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10.「2026上海普陀期末改编，★☆」已知直角三角形的三边长分别为5,13,x,那么$x^2$的值为 (
A.12
B.169
C.144或194
D.144或169
C
)A.12
B.169
C.144或194
D.144或169
答案
10.C 分两种情况:①当$x$是斜边长时,$x^2 = 5^2 + 13^2 = 194$.②当$x$是直角边长时,$x^2 = 13^2 - 5^2 = 144$.
综上,$x^2$的值为144或194.
故选C.
综上,$x^2$的值为144或194.
故选C.
11. 学科 特色 转化思想 「2026江苏无锡惠山月考，★☆」如图，分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学上被称为“希波克拉底月牙”.当$AC=8$，$BC=6$时，“希波克拉底月牙”的面积是（
A.18
B.20
C.24
D.48
C
）A.18
B.20
C.24
D.48
答案
11.C 因为$∠ACB=90°$,
所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
所以$S_{\mathrm{阴影}} = \dfrac{1}{2}π · (\dfrac{1}{2}AC)^2 + \dfrac{1}{2}π · (\dfrac{1}{2}BC)^2 + \dfrac{1}{2}AC · BC - \dfrac{1}{2}π · (\dfrac{1}{2}AB)^2 = \dfrac{1}{8}π · AC^2 + \dfrac{1}{8}π · BC^2 - \dfrac{1}{8}π · AB^2 + \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{8}π(AC^2 + BC^2 - AB^2) + \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2} × 8 × 6 = 24$.
技巧归纳 “希波克拉底月牙”求面积的核心是“转化思想”,依托直角三角形和半圆的面积关系,以勾股定理为桥梁,将不规则月牙面积转化为规则直角三角形面积求解即可.
所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
所以$S_{\mathrm{阴影}} = \dfrac{1}{2}π · (\dfrac{1}{2}AC)^2 + \dfrac{1}{2}π · (\dfrac{1}{2}BC)^2 + \dfrac{1}{2}AC · BC - \dfrac{1}{2}π · (\dfrac{1}{2}AB)^2 = \dfrac{1}{8}π · AC^2 + \dfrac{1}{8}π · BC^2 - \dfrac{1}{8}π · AB^2 + \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{8}π(AC^2 + BC^2 - AB^2) + \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2} × 8 × 6 = 24$.
技巧归纳 “希波克拉底月牙”求面积的核心是“转化思想”,依托直角三角形和半圆的面积关系,以勾股定理为桥梁,将不规则月牙面积转化为规则直角三角形面积求解即可.
12.「2026 四川成都双流期末，★☆」如图,在$Rt△ ABC$中,分别以这个三角形的三边为边向外作正方形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3$,若$S_3+S_1-S_2=12$,则图中阴影部分的面积为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
A
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
12.A 设$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,
所以$S_1 = a^2$,$S_2 = b^2$,$S_3 = c^2$,
由勾股定理得$c^2 = a^2 + b^2$,
所以$S_3 = S_1 + S_2$,
又因为$S_3 + S_1 - S_2 = 12$,
所以$S_1 + S_2 + S_1 - S_2 = 12$,
所以$S_1 = 6$,
所以阴影部分的面积$= \dfrac{1}{2}a^2 = \dfrac{1}{2}S_1 = 3$.
故选A.
所以$S_1 = a^2$,$S_2 = b^2$,$S_3 = c^2$,
由勾股定理得$c^2 = a^2 + b^2$,
所以$S_3 = S_1 + S_2$,
又因为$S_3 + S_1 - S_2 = 12$,
所以$S_1 + S_2 + S_1 - S_2 = 12$,
所以$S_1 = 6$,
所以阴影部分的面积$= \dfrac{1}{2}a^2 = \dfrac{1}{2}S_1 = 3$.
故选A.
13.「2026湖南衡阳祁东期末，★☆」如图所示的是一株美丽的勾股树，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,E的面积分别为1,2,5,10，则正方形D的面积是
2
. 答案
13.答案 2
解析 如图,由勾股定理和正方形面积公式可知$S_{\mathrm{正方形A}} + S_{\mathrm{正方形B}} = S_{\mathrm{正方形F}}$,$S_{\mathrm{正方形C}} + S_{\mathrm{正方形D}} = S_{\mathrm{正方形G}}$,$S_{\mathrm{正方形F}} + S_{\mathrm{正方形G}} = S_{\mathrm{正方形E}}$,
所以$S_{\mathrm{正方形D}} = S_{\mathrm{正方形E}} - S_{\mathrm{正方形A}} - S_{\mathrm{正方形B}} - S_{\mathrm{正方形C}} = 10 - 1 - 2 - 5 = 2$.
14.「2026江苏扬州江都期中，★☆」对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若$AD=3$，$BC=5$，则$AB^2 + CD^2 =$ 
34
. 答案
14.答案 34
解析 因为四边形ABCD为“垂美”四边形,所以$BD ⊥ AC$,所以$∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°$,
在$\mathrm{Rt}△AED$中,$AE^2 + DE^2 = AD^2 = 9$,
在$\mathrm{Rt}△BEC$中,$BE^2 + CE^2 = BC^2 = 25$,
所以$AE^2 + DE^2 + BE^2 + CE^2 = 9 + 25 = 34$,
在$\mathrm{Rt}△AEB$中,$AB^2 = AE^2 + BE^2$,
在$\mathrm{Rt}△CED$中,$CD^2 = CE^2 + DE^2$,
所以$AB^2 + CD^2 = AE^2 + DE^2 + BE^2 + CE^2 = 34$.
解析 因为四边形ABCD为“垂美”四边形,所以$BD ⊥ AC$,所以$∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°$,
在$\mathrm{Rt}△AED$中,$AE^2 + DE^2 = AD^2 = 9$,
在$\mathrm{Rt}△BEC$中,$BE^2 + CE^2 = BC^2 = 25$,
所以$AE^2 + DE^2 + BE^2 + CE^2 = 9 + 25 = 34$,
在$\mathrm{Rt}△AEB$中,$AB^2 = AE^2 + BE^2$,
在$\mathrm{Rt}△CED$中,$CD^2 = CE^2 + DE^2$,
所以$AB^2 + CD^2 = AE^2 + DE^2 + BE^2 + CE^2 = 34$.
15.「2026浙江金华期末，★77」如图,在 Rt△ABC 中, ∠A=90°,AB=8,BC=10,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,则 CD 的长为
$\boldsymbol{\dfrac{10}{3}}$
。答案
15.答案 $\dfrac{10}{3}$
解析 如图,过点D作$DE ⊥ BC$于点E,
因为BD平分$∠ABC$,
所以$∠ABD=∠EBD$,
在$△ABD$和$△EBD$中,$\begin{cases} ∠A=∠BED=90°, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
所以$△ABD ≌ △EBD$,
所以$AD=DE$,$AB=BE=8$,
所以$CE=BC-BE=10-8=2$,
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠A=90°$,$AB=8$,$BC=10$,
所以$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 36 = 6^2$,
所以$AC=6$,
设$CD=x$,则$AD=DE=6-x$,
在$\mathrm{Rt}△DEC$中,由勾股定理可得$CD^2 = DE^2 + CE^2$,即$x^2 = (6-x)^2 + 2^2$,解得$x = \dfrac{10}{3}$,即$CD = \dfrac{10}{3}$.
16. 核心素养 推理能力 「2026陕西宝鸡月考节选」如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$B$出发沿射线$BC$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)求$BC$的长。
(2)当$△ ABP$为直角三角形时，求$t$的值。
(1)求$BC$的长。
(2)当$△ ABP$为直角三角形时，求$t$的值。
答案
16.解析 (1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,
所以$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - 3^2 = 16 = 4^2$,
所以$BC=4\ \mathrm{cm}$.
(2)由题意得$BP=t\ \mathrm{cm}$,分情况讨论:
①当$∠APB=90°$时,点P与点C重合,
所以$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以$t=4$.
②当$∠BAP=90°$时,$AP^2 = BP^2 - AB^2$,
在$\mathrm{Rt}△ACP$中,由勾股定理得$AP^2 = AC^2 + CP^2$,
所以$AC^2 + CP^2 = BP^2 - AB^2$,
所以$3^2 + (t-4)^2 = t^2 - 5^2$,
解得$t = \dfrac{25}{4}$.
综上,当$△ABP$为直角三角形时,$t$的值为4或$\dfrac{25}{4}$.
所以$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - 3^2 = 16 = 4^2$,
所以$BC=4\ \mathrm{cm}$.
(2)由题意得$BP=t\ \mathrm{cm}$,分情况讨论:
①当$∠APB=90°$时,点P与点C重合,
所以$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以$t=4$.
②当$∠BAP=90°$时,$AP^2 = BP^2 - AB^2$,
在$\mathrm{Rt}△ACP$中,由勾股定理得$AP^2 = AC^2 + CP^2$,
所以$AC^2 + CP^2 = BP^2 - AB^2$,
所以$3^2 + (t-4)^2 = t^2 - 5^2$,
解得$t = \dfrac{25}{4}$.
综上,当$△ABP$为直角三角形时,$t$的值为4或$\dfrac{25}{4}$.
