9. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$与量角器的直径恰好重合，$B$点与0刻度线的一端重合，$∠ ABC=40°$，射线$CD$绕点$C$转动，与量角器外沿交于点$D$，若射线$CD$将$△ ABC$分割出以$BC$为边的等腰三角形，则点$D$在量角器上对应的度数是（）

A.$40°$
B.$70°$
C.$70°$或$80°$
D.$80°$或$140°$
（第9题）

9. D 解析:连接 DO,点 D 在量角器上对应的度数即为$∠ DOE$ 的度数.$∠ DOB=2∠ BCD.\because ∠ ABC=40°;$ 若 BC 为等腰三角形的底边时, $∠ BCD=40°$, 若 BC 为等腰三角形的腰时, $∠ BCD=(180°-40°)÷2=70°,\therefore$ 点 D 在量角器上对应的度数是 $∠ DOB=2∠ BCD=80°$或$140°.$

10.（咸宁中考）如图，已知$\odot O$的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是$∠ AOB$，$∠ COD$，若$∠ AOB$与$∠ COD$互补，弦$CD=6$，则弦AB的长为（）

A.6
B.8
C.$5\sqrt{2}$
D.$5\sqrt{3}$

10. B 解析:延长 AO 交$\odot O$ 于点 E,连接 BE,则$∠ AOB+∠ BOE=180°.$又$∠ AOB+∠ COD=180°,\therefore ∠ BOE=∠ COD,$ $\therefore BE=CD=6.\because AE$ 为$\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AB= \sqrt{AE^2-BE^2} = \sqrt{10^2-6^2} = 8.$故选 B.

11. 圆被弦所分成的两条弧长之比为2：7，这条弦所对的圆周角的度数为.

11. 40°或140°

12. 改编题 如图，A,B,C,D为$\odot O$上的点，$∠ ACB=90°$，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D.若$AC=6$，$BD=5\sqrt{2}$，则BC的长为.

12. 8 解析:连接 AD.
∵ $∠ ACB=90°,\therefore AB$ 是$\odot O$ 的直径.
∵ $∠ ACB$的平分线交$\odot O$ 于点 D, $\therefore ∠ ACD = ∠ BCD = 45°,\therefore AD = BD = 5\sqrt{2}.\because AB$ 是$\odot O$ 的直径, $∠ BAD = ∠ DCB=45°,\therefore △ ABD$ 是等腰直角三角形, $\therefore AB = \sqrt{AD^2+BD^2} = 10,\therefore BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = 8.$

13. (贺州中考改编)如图,在$\odot O$中,AB是$\odot O$的直径,$AB=10,\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$,点E是点D关于AB的对称点,M是AB上的一动点,下列结论:①$∠ BOE = 60°$;②$∠ CED = \frac{1}{2}∠ DOB$;③$DM ⊥ CE$;④$CM+DM$的最小值是10.上述结论中正确的是.(填序号)

13. ①②④ 解析:
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},$点 E 是点 D 关于 AB 的对称点,$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE},∠ DOB = ∠ BOE = ∠ COD = 60°,\therefore$ ①正确.$∠ CED = \frac{1}{2}∠ COD = 30° = \frac{1}{2}∠ DOB,\therefore$ ②正确.连接 AD.
∵ $∠ EOB=60°,\therefore ∠ AOE=120°,\therefore ∠ ADE=60°.$ $\because ∠ CED=30°,\therefore$ 只有 M 和 A 重合时, $∠ MDE=60°,$此时 $DM ⊥ CE,\therefore$ ③错误.连接 EM,
∵ 点 E 是点 D 关于 AB 的对称点, $\therefore CM+DM = CM+EM,$ 易知当 M 与 O 重合时, $CM+DM$ 有最小值,即为直径 10,
∴ ④正确.

14. (宜昌中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使$EF=AE$,连接FB,FC.
(1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若$AD=7$,$BE=2$,求半圆和菱形ABFC的面积.

14. (1)
∵ AB 是直径, $\therefore ∠ AEB=90°,\therefore AE ⊥ BC.\because AB=AC,$ $\therefore BE=CE.$又
∵ $AE=EF,\therefore$ 四边形 ABFC 是平行四边形.又
∵ $AC=AB,\therefore$ 四边形 ABFC 是菱形.
(2)设 $CD=x.$ 连接 BD.
∵ AB 是直径, $\therefore ∠ ADB = ∠ BDC = 90°,\therefore AB^2-AD^2 = CB^2-CD^2,\therefore (7+x)^2-7^2 = 4^2-x^2,$ 解得 $x=1$ 或 $x=-8$(舍去).$\therefore AC=AB=8,BD=\sqrt{8^2-7^2}=\sqrt{15},$ $\therefore S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2} · π · 4^2=8π,S_{\mathrm{菱形}ABFC}=8×\sqrt{15}=8\sqrt{15}.$

15. 教材变式 改编题 定义:我们把顶点在圆外,两边与圆相交的角叫作圆外角(如图①),顶点在圆内,两边与圆相交的角叫作圆内角(如图②).
(1)若$∠ AOC = m°$, $∠ BOD = n°$,则圆外角$∠ APC =$ $°$,圆内角$∠ APC =$ $°$;(用含$m,n$的代数式表示)

(2)如图③,$AB,CD$是$\odot O$的两条互相垂直的直径,点$P$从点$O$出发,沿$O→C→B→O$的路线匀速运动,设$∠ APD = y$(单位:度),那么$y$与点$P$运动的时间$x$(单位:秒)的关系图是.

15. (1)$\frac{1}{2}(m-n)$ $\frac{1}{2}(m+n)$ 解析:如图①,连接 OA,OB, OC,OD,BC.
∵ $∠ AOC=m°,∠ BOD=n°,\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2} m°,$ $∠ BCD=\frac{1}{2} n°,\therefore ∠ APC=∠ ABC-∠ BCD=\frac{1}{2}(m-n)°.$ 如图②,连接 OA,OB,OC,OD,BC.
∵ $∠ AOC=m°, ∠ BOD = n°,\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2} m°, ∠ BCD=\frac{1}{2} n°,\therefore ∠ APC = ∠ ABC+ ∠ BCD=\frac{1}{2}(m+n)°.$
(2)B 解析:当点 P 沿 $O→C$ 运动时,当点 P 在点 O 的位置时,$y=90°,$当点 P 在点 C 的位置时,
∵ $OA=OC,\therefore y= 45°,\therefore y$ 由 $90°$ 逐渐减小到 $45°$;当点 P 沿 $C→B$ 运动时,根据圆周角定理,可得 $y=45°,$不变;当点 P 沿 $B→O$ 运动时,$y$ 由 $45°$ 逐渐增加到 $90°.$
归纳总结 (1)同弧或等弧所对的圆外角＜圆周角＜圆内角,这个规律常应用于圆中最大张角(视角)问题(见隐圆专题).
(2)因为同圆中,圆心角与弧一一对应,所以我们可以用弧表示圆心角(弧度制),也可以用圆心角表示弧(弧的度数是弧所对应的圆心角的度数).如图①,圆内角$∠ BCA = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BA});$如图②,圆外角$∠ BCA = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{BA}-\overset{\frown}{GE}).$
(3)圆外角计算公式的严格证明,其实应该分情况证明(如图,以两边与圆的公共点的个数为分类标准).