9.(天津市中考)如图,在△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F.下列结论一定正确的是 ()

A.∠ACB=∠ACD
B.AC//DE
C.AB=EF
D.BF⊥CE

9.D

10.(分类讨论思想)如图,在菱形$ABCD$中,$AB=8$,$∠ ABC=60°$,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,将射线$AC$绕点$A$旋转$30°$,与菱形的边交于点$E$,则$BE$的长为.

10.$4或4\sqrt{7}$

11. 如图，四边形ABCD是正方形，F是BA延长线上一点，连接DF，△ADF绕点A顺时针旋转一定角度后得到△ABE，AF＝3，AB＝7.
(1)直接写出旋转角∠EAF的度数.
(2)求DE的长.
(3)求证：BE⊥DF.

11. (1)解:旋转角$∠EAF$的度数为$90°$. (2)解:$\because △ ADF$绕点A顺时针旋转一定角度后得到$△ ABE$,$\therefore AE=AF=3,AD=AB=7. \therefore DE=AD-AE=7-3=4.$ (3)证明:延长BE交DF于点H.$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ BAE=90°. \because △ ADF$绕点A顺时针旋转一定角度后得到$△ ABE$,$\therefore △ ABE ≌ △ ADF. \therefore ∠ ABE=∠ ADF.$ 又$\because ∠ BEA=∠ DEH, \therefore ∠ DHE=∠ BAE=90°. \therefore BE⊥ DF.$

12.(核心素养·几何直观)如图,在矩形ABCD中,点P在BC边上,连接PA,将PA绕点P顺时针旋转$90°$得到$PA'$,连接$CA'$.若$AD=9$,$AB=5$,$CA'=2\sqrt{2}$.
(1)过点$A'$作$A'H ⊥ BC$于点$H$,求证:$△ ABP ≌ △ PHA'$;
(2)求$BP$的长.

12. (1)证明:$\because$四边形ABCD为矩形,$\therefore BC=AD=9,∠ B=90°. \because$将PA绕点P顺时针旋转$90°$得到$PA'$,$\therefore PA=PA',∠ APA'=90°. \because ∠ PAB+∠ APB=90°,∠ APB+∠ A'PH = 90°, \therefore ∠ PAB = ∠ A'PH. \because A'H⊥ BC,\therefore ∠ PHA'=90°=∠ B.$ 在$△ ABP$和$△ PHA'$中,$\begin{cases}∠ B=∠ PHA',\\∠ PAB=∠ A'PH,\\PA=A'P,\end{cases}$$\therefore △ ABP≌ △ PHA'(\mathrm{AAS}).$ (2)解:$\because △ ABP≌ △ PHA',\therefore PB=A'H,PH=AB=5.$ 设$PB=x$,则$A'H=x,CH=9-x-5=4-x.$ 在$\mathrm{Rt}△ A'CH$中,$x^2+(4-x)^2=(2\sqrt{2})^2$,解得$x_1=x_2=2$,即BP的长为2.