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7.「2025北京中考」北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条(如图1):一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2),其头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短10 cm,图1中BC的长是门条长的$\frac{5}{9}$,AB,CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
答案
7.解析 设胸腹高为x cm,则单根膀条长为5x cm,AB=CD=x cm,所以门条AD的长度为(5x−10) cm,所以$BC=\frac{5}{9}(5x-10)$ cm,因为头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2,所以头部高为x cm,尾部高为2x cm,所以这只风筝的骨架的总高为4x cm,由AD=AB+BC+CD,可得$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$,解得x=20.所以4x=80.
答:这只风筝的骨架的总高为80 cm.
答:这只风筝的骨架的总高为80 cm.
解析
【分析】
解题时首先找到题干中所有量的关联核心：胸腹高，因此设胸腹高为未知数x，可将膀条长、门条长、AB、CD、BC的长度均用含x的式子表示；再根据门条由AB、BC、CD三段拼接得到，找到列方程的等量关系，求解得到x的值；最后结合头部高、胸腹高、尾部高的比例，计算出骨架总高即可。
【解析】
设胸腹高为$x\ \mathrm{cm}$。
由题意得：单根膀条长为$5x\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=x\ \mathrm{cm}$，门条的长度为$(5x-10)\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{5}{9}(5x-10)\ \mathrm{cm}$。
因为头部高:胸腹高:尾部高$=1:1:2$，所以头部高为$x\ \mathrm{cm}$，尾部高为$2x\ \mathrm{cm}$，骨架总高为$x+x+2x=4x\ \mathrm{cm}$。
根据门条的分段和关系$AD=AB+BC+CD$，列方程：
$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$
两边同乘9消分母得：$9(5x-10)=9x+5(5x-10)+9x$
展开合并得：$45x-90=43x-50$
移项计算得：$2x=40$，解得$x=20$。
所以总高$4x=4×20=80\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{80\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元一次方程的应用，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题以国家级非物质文化遗产北京风筝制作为命题背景，兼具趣味性和文化性，重点考查学生提取题干信息、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的核心是找准门条分段求和的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先找到题干中所有量的关联核心：胸腹高，因此设胸腹高为未知数x，可将膀条长、门条长、AB、CD、BC的长度均用含x的式子表示；再根据门条由AB、BC、CD三段拼接得到，找到列方程的等量关系，求解得到x的值；最后结合头部高、胸腹高、尾部高的比例，计算出骨架总高即可。
【解析】
设胸腹高为$x\ \mathrm{cm}$。
由题意得：单根膀条长为$5x\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=x\ \mathrm{cm}$，门条的长度为$(5x-10)\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{5}{9}(5x-10)\ \mathrm{cm}$。
因为头部高:胸腹高:尾部高$=1:1:2$，所以头部高为$x\ \mathrm{cm}$，尾部高为$2x\ \mathrm{cm}$，骨架总高为$x+x+2x=4x\ \mathrm{cm}$。
根据门条的分段和关系$AD=AB+BC+CD$，列方程：
$5x-10=x+\frac{5}{9}(5x-10)+x$
两边同乘9消分母得：$9(5x-10)=9x+5(5x-10)+9x$
展开合并得：$45x-90=43x-50$
移项计算得：$2x=40$，解得$x=20$。
所以总高$4x=4×20=80\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{80\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元一次方程的应用，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题以国家级非物质文化遗产北京风筝制作为命题背景，兼具趣味性和文化性，重点考查学生提取题干信息、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的核心是找准门条分段求和的等量关系。
【难度系数】
0.7
8.「2025湖南长沙中考」衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题：如果 $ a+b=-c $，那么 $ 2=1 $.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 $ a+b=-c $；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有 $ a=2a-a, b=2b-b, c=2c-c $；②
第三步：把②代入①，可得 $ (2a-a)+(2b-b)=-(2c-c) $；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得 $ 2(a+b+c)=a+b+c $；④
第五步：把④两边同时除以 $ (a+b+c) $，得 $ 2=1 $.⑤
请你判断上述推理过程中，第
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题：如果 $ a+b=-c $，那么 $ 2=1 $.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 $ a+b=-c $；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有 $ a=2a-a, b=2b-b, c=2c-c $；②
第三步：把②代入①，可得 $ (2a-a)+(2b-b)=-(2c-c) $；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得 $ 2(a+b+c)=a+b+c $；④
第五步：把④两边同时除以 $ (a+b+c) $，得 $ 2=1 $.⑤
请你判断上述推理过程中，第
五
步是错误的，它违背了数学的基本法则.答案
8.答案 五
解析 等式两边除以同一个不为0的数,结果仍相等.
对于等式$2(a+b+c)=a+b+c$,
当$a+b+c=0$时,该等式成立;
当$a+b+c≠0$时,两边同时除以$(a+b+c)$,得$2=1$.
因为$a+b=-c$,所以$a+b+c=0$,
所以第五步是错误的.
解析 等式两边除以同一个不为0的数,结果仍相等.
对于等式$2(a+b+c)=a+b+c$,
当$a+b+c=0$时,该等式成立;
当$a+b+c≠0$时,两边同时除以$(a+b+c)$,得$2=1$.
因为$a+b=-c$,所以$a+b+c=0$,
所以第五步是错误的.
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质：等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0，等式才仍然成立。首先从已知条件$a+b=-c$出发，可推导出$a+b+c=0$，再逐行核对推理步骤：前四步都是整式的恒等变形，没有问题，到第五步时，两边同时除以$a+b+c$，此时这个式子的值为0，0不能作为除数，因此可判断第五步错误。
【解析】
根据等式的基本性质：等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等。
由已知条件$a+b=-c$，移项可得$a+b+c=0$。
对于第四步得到的等式$2(a+b+c)=a+b+c$，因为$a+b+c=0$，此时等式两边不能同时除以$a+b+c$（0不能作除数），因此第五步的推理违背了数学基本法则，是错误的。
【答案】
五
【知识点】
等式的基本性质，0不能作除数
【点评】
本题结合趣味命题推理考查等式性质的易错点，提醒我们在运用等式性质对等式两边同乘或同除一个数时，必须先确认这个数不为0，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等式的基本性质：等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0，等式才仍然成立。首先从已知条件$a+b=-c$出发，可推导出$a+b+c=0$，再逐行核对推理步骤：前四步都是整式的恒等变形，没有问题，到第五步时，两边同时除以$a+b+c$，此时这个式子的值为0，0不能作为除数，因此可判断第五步错误。
【解析】
根据等式的基本性质：等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等。
由已知条件$a+b=-c$，移项可得$a+b+c=0$。
对于第四步得到的等式$2(a+b+c)=a+b+c$，因为$a+b+c=0$，此时等式两边不能同时除以$a+b+c$（0不能作除数），因此第五步的推理违背了数学基本法则，是错误的。
【答案】
五
【知识点】
等式的基本性质，0不能作除数
【点评】
本题结合趣味命题推理考查等式性质的易错点，提醒我们在运用等式性质对等式两边同乘或同除一个数时，必须先确认这个数不为0，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.7
9.「2025宁夏中考」定义:若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字,则这个三位数叫作“极差数”.例如,三位数231,因为3-1=2,所以它是“极差数”.
【理解定义】
三位数265是不是“极差数”?
【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a, b, c,则a与b, c的关系式为
(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么?
【理解定义】
三位数265是不是“极差数”?
不是
.【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a, b, c,则a与b, c的关系式为
$a=b-c$
.(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么?
答案
9.解析 【理解定义】不是.
【建模推理】
(1)$a=b-c$.
(2)任意一个“极差数”都能被11整除.
证明:设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,
则$a=b-c$,
所以$100a+10b+c=100b-100c+10b+c$
$=110b-99c=11(10b-9c)$,
所以$100a+10b+c$能被11整除,
所以任意一个“极差数”都能被11整除.
【建模推理】
(1)$a=b-c$.
(2)任意一个“极差数”都能被11整除.
证明:设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,
则$a=b-c$,
所以$100a+10b+c=100b-100c+10b+c$
$=110b-99c=11(10b-9c)$,
所以$100a+10b+c$能被11整除,
所以任意一个“极差数”都能被11整除.
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“极差数”的定义：三位数的十位数字减去个位数字的差等于百位数字。1. 判断265是否为极差数：先提取265的数位数字，百位是2，十位是6，个位是5，计算十位减个位的差为6-5=1，和百位数字2不相等，因此不是极差数。2. 建模推理(1)直接对应定义，百位数字a等于十位数字b减个位数字c，直接写出关系式即可。3. 第二问判断能否被11整除，首先回忆三位数的表示方法为100×百位数字+10×十位数字+个位数字，再将a=b-c代入表达式，合并同类项后提取公因式，若表达式可写成11乘整数的形式，即可证明能被11整除。
【解析】
【理解定义】
三位数265的十位数字是6，个位数字是5，十位减个位的差为6-5=1，不等于百位数字2，因此265不是“极差数”。
【建模推理】
(1)根据“极差数”的定义，十位数字减个位数字等于百位数字，因此$a = b - c$。
(2)任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义得$a = b - c$。
这个三位数可以表示为$100a + 10b + c$，将$a = b - c$代入得：
$\begin{aligned}100a + 10b + c &= 100(b - c) + 10b + c \\&= 100b - 100c + 10b + c \\&= 110b - 99c \\&= 11(10b - 9c)\end{aligned}$
因为b、c都是整数，所以$10b - 9c$是整数，因此$100a + 10b + c$是11的倍数，即任意一个“极差数”都能被11整除。
【答案】
【理解定义】不是；(1)$a=b-c$；(2)任意一个“极差数”都能被11整除，理由见解析。
【知识点】
新定义问题，整式的加减运算，数的整除判定
【点评】
本题以新定义“极差数”为载体，考查了整式化简和数的整除性的验证，解题的关键是正确理解新定义规则，熟练掌握三位数的表示方法，通过代换因式分解即可得出结论，侧重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解“极差数”的定义：三位数的十位数字减去个位数字的差等于百位数字。1. 判断265是否为极差数：先提取265的数位数字，百位是2，十位是6，个位是5，计算十位减个位的差为6-5=1，和百位数字2不相等，因此不是极差数。2. 建模推理(1)直接对应定义，百位数字a等于十位数字b减个位数字c，直接写出关系式即可。3. 第二问判断能否被11整除，首先回忆三位数的表示方法为100×百位数字+10×十位数字+个位数字，再将a=b-c代入表达式，合并同类项后提取公因式，若表达式可写成11乘整数的形式，即可证明能被11整除。
【解析】
【理解定义】
三位数265的十位数字是6，个位数字是5，十位减个位的差为6-5=1，不等于百位数字2，因此265不是“极差数”。
【建模推理】
(1)根据“极差数”的定义，十位数字减个位数字等于百位数字，因此$a = b - c$。
(2)任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义得$a = b - c$。
这个三位数可以表示为$100a + 10b + c$，将$a = b - c$代入得：
$\begin{aligned}100a + 10b + c &= 100(b - c) + 10b + c \\&= 100b - 100c + 10b + c \\&= 110b - 99c \\&= 11(10b - 9c)\end{aligned}$
因为b、c都是整数，所以$10b - 9c$是整数，因此$100a + 10b + c$是11的倍数，即任意一个“极差数”都能被11整除。
【答案】
【理解定义】不是；(1)$a=b-c$；(2)任意一个“极差数”都能被11整除，理由见解析。
【知识点】
新定义问题，整式的加减运算，数的整除判定
【点评】
本题以新定义“极差数”为载体，考查了整式化简和数的整除性的验证，解题的关键是正确理解新定义规则，熟练掌握三位数的表示方法，通过代换因式分解即可得出结论，侧重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
