9.已知抛物线$y=ax^2+4ax+4a+1(a≠0)$过点$A(m,3),B(n,3)$(点A在点B左侧),若线段AB的长不大于4,则代数式$a^2+a+1$的最小值是.

9.$\frac{7}{4}$

10.已知抛物线$y=ax^2-3x+1$上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，其对称轴是直线$x=x_0$，若$|x_1-x_0|＞|x_2-x_0|$时，总有$y_1＞y_2$，同一平面直角坐标系中有$M(-1,-2),N(3,2)$，且抛物线$y=ax^2-3x+1$与线段$MN$有两个不相同的交点，则$a$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$。

10.$\frac{10}{9}≤ a＜2$

三、解答题
11.(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并解答相关问题.

(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少?

11.解:(1)设A型客车每辆载客量为x人,则B型客车每辆载客量为(x-15)人,
根据题意,得$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-15}$,解得$x=60$,
经检验,$x=60$是所列方程的解,且符合题意,
$\therefore x-15=60-15=45$.
答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人.
(2)设租用A型客车m辆,则租用B型客车(10-m)辆,
根据题意,得$60m+45(10-m)≥530$,解得$m≥\frac{16}{3}$.
设本次研学活动学校的租车总费用为w元,
则$w=(3200-50m)m+3000×0.8(10-m)=-50m^2+800m+24000$,
$\because$抛物线的对称轴为直线$m=-\frac{800}{2×(-50)}=8$,
$\therefore m≤8$时,w随着m的增大而增大.
$\because m$取正整数,且$m≥\frac{16}{3}$,
$\therefore$当$m=6$时,w取得最小值,最小值为$-50×6^2+800×6+24000=27000$(元).
答:本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.

12.(2025·启东模拟)已知关于$x$的二次函数$y_1=x^2+bx+c$(实数$b,c$为常数).
(1)若二次函数的图象经过点$(0,4)$,对称轴为直线$x=1$,求此二次函数的解析式;
(2)若$b^2 - c=0$,当$b-3≤ x≤ b$时,二次函数的最小值为21,求$b$的值;
(3)记关于$x$的二次函数$y_2=2x^2+x+m$,若在(1)的条件下,当$0≤ x≤1$时,总有$y_2≥ y_1$,求实数$m$的最小值.

12.解:(1)$\because$二次函数的图象经过点$(0,4)$,$\therefore c=4$.
$\because$对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=1$,$\therefore b=-2$,
$\therefore$此二次函数的解析式为$y_1=x^2-2x+4$.
(2)当$b^2-c=0$时,$b^2=c$,
此时函数的解析式为$y_1=x^2+bx+b^2$,
根据题意可知,需要分三种情况:
①当$b＜-\frac{b}{2}$,即$b＜0$时,二次函数的最小值在$x=b$处取到,
$\therefore b^2+b^2+b^2=21$,解得$b_1=-\sqrt{7}$,$b_2=\sqrt{7}$(舍去);
②$b-3＞-\frac{b}{2}$,即$b＞2$时,二次函数的最小值在$x=b-3$处取到,
$\therefore (b-3)^2+b(b-3)+b^2=21$,
解得$b_3=4$,$b_4=-1$(舍去);
③$b-3≤-\frac{b}{2}≤ b$,即$0≤ b≤2$时,二次函数的最小值在$x=-\frac{b}{2}$处取到,$\therefore (-\frac{b}{2})^2 +b· (-\frac{b}{2})+b^2=21$,
解得$b=\pm2\sqrt{7}$(舍去).
综上所述,$b$的值为$-\sqrt{7}$或4.
(3)由(1)知,$y_1=x^2-2x+4$,
设函数$y_3=y_2-y_1=x^2+3x+m-4$,
对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}＜0$,
$\therefore$当$0≤ x≤1$时,$y_3$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=0$时,$y_3$即$y_2-y_1$有最小值$m-4$,
$\therefore m-4≥0$,$\therefore m≥4$,即$m$的最小值为4.