登录
1[中]如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $AB = \sqrt{5}$, $BC = 2$, 以点 $A$ 为圆心, $AC$ 的长为半径画弧,交 $AB$ 于点 $D$,交 $AC$ 于点 $C$,以点 $B$ 为圆心, $AC$ 的长为半径画弧,交 $AB$ 于点 $E$,交 $BC$ 于点 $F$,则图中阴影部分的面积为 (
A.$8 - π$
B.$4 - π$
C.$2 - \dfrac{π}{4}$
D.$1 - \dfrac{π}{4}$
D
)A.$8 - π$
B.$4 - π$
C.$2 - \dfrac{π}{4}$
D.$1 - \dfrac{π}{4}$
答案
1. D 【解析】根据题意知 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2} = 1$, 则 $BE = BF = AD = AC = 1$. 设 $∠ B = n^°, ∠ A = m^°. ∵ ∠ ACB = 90^°, ∴ ∠ B + ∠ A = 90^°$, 即 $n + m = 90^°, ∴ S_{阴影部分} = S_{△ABC} - (S_{扇形EBF} + S_{扇形DAC}) = \frac{1}{2}×2×1 - (\frac{nπ×1^2}{360} + \frac{mπ×1^2}{360}) = 1 - \frac{(n+m)π}{360} = 1 - \frac{π}{4}$, 故选 D.
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差求解：首先用勾股定理算出直角边AC的长度，也就是两个扇形的半径；再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得两个扇形的圆心角之和为90°，因此可以合并计算两个扇形的面积和；最后用△ABC的面积减去两个扇形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1$
由作图可知，两个扇形的半径均为$AC$的长，即$BE=BF=AD=AC=1$。
设$∠B=n°$，$∠A=m°$，因为$∠ACB=90°$，所以$∠A + ∠B = 90°$，即$m + n = 90$。
阴影部分面积 = $S_{△ABC} - (S_{扇形EBF} + S_{扇形DAC})$
其中$S_{△ABC} = \frac{1}{2}×BC×AC = \frac{1}{2}×2×1 = 1$
两个扇形的面积和为：
$S_{扇形和} = \frac{nπ×1^2}{360} + \frac{mπ×1^2}{360} = \frac{(m+n)π}{360} = \frac{90π}{360} = \frac{π}{4}$
因此阴影部分面积 = $1 - \frac{π}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是将不规则面积转化为规则图形面积的和差，利用直角三角形两锐角互余的性质可简化扇形面积的计算，避免了分别求解两个扇形圆心角的繁琐步骤。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差求解：首先用勾股定理算出直角边AC的长度，也就是两个扇形的半径；再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得两个扇形的圆心角之和为90°，因此可以合并计算两个扇形的面积和；最后用△ABC的面积减去两个扇形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1$
由作图可知，两个扇形的半径均为$AC$的长，即$BE=BF=AD=AC=1$。
设$∠B=n°$，$∠A=m°$，因为$∠ACB=90°$，所以$∠A + ∠B = 90°$，即$m + n = 90$。
阴影部分面积 = $S_{△ABC} - (S_{扇形EBF} + S_{扇形DAC})$
其中$S_{△ABC} = \frac{1}{2}×BC×AC = \frac{1}{2}×2×1 = 1$
两个扇形的面积和为：
$S_{扇形和} = \frac{nπ×1^2}{360} + \frac{mπ×1^2}{360} = \frac{(m+n)π}{360} = \frac{90π}{360} = \frac{π}{4}$
因此阴影部分面积 = $1 - \frac{π}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是将不规则面积转化为规则图形面积的和差，利用直角三角形两锐角互余的性质可简化扇形面积的计算，避免了分别求解两个扇形圆心角的繁琐步骤。
【难度系数】
0.6
2[2025山西晋中期中,中]如图是$5×4$的网格,其中每个小正方形的边长为2,点A和点B是格点,连接AB,小明在网格中画出以AB为直径的半圆,圆心为点O,点C是格点且在半圆O上,连接BC,则图中阴影部分的面积是 (
A.$5π +10$
B.$4π -9$
C.$\dfrac{5π -5}{4}$
D.$\dfrac{5π +10}{4}$
A
)A.$5π +10$
B.$4π -9$
C.$\dfrac{5π -5}{4}$
D.$\dfrac{5π +10}{4}$
答案
2. A 【解析】如图
所示,连接 CO.∵ 小正方形的边长为 2,
∴$ OC = OB = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5}, BC = \sqrt{2^2+6^2} = 2\sqrt{10}, $
∴$ OC^2 + OB^2 = BC^2, $
∴ ∠ COB = 90^° = ∠ AOC,
∴ 图中阴影部分的面积是$ S_{△COB} + S_{扇形AOC} = \frac{1}{2}×(2\sqrt{5})^2 + \frac{90π×(2\sqrt{5})^2}{360} = 5π + 10. $故选 A.
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法将其转化为几个规则图形面积的和或差。首先我们可以连接辅助线OC，观察发现阴影部分可拆分为扇形AOC和三角形COB两部分。接下来第一步需要根据网格边长，用勾股定理求出半圆的半径以及BC的长度；第二步用勾股定理逆定理判断△COB的形状，得到∠COB的度数，进而得到扇形AOC的圆心角；最后分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算，求和即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
如图所示，连接CO。
∵ 每个小正方形的边长为2，
∴ 由勾股定理可得：$ OC = OB = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5} $，$ BC = \sqrt{2^2+6^2} = 2\sqrt{10} $，
∴ $ OC^2 + OB^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 40 $，$ BC^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40 $，即$ OC^2 + OB^2 = BC^2 $，
∴ 由勾股定理的逆定理可得$ ∠ COB = 90° $，因此$ ∠ AOC = 180° - 90° = 90° $。
阴影部分的面积 = 扇形AOC的面积 + △COB的面积，代入公式计算：
$ S_{扇形AOC} = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{90π × (2\sqrt{5})^2}{360} = 5π $，
$ S_{△ COB} = \frac{1}{2} × OC × OB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 10 $，
∴ 阴影部分的面积为$ 5π + 10 $，故选A。
【答案】
A
【知识点】
割补法求面积、勾股定理及逆定理、扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题核心是通过作辅助线将不规则阴影转化为规则的扇形和三角形，结合勾股定理逆定理确定圆心角度数后，代入对应公式求解即可，熟练掌握割补法能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法将其转化为几个规则图形面积的和或差。首先我们可以连接辅助线OC，观察发现阴影部分可拆分为扇形AOC和三角形COB两部分。接下来第一步需要根据网格边长，用勾股定理求出半圆的半径以及BC的长度；第二步用勾股定理逆定理判断△COB的形状，得到∠COB的度数，进而得到扇形AOC的圆心角；最后分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算，求和即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
如图
所示，连接CO。∵ 每个小正方形的边长为2，
∴ 由勾股定理可得：$ OC = OB = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5} $，$ BC = \sqrt{2^2+6^2} = 2\sqrt{10} $，
∴ $ OC^2 + OB^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 40 $，$ BC^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40 $，即$ OC^2 + OB^2 = BC^2 $，
∴ 由勾股定理的逆定理可得$ ∠ COB = 90° $，因此$ ∠ AOC = 180° - 90° = 90° $。
阴影部分的面积 = 扇形AOC的面积 + △COB的面积，代入公式计算：
$ S_{扇形AOC} = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{90π × (2\sqrt{5})^2}{360} = 5π $，
$ S_{△ COB} = \frac{1}{2} × OC × OB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 10 $，
∴ 阴影部分的面积为$ 5π + 10 $，故选A。
【答案】
A
【知识点】
割补法求面积、勾股定理及逆定理、扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题核心是通过作辅助线将不规则阴影转化为规则的扇形和三角形，结合勾股定理逆定理确定圆心角度数后，代入对应公式求解即可，熟练掌握割补法能有效提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.6
3[中]如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,连接AC,则阴影部分的面积是 (
A.9
B.6
C.3
D.12
(第3题图)
(第4题图)
A
)A.9
B.6
C.3
D.12
(第3题图)
(第4题图)
答案
3. A 【解析】如图
,设 $AC$ 与半圆交于点 $E$, 半圆的圆心为 $O$, 连接 $BE, OE. ∵$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $∴ ∠ OCE = 45^°. ∵ OE = OC, ∴ ∠ OEC = ∠ OCE = 45^°, ∴ ∠ EOC = 90^°, ∴ OE$ 垂直平分 $BC, ∴ BE = CE, ∴$ 弓形 $BE$ 的面积 = 弓形 $CE$ 的面积, $∴ S_{阴影部分} = S_{△ABE} = S_{△ABC} - S_{△BCE} = \frac{1}{2}×6×6 - \frac{1}{2}×6×3 = 9$, 故选 A.解析
【分析】
本题求解不规则阴影部分的面积，无法直接计算，因此采用割补转化的思路解题：首先观察图形特征，阴影由两部分不规则图形组成，可通过构造辅助线将右侧弓形阴影转化到左侧等面积的弓形位置，把阴影面积转化为规则三角形的面积计算。具体思考步骤：1. 取半圆的圆心O，AC与半圆的交点E，连接BE、OE；2. 利用正方形的性质推导角度关系，证明弓形BE和弓形CE面积相等；3. 将阴影面积转化为△ABE的面积，代入数据计算即可。
【解析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE、OE。
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠ACB=45°，BC=6，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×6=18$。
∵OE、OC均为半圆的半径，
∴OE=OC，可得∠OEC=∠OCE=45°，因此∠EOC=180°-45°-45°=90°，即OE⊥BC，又O是BC中点，故OE垂直平分BC，因此BE=CE，可得弓形BE的面积=弓形CE的面积。
∴阴影部分的面积可转化为△ABE的面积，即$S_{阴影}=S_{△ABE}=S_{△ABC}-S_{△BCE}$。
△BCE中，BC=6，BC边上的高为OE的长度，$OE=\frac{1}{2}BC=3$，因此$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
代入计算得$S_{阴影}=18-9=9$。
【答案】
A
【知识点】
割补法求面积、正方形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则三角形的面积，构造辅助线得出两个弓形面积相等是解题的关键，能有效考查学生的图形转化能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
本题求解不规则阴影部分的面积，无法直接计算，因此采用割补转化的思路解题：首先观察图形特征，阴影由两部分不规则图形组成，可通过构造辅助线将右侧弓形阴影转化到左侧等面积的弓形位置，把阴影面积转化为规则三角形的面积计算。具体思考步骤：1. 取半圆的圆心O，AC与半圆的交点E，连接BE、OE；2. 利用正方形的性质推导角度关系，证明弓形BE和弓形CE面积相等；3. 将阴影面积转化为△ABE的面积，代入数据计算即可。
【解析】
设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE、OE。
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠ACB=45°，BC=6，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×6=18$。
∵OE、OC均为半圆的半径，
∴OE=OC，可得∠OEC=∠OCE=45°，因此∠EOC=180°-45°-45°=90°，即OE⊥BC，又O是BC中点，故OE垂直平分BC，因此BE=CE，可得弓形BE的面积=弓形CE的面积。
∴阴影部分的面积可转化为△ABE的面积，即$S_{阴影}=S_{△ABE}=S_{△ABC}-S_{△BCE}$。
△BCE中，BC=6，BC边上的高为OE的长度，$OE=\frac{1}{2}BC=3$，因此$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
代入计算得$S_{阴影}=18-9=9$。
【答案】
A
【知识点】
割补法求面积、正方形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则三角形的面积，构造辅助线得出两个弓形面积相等是解题的关键，能有效考查学生的图形转化能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
4[中]如图，Rt△ABC内接于$\overset{\frown}{ABC}$，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=2，点D在$\overset{\frown}{BC}$上，且CD=CA，点P是线段BC上的动点，当PA+PD的值最小时，阴影部分的面积为
$\frac{2}{3}π$
.(结果保留π)答案
$4. \frac{2}{3}π 【$解析】
∵ Rt△ ABC 内接于$ \overset{\frown}{ABC}, ∠ BAC = 90^°, $
∴ BC 是直径. 设 BC 的中点为 O, 则 AC = CO. 连接 OD.
∵ ∠ BAC = 90^°, ∠ ABC = 30^°, AC = 2,
∴ BC = 2AC = 4.
∵ CD = CA,
∴ CD = CO.
∵ CO = DO,
∴ △ COD 是等边三角形,
∴ ∠ COD = ∠ CDO = 60^°, AC = DO. P 是线段 BC 上的动点, 当点 A, P, D 共线时, PA + PD 的值最小, 此时 ∠ CAD = ∠ CDA = 30^°,
∴ ∠ ADO = 30^°. 在 △ APC 和 △ DPO 中$, \begin{cases} ∠ CAP = ∠ PDO, \\ ∠ APC = ∠ DPO, \\ AC = OD, \end{cases} $
∴ △ APC ≌ △ DPO (AAS),
∴$ S_{阴影} = S_{扇形COD} = \frac{60π×2^2}{360} = \frac{2}{3}π, $故答案为$ \frac{2}{3}π. [$图4]
∵ Rt△ ABC 内接于$ \overset{\frown}{ABC}, ∠ BAC = 90^°, $
∴ BC 是直径. 设 BC 的中点为 O, 则 AC = CO. 连接 OD.
∵ ∠ BAC = 90^°, ∠ ABC = 30^°, AC = 2,
∴ BC = 2AC = 4.
∵ CD = CA,
∴ CD = CO.
∵ CO = DO,
∴ △ COD 是等边三角形,
∴ ∠ COD = ∠ CDO = 60^°, AC = DO. P 是线段 BC 上的动点, 当点 A, P, D 共线时, PA + PD 的值最小, 此时 ∠ CAD = ∠ CDA = 30^°,
∴ ∠ ADO = 30^°. 在 △ APC 和 △ DPO 中$, \begin{cases} ∠ CAP = ∠ PDO, \\ ∠ APC = ∠ DPO, \\ AC = OD, \end{cases} $
∴ △ APC ≌ △ DPO (AAS),
∴$ S_{阴影} = S_{扇形COD} = \frac{60π×2^2}{360} = \frac{2}{3}π, $故答案为$ \frac{2}{3}π. [$图4]
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：①先利用“90°的圆周角所对的弦是直径”确定BC为圆的直径，结合已知直角三角形的角度和边长求出圆的半径，再根据CD=CA判定△COD为等边三角形，得到圆心角∠COD的度数；②结合“将军饮马”最短路径模型，根据两点之间线段最短，确定PA+PD取最小值时P为AD与BC的交点；③通过全等三角形的等积转化，把不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，代入公式计算即可。
【解析】
解：
∵Rt△ABC内接于圆，∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，设BC的中点为圆心O，则半径OC=OD=2。
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴BC=2AC=4，圆的半径为2，即OC=OD=AC=2。
又
∵CD=CA，
∴CD=OC=OD，
∴△COD是等边三角形，∠COD=60°。
要使PA+PD的值最小，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时（P为AD与BC的交点），PA+PD取得最小值。
此时∠CAD=∠CDA，由圆周角定理得∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，则∠CDA=30°，
∵△COD是等边三角形，∠CDO=60°，
∴∠ODP=∠CDO-∠CDA=30°，即∠CAP=∠ODP。
在△APC和△DPO中：
$\begin{cases}∠CAP=∠ODP \\∠APC=∠DPO \\AC=OD\end{cases}$
∴△APC≌△DPO（AAS），
∴$S_{△ APC}=S_{△ DPO}$，
∴$S_{阴影}=S_{△ APC}+S_{△ CDP}=S_{△ DPO}+S_{△ CDP}=S_{扇形COD}$。
代入扇形面积公式：$S_{扇形COD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$。
【答案】
$\frac{2}{3}π$
【知识点】
最短路径问题，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了最短路径模型、圆的基本性质、全等三角形的判定和不规则图形的面积计算，解题核心是准确找到PA+PD取最小值时点P的位置，再通过等积转化把不规则面积转化为规则图形面积求解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步展开：①先利用“90°的圆周角所对的弦是直径”确定BC为圆的直径，结合已知直角三角形的角度和边长求出圆的半径，再根据CD=CA判定△COD为等边三角形，得到圆心角∠COD的度数；②结合“将军饮马”最短路径模型，根据两点之间线段最短，确定PA+PD取最小值时P为AD与BC的交点；③通过全等三角形的等积转化，把不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，代入公式计算即可。
【解析】
解：
∵Rt△ABC内接于圆，∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，设BC的中点为圆心O，则半径OC=OD=2。
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴BC=2AC=4，圆的半径为2，即OC=OD=AC=2。
又
∵CD=CA，
∴CD=OC=OD，
∴△COD是等边三角形，∠COD=60°。
要使PA+PD的值最小，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时（P为AD与BC的交点），PA+PD取得最小值。
此时∠CAD=∠CDA，由圆周角定理得∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，则∠CDA=30°，
∵△COD是等边三角形，∠CDO=60°，
∴∠ODP=∠CDO-∠CDA=30°，即∠CAP=∠ODP。
在△APC和△DPO中：
$\begin{cases}∠CAP=∠ODP \\∠APC=∠DPO \\AC=OD\end{cases}$
∴△APC≌△DPO（AAS），
∴$S_{△ APC}=S_{△ DPO}$，
∴$S_{阴影}=S_{△ APC}+S_{△ CDP}=S_{△ DPO}+S_{△ CDP}=S_{扇形COD}$。
代入扇形面积公式：$S_{扇形COD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$。
【答案】
$\frac{2}{3}π$
【知识点】
最短路径问题，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了最短路径模型、圆的基本性质、全等三角形的判定和不规则图形的面积计算，解题核心是准确找到PA+PD取最小值时点P的位置，再通过等积转化把不规则面积转化为规则图形面积求解。
【难度系数】
0.6
5[中]如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的面积为 (
A.$\frac{1}{4}π a^2 - a^2$
B.$\frac{1}{2}π a^2 - a^2$
C.$\frac{1}{4}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$
D.$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$
(第5题图)
(第6题图)
B
)A.$\frac{1}{4}π a^2 - a^2$
B.$\frac{1}{2}π a^2 - a^2$
C.$\frac{1}{4}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$
D.$\frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$
(第5题图)
(第6题图)
答案
5. B 【解析】由题意可得 $S_{阴影} = 2S_{扇形ABC} - S_{正方形ABCD} = 2×\frac{90π·a^2}{360} - a^2 = \frac{1}{2}πa^2 - a^2$, 故选 B.
解析
【分析】
本题要求树叶形阴影部分的面积，该阴影是两个扇形的重叠区域，属于不规则图形，可采用容斥原理求解：两个圆心角为90°、半径为a的扇形的面积之和覆盖了整个正方形，其中阴影部分被重复计算了1次，因此用两个扇形的面积和减去正方形的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
由图可知，两个扇形均为圆心角90°、半径为a的扇形，正方形边长为a。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，单个扇形的面积为：
$S_{扇形ABC}=\frac{90π · a^2}{360}=\frac{1}{4}π a^2$
根据容斥原理，阴影部分面积为两个扇形面积和减去正方形面积：
$S_{阴影}=2S_{扇形ABC}-S_{正方形ABCD}$
代入数值计算：
$S_{阴影}=2×\frac{1}{4}π a^2 - a^2=\frac{1}{2}π a^2 - a^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，正方形面积计算，不规则面积求法
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是找到阴影部分与规则图形（扇形、正方形）的面积关系，利用容斥原理将不规则面积转化为规则图形的面积和差计算，掌握该方法后可快速解决同类重叠类阴影面积问题。
【难度系数】
0.6
本题要求树叶形阴影部分的面积，该阴影是两个扇形的重叠区域，属于不规则图形，可采用容斥原理求解：两个圆心角为90°、半径为a的扇形的面积之和覆盖了整个正方形，其中阴影部分被重复计算了1次，因此用两个扇形的面积和减去正方形的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
由图可知，两个扇形均为圆心角90°、半径为a的扇形，正方形边长为a。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，单个扇形的面积为：
$S_{扇形ABC}=\frac{90π · a^2}{360}=\frac{1}{4}π a^2$
根据容斥原理，阴影部分面积为两个扇形面积和减去正方形面积：
$S_{阴影}=2S_{扇形ABC}-S_{正方形ABCD}$
代入数值计算：
$S_{阴影}=2×\frac{1}{4}π a^2 - a^2=\frac{1}{2}π a^2 - a^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，正方形面积计算，不规则面积求法
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是找到阴影部分与规则图形（扇形、正方形）的面积关系，利用容斥原理将不规则面积转化为规则图形的面积和差计算，掌握该方法后可快速解决同类重叠类阴影面积问题。
【难度系数】
0.6
6[2026江苏南通调研,中]如图,正方形ABCD的边长为8,以D为圆心,6为半径作圆弧;以C为圆心,8为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别记为$S_1$,$S_2$,则$S_1 - S_2$的值为 (
A.$52π$
B.$25π$
C.$52π -64$
D.$25π -64$
D
)A.$52π$
B.$25π$
C.$52π -64$
D.$25π -64$
答案
6. D 【解析】如图
,由作图可知 $S_1 + S_3 = \frac{90×π×6^2}{360} = 9π, S_2 + S_3 = 8×8 - \frac{90π×8^2}{360} = 64 - 16π, ∴ S_1 - S_2 = (S_1 + S_3) - (S_2 + S_3) = 9π - (64 - 16π) = 25π - 64$, 故选 D.解析
【分析】
要求$S_1 - S_2$的值，直接单独计算$S_1$、$S_2$的面积较为复杂，我们可以观察图形找到两部分阴影共邻的公共空白区域（记为$S_3$），将$S_1$、$S_2$分别与$S_3$组合，转化为扇形、正方形这类规则图形的面积，再通过两式相减消去公共部分$S_3$，即可求出$S_1 - S_2$的差值。
【解析】
设两个扇形之间的空白部分面积为$S_3$，如图。
1. 以D为圆心、半径为6的扇形圆心角为正方形内角$90°$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得该扇形面积为：$\frac{90π × 6^2}{360}=9π$，即$S_1 + S_3 = 9π$ ①。
2. 以C为圆心、半径为8的扇形圆心角也为$90°$，同理得该扇形面积为：$\frac{90π × 8^2}{360}=16π$，正方形ABCD面积为$8×8=64$，因此$S_2 + S_3 = 64 - 16π$ ②。
3. 用①式减②式消去$S_3$：
$S_1 - S_2 = (S_1 + S_3) - (S_2 + S_3) = 9π - (64 - 16π) = 25π - 64$
故选D。
【答案】D
【知识点】
扇形面积计算；正方形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是运用整体思想，通过引入公共空白部分作为中间量，将未知的不规则图形面积差转化为已知的规则图形面积差，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
要求$S_1 - S_2$的值，直接单独计算$S_1$、$S_2$的面积较为复杂，我们可以观察图形找到两部分阴影共邻的公共空白区域（记为$S_3$），将$S_1$、$S_2$分别与$S_3$组合，转化为扇形、正方形这类规则图形的面积，再通过两式相减消去公共部分$S_3$，即可求出$S_1 - S_2$的差值。
【解析】
设两个扇形之间的空白部分面积为$S_3$，如图
。1. 以D为圆心、半径为6的扇形圆心角为正方形内角$90°$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得该扇形面积为：$\frac{90π × 6^2}{360}=9π$，即$S_1 + S_3 = 9π$ ①。
2. 以C为圆心、半径为8的扇形圆心角也为$90°$，同理得该扇形面积为：$\frac{90π × 8^2}{360}=16π$，正方形ABCD面积为$8×8=64$，因此$S_2 + S_3 = 64 - 16π$ ②。
3. 用①式减②式消去$S_3$：
$S_1 - S_2 = (S_1 + S_3) - (S_2 + S_3) = 9π - (64 - 16π) = 25π - 64$
故选D。
【答案】D
【知识点】
扇形面积计算；正方形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是运用整体思想，通过引入公共空白部分作为中间量，将未知的不规则图形面积差转化为已知的规则图形面积差，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
