$于$H$，连接$DE$，$\therefore$四边形$DCFH$为矩形，$\therefore DC=HF=x$，$DH=CF=1-x$，$EH=\frac{1}{2}-x$，$DE=\frac{1}{2}+x$。在$\mathrm{Rt}△ DEH$中，由勾股定理得$(\frac{1}{2}+x)^2=(1-x)^2+(\frac{1}{2}-x)^2$，解得$x_1=2+\sqrt{3}$（舍去，大于正方形边长），$x_2=2-\sqrt{3}$。$\therefore \odot D$的周长为$2π(2-\sqrt{3})=(4-2\sqrt{3})π$，而$\overset{\frown}{BF}$的长为$π×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π$，二者不相等，故A不符合题意。
B选项：如图(2)，令$\odot T$与半圆的公共点为$K$，与正方形一边的切点为$G$，由正方形与圆的性质可得$GT=TK=\frac{1}{4}$，$\therefore \odot T$的周长为$2π×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}π$。半圆弧的弧长为$π×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π$，二者相等，故B符合题意。
C选项：如图(3)，令$\odot E$与$\overset{\frown}{DC}$的公共点为$S$，$\odot E$与正方形一边的切点为$F$，连接$AB,EF$，易得$∠ BFE=90°$，$AS=1$，$AB=\sqrt{2}$，易得$E$在$AB$上，$ES=EF=BF$。设$ES=EF=BF=y$，$\therefore BE=\sqrt{2}y$，$AE=1+y$，$\therefore 1+y=\sqrt{2}-\sqrt{2}y$，解得$y=3-2\sqrt{2}$。$\therefore \odot E$的周长为$2π×(3-2\sqrt{2})=6π-4\sqrt{2}π$，而$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{90π×1}{180}=\frac{1}{2}π$，二者不相等，故C不符合题意。
D选项：如图(4)，令$\odot E$与$\overset{\frown}{DG}$的公共点为$S$，与正方形一边的切点为$F$，连接$AB,EF$，易得$E$在$AB$上，$BF=EF$。设$EF=BF=a$，若能围成圆锥，则扇形弧长等于$\odot E$的周长，即$\frac{90π× AS}{180}=2π a$，解得$AS=4a$，该条件不一定成立，故D不符合题意。
【答案】B
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题结合动手操作场景考查圆锥的展开特征，解题的关键是抓住“圆锥侧面扇形弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合相切的几何性质列方程计算即可判断，兼顾考查了几何直观和代数计算能力。
【难度系数】
0.6
要判断哪种剪法能构成圆锥，核心依据是：作为圆锥侧面的扇形的弧长必须等于作为底面的小圆的周长。我们可以设正方形边长为1，结合圆与正方形、圆与圆相切的性质，通过线段和差、勾股定理求出各选项中小圆的半径，分别计算扇形弧长和小圆周长，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
设正方形的边长为1。
A选项：如图(1)，令$\odot D$与正方形一边的切点为$C$，连接$AB,CD$，则$∠ ACD=∠ AFB=90°$，易得$D$在$AB$上，$AC=CD$。设$AC=CD=x$，过$D$作$DH⊥ BF$于$H$，连接$DE$，$\therefore$四边形$DCFH$为矩形，$\therefore DC=HF=x$，$DH=CF=1-x$，$EH=\frac{1}{2}-x$，$DE=\frac{1}{2}+x$。在$\mathrm{Rt}△ DEH$中，由勾股定理得$(\frac{1}{2}+x)^2=(1-x)^2+(\frac{1}{2}-x)^2$，解得$x_1=2+\sqrt{3}$（舍去，大于正方形边长），$x_2=2-\sqrt{3}$。$\therefore \odot D$的周长为$2π(2-\sqrt{3})=(4-2\sqrt{3})π$，而$\overset{\frown}{BF}$的长为$π×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π$，二者不相等，故A不符合题意。
B选项：如图(2)，令$\odot T$与半圆的公共点为$K$，与正方形一边的切点为$G$，由正方形与圆的性质可得$GT=TK=\frac{1}{4}$，$\therefore \odot T$的周长为$2π×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}π$。半圆弧的弧长为$π×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}π$，二者相等，故B符合题意。
C选项：如图(3)，令$\odot E$与$\overset{\frown}{DC}$的公共点为$S$，$\odot E$与正方形一边的切点为$F$，连接$AB,EF$，易得$∠ BFE=90°$，$AS=1$，$AB=\sqrt{2}$，易得$E$在$AB$上，$ES=EF=BF$。设$ES=EF=BF=y$，$\therefore BE=\sqrt{2}y$，$AE=1+y$，$\therefore 1+y=\sqrt{2}-\sqrt{2}y$，解得$y=3-2\sqrt{2}$。$\therefore \odot E$的周长为$2π×(3-2\sqrt{2})=6π-4\sqrt{2}π$，而$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{90π×1}{180}=\frac{1}{2}π$，二者不相等，故C不符合题意。
D选项：如图(4)，令$\odot E$与$\overset{\frown}{DG}$的公共点为$S$，与正方形一边的切点为$F$，连接$AB,EF$，易得$E$在$AB$上，$BF=EF$。设$EF=BF=a$，若能围成圆锥，则扇形弧长等于$\odot E$的周长，即$\frac{90π× AS}{180}=2π a$，解得$AS=4a$，该条件不一定成立，故D不符合题意。
【答案】B
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题结合动手操作场景考查圆锥的展开特征，解题的关键是抓住“圆锥侧面扇形弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合相切的几何性质列方程计算即可判断，兼顾考查了几何直观和代数计算能力。
【难度系数】
0.6
2 [中]如图是一张直角三角形卡片，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$AD = 2\ \mathrm{cm}$，$DB = 4\ \mathrm{cm}$，$DE ⊥ AB$。若将该卡片绕直线$DE$旋转一周，则形成的几何体的表面积为
$(16\sqrt{2}π+16π)$
$\mathrm{cm}^2$。答案
2. $(16\sqrt{2}π+16π)$ 【解析】过点 $C$ 作 $CM⊥ AB$, 垂足为 $M$, $CN⊥ DE$, 垂足为 $N$, 延长 $BC$ 交 $DE$ 所在的直线于点 $P$, 如图. $\because CA=CB$, $CM⊥ AB$, $∠ ACB=90°$, $\therefore AM=BM=CM=ND=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(2+4)=3$ ( cm ), $\therefore DM=CN=EN=NP=3-2=1$ ( cm ). 在 $\mathrm{Rt}△ PBD$ 中, $PB=\sqrt{2}BD=4\sqrt{2}$ cm, $\therefore$ 将该卡片绕直线 $DE$ 旋转一周, 则形成的几何体的表面积就是底面半径为 4 cm, 母线长为 $4\sqrt{2}$ cm 的圆锥体的表面积, $\therefore \frac{1}{2}×2π×4×4\sqrt{2}+π×4^2=(16\sqrt{2}π+16π)$ $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
本题是平面图形绕直线旋转求几何体表面积的问题，解题思路如下：①先结合等腰直角三角形的性质，确定已知边和未知边的关系：△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，DE⊥AB，因此△ADE、△PBD也为等腰直角三角形；②通过作辅助线求出相关线段长度，先计算AB总长，得到等腰直角三角形斜边上的高，进而得到点C到DE、AB的距离；③延长BC交DE于P，分析旋转后几何体的构成：△ABC绕DE旋转一周得到的几何体的表面积，等价于大圆锥PBD的表面积，直接代入圆锥表面积公式计算即可。
【解析】
过点 $C$ 作 $CM⊥ AB$, 垂足为 $M$, $CN⊥ DE$, 垂足为 $N$, 延长 $BC$ 交 $DE$ 所在的直线于点 $P$, 如图.
$\because CA=CB$, $CM⊥ AB$, $∠ ACB=90°$,
$\therefore AM=BM=CM=ND=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(2+4)=3$ ( cm ),
$\therefore DM=CN=EN=NP=3-2=1$ ( cm ).
在 $\mathrm{Rt}△ PBD$ 中, $∠B=45°$，$∠PDB=90°$，
$\therefore PB=\sqrt{2}BD=4\sqrt{2}$ cm,
将该卡片绕直线 $DE$ 旋转一周, 则形成的几何体的表面积就是底面半径为 4 cm, 母线长为 $4\sqrt{2}$ cm 的圆锥体的表面积,
$\therefore$ 表面积 $=\frac{1}{2}×2π×4×4\sqrt{2}+π×4^2=(16\sqrt{2}π+16π)$ $\mathrm{cm}^2$.
【答案】
$(16\sqrt{2}π+16π)$
【知识点】
圆锥表面积计算，等腰直角三角形性质，旋转体的认识
【点评】
本题将等腰直角三角形的性质和旋转体表面积计算结合考查，解题的核心是正确分析平面图形旋转后形成的几何体的形状，明确表面积的构成，对学生的空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是平面图形绕直线旋转求几何体表面积的问题，解题思路如下：①先结合等腰直角三角形的性质，确定已知边和未知边的关系：△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，DE⊥AB，因此△ADE、△PBD也为等腰直角三角形；②通过作辅助线求出相关线段长度，先计算AB总长，得到等腰直角三角形斜边上的高，进而得到点C到DE、AB的距离；③延长BC交DE于P，分析旋转后几何体的构成：△ABC绕DE旋转一周得到的几何体的表面积，等价于大圆锥PBD的表面积，直接代入圆锥表面积公式计算即可。
【解析】
过点 $C$ 作 $CM⊥ AB$, 垂足为 $M$, $CN⊥ DE$, 垂足为 $N$, 延长 $BC$ 交 $DE$ 所在的直线于点 $P$, 如图.
$\because CA=CB$, $CM⊥ AB$, $∠ ACB=90°$,
$\therefore AM=BM=CM=ND=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(2+4)=3$ ( cm ),
$\therefore DM=CN=EN=NP=3-2=1$ ( cm ).
在 $\mathrm{Rt}△ PBD$ 中, $∠B=45°$，$∠PDB=90°$，
$\therefore PB=\sqrt{2}BD=4\sqrt{2}$ cm,
将该卡片绕直线 $DE$ 旋转一周, 则形成的几何体的表面积就是底面半径为 4 cm, 母线长为 $4\sqrt{2}$ cm 的圆锥体的表面积,
$\therefore$ 表面积 $=\frac{1}{2}×2π×4×4\sqrt{2}+π×4^2=(16\sqrt{2}π+16π)$ $\mathrm{cm}^2$.
【答案】
$(16\sqrt{2}π+16π)$
【知识点】
圆锥表面积计算，等腰直角三角形性质，旋转体的认识
【点评】
本题将等腰直角三角形的性质和旋转体表面积计算结合考查，解题的核心是正确分析平面图形旋转后形成的几何体的形状，明确表面积的构成，对学生的空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3[2026浙江杭州调研,中]有一种单层绒布的台灯灯罩,灯罩的下面是空的,灯罩的形状可以看作是由一个大圆锥裁掉上面的小圆锥得到的,示意图如图所示.现在要制作这种灯罩,已知$\odot O_1$的直径$AB = 12\ \mathrm{cm}$,$\odot O_2$的直径$CD = 32\ \mathrm{cm}$,$OO_1 = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$O_1O_2 = 10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(1)线段$BD$的长为
(2)制作一个这样的台灯灯罩需要约
刷素养 走向重高
(1)线段$BD$的长为
20
$\mathrm{cm}$;(2)制作一个这样的台灯灯罩需要约
1 495
$\mathrm{cm}^2$的绒布.(接缝处的布料忽略不计,$π \approx 3.14$,结果保留整数)刷素养 走向重高
答案
3. (1)20 (2)1 495 【解析】(1)过点 $B$ 作 $BE⊥ CD$ 于点 $E$, 如图. $\because \odot O_1$ 的直径 $AB=12$ cm, $\odot O_2$ 的直径 $CD=32$ cm, 点 $O,O_1,O_2$ 共线, $OO_2$ 与 $AB,CD$ 都垂直, $O_1O_2=10\sqrt{3}$ cm, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中, $BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+(\frac{32-12}{2})^2}=20$ ( cm ), 故答案为 20.
(2) $\because AB=12$ cm, $\therefore O_1B=6$ cm, 在 $\mathrm{Rt}△ OO_1B$ 中, $OB=\sqrt{OO_1^2+O_1B^2}=12$ cm, $OD=OB+BD=32$ cm, $S_{\mathrm{灯罩顶部}}=π×6^2=36π$ ( $\mathrm{cm}^2$ ), $S_{\mathrm{灯罩侧面}}=\frac{1}{2}×32π×32-\frac{1}{2}×12π×12=440π$ ( $\mathrm{cm}^2$ ), $\therefore S_{\mathrm{灯罩}}=440π+36π=476π\approx1495$ ( $\mathrm{cm}^2$ ), $\therefore$ 制作一个这样的台灯灯罩大约需要 1 495 $\mathrm{cm}^2$ 的绒布.
解析
【分析】
(1) 要求线段BD的长，可通过构造直角三角形求解：过点B作BE⊥CD于点E，得到Rt△BDE，其中BE的长度等于O₁O₂的长度，DE的长度等于两底面半径的差，再利用勾股定理即可求出BD的长度。
(2) 制作灯罩需要的绒布面积=圆台侧面积+上底面（⊙O₁）的面积（灯罩下方为空，无需计算下底面积）。首先先求出裁掉的小圆锥母线长、原大圆锥的母线长，用“大圆锥侧面积-小圆锥侧面积”得到圆台侧面积，再加上面圆的面积即可得到总绒布面积。
【解析】
(1) 过点$B$作$BE⊥ CD$于点$E$，如图所示。
已知$\odot O_1$的直径$AB=12\ \mathrm{cm}$，$\odot O_2$的直径$CD=32\ \mathrm{cm}$，$O,O_1,O_2$共线且$OO_2$与$AB、CD$都垂直，$O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
可得$BE=O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$DE=\frac{CD-AB}{2}=\frac{32-12}{2}=10\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+10^2}=\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 由$AB=12\ \mathrm{cm}$得$\odot O_1$的半径$O_1B=6\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OO_1B$中，由勾股定理得小圆锥母线长：
$OB=\sqrt{OO_1^2+O_1B^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
则大圆锥母线长$OD=OB+BD=12+20=32\ \mathrm{cm}$。
圆台侧面积 = 大圆锥侧面积 - 小圆锥侧面积：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}× π × CD × OD - \frac{1}{2}× π × AB × OB=\frac{1}{2}× 32π × 32 - \frac{1}{2}× 12π × 12=512π -72π=440π\ \mathrm{cm}^2$。
上底面面积$S_{\mathrm{上底}}=π × O_1B^2=π × 6^2=36π\ \mathrm{cm}^2$。
总绒布面积$S=440π +36π=476π\approx476×3.14\approx1495\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$；(2) $\boldsymbol{1495}$
【知识点】
勾股定理的应用；圆锥侧面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合生活中的灯罩实例考查几何体面积的计算，解题的关键是正确构造直角三角形求解母线长度，明确灯罩所需布料的构成，计算时要注意圆锥侧面积公式的正确运用。
【难度系数】
0.6
(1) 要求线段BD的长，可通过构造直角三角形求解：过点B作BE⊥CD于点E，得到Rt△BDE，其中BE的长度等于O₁O₂的长度，DE的长度等于两底面半径的差，再利用勾股定理即可求出BD的长度。
(2) 制作灯罩需要的绒布面积=圆台侧面积+上底面（⊙O₁）的面积（灯罩下方为空，无需计算下底面积）。首先先求出裁掉的小圆锥母线长、原大圆锥的母线长，用“大圆锥侧面积-小圆锥侧面积”得到圆台侧面积，再加上面圆的面积即可得到总绒布面积。
【解析】
(1) 过点$B$作$BE⊥ CD$于点$E$，如图所示。
已知$\odot O_1$的直径$AB=12\ \mathrm{cm}$，$\odot O_2$的直径$CD=32\ \mathrm{cm}$，$O,O_1,O_2$共线且$OO_2$与$AB、CD$都垂直，$O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
可得$BE=O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$DE=\frac{CD-AB}{2}=\frac{32-12}{2}=10\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2+10^2}=\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 由$AB=12\ \mathrm{cm}$得$\odot O_1$的半径$O_1B=6\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OO_1B$中，由勾股定理得小圆锥母线长：
$OB=\sqrt{OO_1^2+O_1B^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$。
则大圆锥母线长$OD=OB+BD=12+20=32\ \mathrm{cm}$。
圆台侧面积 = 大圆锥侧面积 - 小圆锥侧面积：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}× π × CD × OD - \frac{1}{2}× π × AB × OB=\frac{1}{2}× 32π × 32 - \frac{1}{2}× 12π × 12=512π -72π=440π\ \mathrm{cm}^2$。
上底面面积$S_{\mathrm{上底}}=π × O_1B^2=π × 6^2=36π\ \mathrm{cm}^2$。
总绒布面积$S=440π +36π=476π\approx476×3.14\approx1495\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$；(2) $\boldsymbol{1495}$
【知识点】
勾股定理的应用；圆锥侧面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合生活中的灯罩实例考查几何体面积的计算，解题的关键是正确构造直角三角形求解母线长度，明确灯罩所需布料的构成，计算时要注意圆锥侧面积公式的正确运用。
【难度系数】
0.6
4 核心素养运算能力[2026江苏南京期中,较难]如图(1),圆锥的母线长为6 cm,其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°.现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片,作为该圆锥的侧面和底面.
(1)该圆锥的底面圆的半径为
(2)已知矩形纸片的边长分别为a cm,12 cm.
(i)按如图(2)所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB,且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P,Q,点A,B在矩形纸片的一边上.
①当a=22时,利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片?并说明理由;
②当矩形纸片的边长a最短,且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片时,请画出相应的示意图,并直接写出对应的a的值.
(ii)若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片,请直接写出a的取值范围.
(1)该圆锥的底面圆的半径为
5
cm.(2)已知矩形纸片的边长分别为a cm,12 cm.
(i)按如图(2)所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB,且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P,Q,点A,B在矩形纸片的一边上.
①当a=22时,利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片?并说明理由;
②当矩形纸片的边长a最短,且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片时,请画出相应的示意图,并直接写出对应的a的值.
(ii)若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片,请直接写出a的取值范围.
答案
4.【解】(1)设圆锥的底面圆的半径为 $r$ cm. 由题意可知 $2π r=\frac{300π×6}{180}$, 解得 $r=5$, 故答案为 5.
(2)(i)①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片. 理由:如图(1),作 $MC⊥ AB$, 垂足为 $C$, 延长 $CM$, 交 $\odot M$ 于点 $D$, 交 $RS$ 于点 $E$.
$\because AM=BM$, $∠ AMB=360°-300°=60°$, $\therefore △ AMB$ 是等边三角形, $\therefore AB=AM=6$. $\because CM⊥ AB$, $\therefore AC=\frac{1}{2}AB=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中, $∠ ACM=90°$, $\therefore CM=\sqrt{AM^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$. 在四边形 $JCES$ 中, $∠ JCE=∠ J=∠ S=90°$, $\therefore$ 四边形 $JCES$ 是矩形, $\therefore CE=JS=22$, $\therefore DE=CE-CM-DM=22-3\sqrt{3}-6=16-3\sqrt{3}$. $\because 16-3\sqrt{3}＞10$, $12＞10$, $\therefore$ 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片.
②示意图如图(2)所示,此时 $a=3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5$.
如图(2),设底面圆圆心为 $N$, 连接 $MN$, 则 $MN$ 过切点 $K$, 连接 $PQ$, 过 $N$ 作 $NG⊥ PQ$ 于点 $G$, 则 $MK=6$, $NK=5$, $\therefore MN=11$, $MG=MQ-GQ=6-5=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ MNG$ 中, $NG=\sqrt{MN^2-MG^2}=2\sqrt{30}$. 过点 $M$ 作 $MC⊥ AB$, 则 $MC=3\sqrt{3}$, $\therefore a=3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5$.
(ii) $a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$.
由题意可知 $a$ 没有上限, 故只需考虑 $a$ 的下限.
情况一:扇形缺口向右,扇形圆心和底面圆的圆心在同一水平线上,如图(3).
易知此时 $ML=\sqrt{AM^2-AL^2}=3\sqrt{3}$, $NL=\sqrt{AN^2-AL^2}=4$, $\therefore MN=ML+NL=3\sqrt{3}+4$, 此时 $a=6+3\sqrt{3}+4=15+3\sqrt{3}$.
情况二:扇形缺口向右,底面圆与矩形上边或下边相切时,如图(4).
$\because MN=ML+NL=3\sqrt{3}+4$, $MW=6-5=1$, $\therefore NW=\sqrt{MN^2-1}=\sqrt{42+24\sqrt{3}}=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}$, 此时 $a=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$. $\because 2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11＜15+3\sqrt{3}$, $\therefore a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$.
解析
【分析】
1. 第(1)问利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程即可求解底面半径。
2. 第(2)(i)①先根据扇形圆心角判断$△ AMB$为等边三角形，计算弦$AB$的弦心距$CM$，再计算剩余区域的水平、竖直长度，和底面圆直径比较即可判断能否剪出圆形纸片。
3. 第(2)(i)②当扇形和底面圆外切、且底面圆与矩形上下边相切时$a$最短，连接两圆心构造直角三角形，用勾股定理计算水平方向长度，结合弦心距和底面圆半径即可得到$a$的值。
4. 第(2)(ii)分两种情况讨论$a$的最小值，比较两种情况的结果，取更小值作为$a$的下限，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 设圆锥的底面圆的半径为 $r$ cm，根据圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，得：
$2π r=\frac{300π×6}{180}$
解得 $r=5$。
(2)(i)①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由如下：
作 $MC⊥ AB$，垂足为 $C$，延长 $CM$，交 $\odot M$ 于点 $D$，交 $RS$ 于点 $E$。
$\because AM=BM=6$，$∠ AMB=360°-300°=60°$，$\therefore △ AMB$ 是等边三角形，$\therefore AB=AM=6$。
$\because CM⊥ AB$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=3$。
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中，$∠ ACM=90°$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{AM^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
$\because$ 四边形 $JCES$ 是矩形，$\therefore CE=JS=22$，
$\therefore DE=CE-CM-DM=22-3\sqrt{3}-6=16-3\sqrt{3}$
底面圆直径为 $2r=10$，$\because 16-3\sqrt{3}＞10$，且矩形竖直边长$12＞10$，$\therefore$ 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片。
②示意图如下：
设底面圆圆心为 $N$，连接 $MN$，则 $MN$ 过切点 $K$，过 $N$ 作 $NG⊥ PQ$ 于点 $G$。
$\because$ 两圆外切，$\therefore MN=MK+NK=6+5=11$，$MG=MQ-GQ=6-5=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ MNG$ 中，由勾股定理得：
$NG=\sqrt{MN^2-MG^2}=\sqrt{11^2-1^2}=2\sqrt{30}$
过点 $M$ 作 $MC⊥ AB$，得 $MC=3\sqrt{3}$，因此：
$a=3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5$
(ii) $a$没有上限，仅需考虑$a$的下限，分两种情况讨论：
情况1：扇形圆心和底面圆的圆心在同一水平线上，此时$ML=\sqrt{AM^2-AL^2}=3\sqrt{3}$，$NL=\sqrt{AN^2-AL^2}=4$，$a=6+3\sqrt{3}+4=15+3\sqrt{3}$。
情况2：底面圆与矩形上边或下边相切，此时两圆心竖直距离为$6-5=1$，水平距离为$\sqrt{11^2-1^2}$？不，经计算得此时$a=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$。
$\because 2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11＜15+3\sqrt{3}$，因此$a$的最小值为$2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$，故$a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2)(i)①能剪出，理由见解析；
②示意图：，$a=\boxed{3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5}$；
(ii) $\boxed{a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11}$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆锥的侧面展开性质、圆的切线与外切性质、勾股定理的应用，需要结合几何图形的位置关系分析长度关系，对空间想象能力和运算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
1. 第(1)问利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程即可求解底面半径。
2. 第(2)(i)①先根据扇形圆心角判断$△ AMB$为等边三角形，计算弦$AB$的弦心距$CM$，再计算剩余区域的水平、竖直长度，和底面圆直径比较即可判断能否剪出圆形纸片。
3. 第(2)(i)②当扇形和底面圆外切、且底面圆与矩形上下边相切时$a$最短，连接两圆心构造直角三角形，用勾股定理计算水平方向长度，结合弦心距和底面圆半径即可得到$a$的值。
4. 第(2)(ii)分两种情况讨论$a$的最小值，比较两种情况的结果，取更小值作为$a$的下限，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 设圆锥的底面圆的半径为 $r$ cm，根据圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，得：
$2π r=\frac{300π×6}{180}$
解得 $r=5$。
(2)(i)①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由如下：
作 $MC⊥ AB$，垂足为 $C$，延长 $CM$，交 $\odot M$ 于点 $D$，交 $RS$ 于点 $E$。
$\because AM=BM=6$，$∠ AMB=360°-300°=60°$，$\therefore △ AMB$ 是等边三角形，$\therefore AB=AM=6$。
$\because CM⊥ AB$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=3$。
在 $\mathrm{Rt}△ AMC$ 中，$∠ ACM=90°$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{AM^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
$\because$ 四边形 $JCES$ 是矩形，$\therefore CE=JS=22$，
$\therefore DE=CE-CM-DM=22-3\sqrt{3}-6=16-3\sqrt{3}$
底面圆直径为 $2r=10$，$\because 16-3\sqrt{3}＞10$，且矩形竖直边长$12＞10$，$\therefore$ 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片。
②示意图如下：
设底面圆圆心为 $N$，连接 $MN$，则 $MN$ 过切点 $K$，过 $N$ 作 $NG⊥ PQ$ 于点 $G$。
$\because$ 两圆外切，$\therefore MN=MK+NK=6+5=11$，$MG=MQ-GQ=6-5=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ MNG$ 中，由勾股定理得：
$NG=\sqrt{MN^2-MG^2}=\sqrt{11^2-1^2}=2\sqrt{30}$
过点 $M$ 作 $MC⊥ AB$，得 $MC=3\sqrt{3}$，因此：
$a=3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5$
(ii) $a$没有上限，仅需考虑$a$的下限，分两种情况讨论：
情况1：扇形圆心和底面圆的圆心在同一水平线上，此时$ML=\sqrt{AM^2-AL^2}=3\sqrt{3}$，$NL=\sqrt{AN^2-AL^2}=4$，$a=6+3\sqrt{3}+4=15+3\sqrt{3}$。
情况2：底面圆与矩形上边或下边相切，此时两圆心竖直距离为$6-5=1$，水平距离为$\sqrt{11^2-1^2}$？不，经计算得此时$a=2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$。
$\because 2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11＜15+3\sqrt{3}$，因此$a$的最小值为$2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$，故$a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2)(i)①能剪出，理由见解析；
②示意图：
，$a=\boxed{3\sqrt{3}+2\sqrt{30}+5}$；(ii) $\boxed{a≥2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+11}$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆锥的侧面展开性质、圆的切线与外切性质、勾股定理的应用，需要结合几何图形的位置关系分析长度关系，对空间想象能力和运算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
