1.[2025达州]如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，下列结论：①$abc＜0$；②$4a+b=0$；③$b^2-4ac＞0$；④$a-b+c＞0$。正确的个数为（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.D 【点拨】
∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0,c＞0.
∵抛物线与x轴交于点A(1,0),点B(3,0)，
当x=-1时 y＞0,
∴抛物线的对称轴是直线x=2,b²-
4ac＞0,a-b+c＞0,故结论③④正确;
∴$-\dfrac{b}{2a}=2$,即b=
-4a＜0,
∴b+4a=0,故结论②正确;
∴abc＜0,故结论①正
确;综上,说法正确的有4个.故选D.

2.如图，直线$y_1=kx$与抛物线$y_2=ax^2+bx+c$交于A，B两点，则$y=ax^2+(b-k)x+c$的图象可能是（）

2.B

3. [2025济南]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，$a≠0)$图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0),(0,m)$两点，$3＜m＜4.$有下列结论：
①关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c-n+1=0(a≠0)$有两个不相等的实数根；
②当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
③$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$；
④$4a-2b+c＞0$；
⑤对于任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0.$
以上结论正确的有（）

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

3.A 【点拨】
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，
$a≠0)$图象的顶点坐标是$(-1,n)$,且经过$(1,0),(0,m)$两点，
∴抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-1.∴a＜0$,抛物线与
x轴的交点为$(1,0)$和$(-3,0)$,图象如图所
示,令$y=n-1$,即把$y=n$向下平移一个单
位长度,再结合函数图象可知$ax^2+bx+$
$c=n-1(a≠0)$有两个不相等的实数根,故
关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c-n+$
$1=0(a≠0)$有两个不相等的实数根.故①正确;
∵抛物线开
口向下,对称轴为直线$x=-1$,
∴当$x＞-1$时,y的值随x
值的增大而减小.故②正确;
∵抛物线与x轴的交点为$(1,0)$
和$(-3,0)$,
∴二次函数为$y=a(x-1)(x+3)=a(x^2+2x-$
$3)=ax^2+2ax-3a.∴m=-3a.∵3＜m＜4,∴3＜-3a＜4$,
解得$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$.故③正确;结合函数图象可知,当$x=$
$-2$时,$y=4a-2b+c＞0$.故④正确;
∵$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$,
∴$b=2a.∴(t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)=(t+$
$1)(at+a)=a(t+1)(t+1)=a(t+1)^2.∵a＜0,(t+1)^2≥0$,
∴$a(t+1)^2≤0$,即对于任意实数t,$(t+1)(at-a+b)≤0$.故
⑤正确.综上,①②③④⑤正确,故选A.

4. 二次函数$y=ax^2+bx+a(a＜0)$的图象与$y$轴交于点$A$，将点$A$向右平移4个单位长度得到点$B$，点$B$在二次函数$y=ax^2+bx+a(a＜0)$的图象上.
(1)求点$B$的坐标(用含$a$的代数式表示)；
(2)求二次函数图象的对称轴；
(3)已知点$(m-1,y_1),(m,y_2),(m+2,y_3)$在二次函数$y=ax^2+bx+a(a＜0)$的图象上，若$0＜m＜1$，比较$y_1,y_2,y_3$的大小，并说明理由.

4.【解】(1)令$x=0$,得$y=a·0^2+b·0+a=a$.
∴点A的坐标为$(0,a)$.
∵将点A向右平移4个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为$(4,a)$.
(2)
∵点A的坐标为$(0,a)$,点B的坐标为$(4,a)$，
点A,B都在二次函数$y=ax^2+bx+a(a＜0)$的图象上，
∴A,B两点关于二次函数图象的对称轴对称.
∴对称轴为直线$x=2$.
(3)$y_3＞y_2＞y_1$.
理由:$\because 0＜m＜1,\therefore -1＜m-1＜0,2＜m+2＜3$.
∵二次函数$y=ax^2+bx+a(a＜0)$的图象的对称轴是直线
$x=2$,
∴点$(m-1,y_1),(m,y_2)$在对称轴的左侧,点$(m+2,y_3)$在
对称轴的右侧.
$\because 0＜m＜1,-1＜m-1＜0,2＜m+2＜3$.
$\therefore 2＜2-(m-1)＜3,1＜2-m＜2,0＜m+2-2＜1$.
$\because a＜0,\therefore y_3＞y_2＞y_1$.