1.(2025·南通)在平面直角坐标系$xOy$中，将点$A(3,1)$绕原点$O$逆时针旋转$90°$，得到点$B$，则点$B$的坐标为（）

A.$(3,-1)$
B.$(-1,3)$
C.$(1,-3)$
D.$(-3,1)$

1.B

2. 如图,在平面直角坐标系中,△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M₁N₁P₁,若M(1,-2),则点M₁的坐标为 ()

A.(-2,-1)
B.(1,2)
C.(2,1)
D.(-1,-2)

2.C

3.若点A(2,1),B(-3,7),则点A关于点B的对称点A'的坐标是.

3.(-8,13)

4.如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转$30°$至正方形$AB'C'D'$的位置,$B'C'$与CD相交于点M,则点M的坐标为.

4.$(-1,\frac{\sqrt{3}}{3})$

5.(2025·如皋期末)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB₂C₂,请画出△AB₂C₂;
(3)若(2)中的△AB₂C₂是由(1)中的△A₁B₁C₁绕点M旋转得到的(点A₁,B₁的对应点分别是A,B₂),则点M的坐标为.

5.(1)解:如答图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)解:如答图,△AB₂C₂即为所求.
(3)(-3,1)
第5题答图

6. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(2,0)，点B(0,2)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO'，点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α.
(1)如图①，当点O'落在边AB上时，求点O'的坐标；
(2)如图②，当α=60°时，求AA'的长及点A'的坐标.

6.解:(1)
∵点A(2,0),点B(0,2),
∴OA=OB=2,△ABO是等腰直角三角形,
∴AB=2√2,
当点O'落在边AB上时,α=45°,
∴点O'的横坐标为$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$,纵坐标为$2-\sqrt{2}$,
∴点O'的坐标为($\sqrt{2}$,$2-\sqrt{2}$).
(2)如答图,连接OA'交AB于点M
当α=60°时,∠ABA'=60°,AB=A'B,
∴△ABA'为等边三角形,
∴AA'=A'B=AB=2√2.
第6题答图
在△OBA'和△OAA'中,$\begin{cases} OB=OA, \\ OA'=OA', \\ A'B=A'A, \end{cases}$
∴△OBA'≌△OAA'(SSS),
∴∠BOA'=∠AOA',∠BA'O=∠AA'O,
∴直线OA'的函数解析式为y=x,
∴OA'⊥AB,
∴2√2 OM=2×2,
∴OM=√2,A'M=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=√6,
∴OA'=OM+A'M=√2+√6,
∴点A'的坐标为(1+√3,1+√3).