二、拓展性作业
9. 定义:两组邻边分别相等的四边形叫作筝形。如图1-1-7,在四边形ABCD中,AD=AB,BC=DC,则四边形ABCD是筝形,记作筝形ABCD。连接AC,BD,两线段相交于点O。
(1)判断AC和BD的位置关系,并说明理由；
(2)若AC=6,BD=4,求筝形ABCD的面积。

图1-1-7

9. 解:(1)AC 和 BD 的位置关系是$AC⊥ BD$。理由如下：
$\because AD=AB,\therefore$ 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上。
$\because BC=DC,\therefore$ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，
$\therefore AC$ 是线段 BD 的垂直平分线,$\therefore AC⊥ BD$。
(2)$\because AC⊥ BD$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· OA,S_{△ CBD}=\frac{1}{2}BD· OC$，
$\begin{aligned}\therefore S_{\mathrm{筝形}ABCD}&=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}=\frac{1}{2}BD·(OA+OC)\\&=\frac{1}{2}BD· AC。\end{aligned}$
$\because AC=6,BD=4,\therefore S_{\mathrm{筝形}ABCD}=\frac{1}{2}×4×6=12$。

【分析】
(1)要判断AC与BD的位置关系，可结合线段垂直平分线的判定定理思考：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。已知AD=AB，可得点A在BD的垂直平分线上；BC=DC，可得点C也在BD的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可知AC是BD的垂直平分线，即可推出二者的位置关系。
(2)求筝形面积时，可利用割补法，将筝形拆分为$△ ABD$和$△ CBD$两个三角形，结合第一问得出的$AC⊥BD$的结论，两个三角形均以BD为底，高分别为OA和OC，$OA+OC=AC$，代入三角形面积公式整理后，代入已知数值即可计算出总面积。
【解析】
(1)AC 和 BD 的位置关系是$AC⊥ BD$。理由如下：
$\because AD=AB,\therefore$ 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上。
$\because BC=DC,\therefore$ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，
$\therefore AC$ 是线段 BD 的垂直平分线,$\therefore AC⊥ BD$。
(2)$\because AC⊥ BD$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· OA,S_{△ CBD}=\frac{1}{2}BD· OC$，
$\begin{aligned}\therefore S_{\mathrm{筝形}ABCD}&=S_{△ ABD}+S_{△ CBD}=\frac{1}{2}BD·(OA+OC)\\&=\frac{1}{2}BD· AC。\end{aligned}$
$\because AC=6,BD=4,\therefore S_{\mathrm{筝形}ABCD}=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
(1)$AC⊥BD$；(2)$12$
【知识点】
线段垂直平分线的判定，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题结合新定义“筝形”考查几何基础知识的应用，解题核心是利用垂直平分线的判定证明对角线垂直，再通过割补法推导对角线垂直的四边形的面积公式，能较好地考查对新定义的理解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7

10. 定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫作“等对角四边形”。
(1)已知:如图1-1-8①,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=75°,∠B=80°,求∠C,∠D的度数。
(2)继续探究“等对角四边形”的性质:
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图1-1-8②),其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立。请你证明此结论。
②由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”。你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例。

图1-1-8

10. (1)解:$\because$ 四边形 ABCD 是“等对角四边形”,$∠ A≠∠ C$,
$\therefore ∠ D=∠ B=80°$。
$\because ∠ A=75°$,
$\therefore ∠ C=360°-∠ A-∠ B-∠ D=360°-75°-80°-80°=125°$。
$\therefore ∠ C,∠ D$ 的度数分别为 $125°,80°$。
(2)①证明:如,连接 BD，
$\because AB=AD,\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$,
$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ ADC-∠ ADB$,
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB$,
$\therefore CB=CD$。
②解:她的猜想不正确。
反例:如,四边形 ABCD 是“等对角四边形”,
$∠ BAD=105°,∠ B=∠ D=90°$,
$AB=CB$,连接 AC，
则$∠ BAC=∠ BCA=45°$,
$\therefore ∠ DAC=∠ BAD-∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ ACD=90°-∠ DAC=30°$,
$\therefore AC=2AD$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2AD)^2-AD^2}=\sqrt{3}AD$,
$\therefore CD≠ AD$,
$\therefore$ 对于任意“等对角四边形”,当一组邻边相等时,而另一组邻边不一定相等，
$\therefore$ 她的猜想不正确。(反例不唯一)

【分析】
(1) 首先紧扣“等对角四边形”的定义：有一组对角相等，另一组对角不相等。已知∠A≠∠C，因此相等的对角只能是∠B和∠D，先确定∠D的度数，再利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可计算出∠C的度数。
(2) ①要证明CB=CD，可通过“等角对等边”证明：连接辅助线BD，由AB=AD可得等腰△ABD的两个底角相等，再结合已知∠ABC=∠ADC，将两个等式作差就能得到∠CBD=∠CDB，进而推出CB=CD。
②判断猜想是否正确，只需构造一个不符合结论的反例即可：构造满足“等对角四边形”定义、有一组邻边相等但另一组邻边不相等的图形，即可证明猜想错误。
【解析】
(1) $\because$ 四边形ABCD是“等对角四边形”，$∠ A≠∠ C$，
$\therefore ∠ D=∠ B=80°$。
$\because$ 四边形内角和为$360°$，$∠ A=75°$，
$\therefore ∠ C=360°-∠ A-∠ B-∠ D=360°-75°-80°-80°=125°$。
(2) ①证明：如，连接BD，
$\because AB=AD,\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，
$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ ADC-∠ ADB$，即$∠ CBD=∠ CDB$，
$\therefore CB=CD$。
②解：她的猜想不正确。
反例：如，四边形ABCD是“等对角四边形”，
$∠ BAD=105°,∠ B=∠ D=90°$，
$AB=CB$，连接AC，
则$∠ BAC=∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BAD-∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ ACD=90°-∠ DAC=30°$，
$\therefore AC=2AD$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2AD)^2-AD^2}=\sqrt{3}AD$，
$\therefore CD≠ AD$，
即该“等对角四边形”中一组邻边AB=CB，但另一组邻边AD≠CD，因此猜想不正确。(反例不唯一)
【答案】
(1) $∠C,∠D$的度数分别为$125°,80°$；
(2) ①$CB=CD$成立，证明见上述解析；②猜想不正确，反例见上述解析。
【知识点】
新定义理解，四边形内角和，等腰三角形判定与性质
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解“等对角四边形”的定义，再结合已学的几何知识解题，既考查基础知识的运用，也考查逻辑严谨性，举反例验证结论的题型要避免凭经验主观判断，需严格符合定义和条件。
【难度系数】
0.6