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1.「★☆☆」下列各式中，一定是二次根式的是 （
A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{a+3}$
D.$\sqrt[3]{5}$
B
）A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{a+3}$
D.$\sqrt[3]{5}$
答案
选项 A 中,-3＜0,无意义,不符合题意.选项 B 中,$\sqrt{7}$是二次根式,符合题意.选项 C 中,当 $a=-4$ 时,$a+3=-4+3=-1＜0$,无意义,不符合题意.选项 D 中,$\sqrt[3]{5}$的根指数是 3,不符合题意.故选 B.
2.「2026河南南阳月考，★☆」在$△ ABC$中，若$AC^2 + AB^2 = BC^2$，则（
A.$∠ A = 90°$
B.$∠ B = 90°$
C.$∠ C = 90°$
D.不能确定哪个角是直角
A
）A.$∠ A = 90°$
B.$∠ B = 90°$
C.$∠ C = 90°$
D.不能确定哪个角是直角
答案
$\because AC^2+AB^2 = BC^2$,
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且 $BC$ 为斜边,
$\because ∠ A$ 的对边是 $BC$,$\therefore ∠ A = 90°$.
故选 A.
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且 $BC$ 为斜边,
$\because ∠ A$ 的对边是 $BC$,$\therefore ∠ A = 90°$.
故选 A.
3.「2026广东梅州期末，★☆」下列式子的计算结果为$\sqrt{6}$的是（
A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}×\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}-2$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}×\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}-2$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{2}$
答案
$\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,故选项 A 不符合题意；
$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$,故选项 B 不符合题意；
$2\sqrt{6}$与-2不能合并,故选项 C 不符合题意；
$\sqrt{12}÷\sqrt{2}=\sqrt{6}$,故选项 D 符合题意.故选 D.
$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$,故选项 B 不符合题意；
$2\sqrt{6}$与-2不能合并,故选项 C 不符合题意；
$\sqrt{12}÷\sqrt{2}=\sqrt{6}$,故选项 D 符合题意.故选 D.
4.「2026广东佛山期末，★☆」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以$AC$，$AB$为边分别向外作正方形，它们的面积分别为$S_1$，$S_2$.若$BC=2$，则$S_2 - S_1$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
由题图可得 $S_1 = AC^2$,$S_2 = AB^2$,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理可得 $AB^2-AC^2=BC^2$,即 $S_2-S_1=BC^2=2^2=4$.故选 B.
5.「2026 四川巴中期末，★★☆」若$ x = \sqrt{2} - \sqrt{3}, y = \sqrt{2} + \sqrt{3} $，则代数式$ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} - 3 $的值是（
A.-11
B.11
C.13
D.-13
D
）A.-11
B.11
C.13
D.-13
答案
$\because x=\sqrt{2}-\sqrt{3},y=\sqrt{2}+\sqrt{3},\therefore x+y=\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}$,
$xy=(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2-3=-1,\therefore \frac{y}{x}+\frac{x}{y}-3=\frac{y^2+x^2}{xy}-3=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}-3=\frac{(2\sqrt{2})^2-2×(-1)}{-1}-3=\frac{8+2}{-1}-3=-10-3=-13$,故选 D.
$xy=(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2-3=-1,\therefore \frac{y}{x}+\frac{x}{y}-3=\frac{y^2+x^2}{xy}-3=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}-3=\frac{(2\sqrt{2})^2-2×(-1)}{-1}-3=\frac{8+2}{-1}-3=-10-3=-13$,故选 D.
6.「2026山西运城期末，★★☆」有这样一道题目:问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 (
A.7.5平方千米
B.75平方千米
C.1平方千米
D.750平方千米
A
)A.7.5平方千米
B.75平方千米
C.1平方千米
D.750平方千米
答案
因为 $5^2+12^2=13^2$,所以三角形沙田是直角三角形,且 5 和 12 为直角边长,因为 5 里$=5×500$ 米$=2\ 500$ 米$=2.5$ 千米,12 里$=12×500$ 米$=6\ 000$ 米$=6$ 千米,所以该沙田的面积为$\frac{1}{2}×2.5×6=7.5$ 平方千米.故选 A.
7.「★★☆」现在定义一种运算$*$，其规则为$a*b = a^2 - b^2$，根据此规则，如果$x$满足$(2x)*5 = -1$，那么$x$的值为（
A.$\sqrt{6}$
B.$-\sqrt{6}$
C.$\pm\sqrt{6}$
D.$-1\pm\sqrt{6}$
C
）A.$\sqrt{6}$
B.$-\sqrt{6}$
C.$\pm\sqrt{6}$
D.$-1\pm\sqrt{6}$
答案
由题意可知$(2x)*5=(2x)^2-5^2=-1$,即 $4x^2-25=-1$,解得 $x=\pm\sqrt{6}$,故选 C.
