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12.(洛阳市洛宁县期末)如图，长和宽分别是$a,b$的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为$x$的正方形.
(1)用含$a,b,x$的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当$a=20+2\sqrt{2},b=20-2\sqrt{2},x=\sqrt{2}$,求剩余部分的面积.
(1)用含$a,b,x$的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当$a=20+2\sqrt{2},b=20-2\sqrt{2},x=\sqrt{2}$,求剩余部分的面积.
答案
(1) 解:剩余部分的面积为:$ab-4x^2$；
(2) 把$a=20+2\sqrt{2},b=20-2\sqrt{2},x=\sqrt{2}$代入$ab-4x^2$得:$(20+2\sqrt{2})(20-2\sqrt{2})-4×(\sqrt{2})^2=20^2-(2\sqrt{2})^2-4×2=384.$
(2) 把$a=20+2\sqrt{2},b=20-2\sqrt{2},x=\sqrt{2}$代入$ab-4x^2$得:$(20+2\sqrt{2})(20-2\sqrt{2})-4×(\sqrt{2})^2=20^2-(2\sqrt{2})^2-4×2=384.$
解析
【分析】
（1）求剩余部分面积可采用“整体减部分”的思路：先计算原长方形的总面积，再减去4个被剪去的小正方形的总面积，即可得到剩余面积。（2）代入数值计算时，观察a、b的形式符合“两数和×两数差”的平方差公式结构，优先用平方差公式计算ab的值，再计算4x²的值，最后作差即可简化计算过程，避免复杂运算。
【解析】
（1）原长方形的面积为$ ab $，每个剪去的小正方形面积为$ x^2 $，4个小正方形总面积为$ 4x^2 $，因此剩余部分的面积为：$ ab - 4x^2 $。
（2）将$ a=20+2\sqrt{2},b=20-2\sqrt{2},x=\sqrt{2} $代入$ ab - 4x^2 $：
首先利用平方差公式计算$ ab $：
$ ab=(20+2\sqrt{2})(20-2\sqrt{2})=20^2 - (2\sqrt{2})^2=400 - 8=392 $
再计算$ 4x^2 $：
$ 4x^2=4×(\sqrt{2})^2=4×2=8 $
因此剩余面积为$ 392 - 8 = 384 $。
【答案】
(1)$\boldsymbol{ab-4x^2}$；(2)$\boldsymbol{384}$
【知识点】
列代数式；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，第一问通过面积的和差关系即可列出代数式，第二问灵活运用平方差公式能大幅降低计算量，减少出错概率，需要熟练掌握平方差公式的适用特征。
【难度系数】
0.8
（1）求剩余部分面积可采用“整体减部分”的思路：先计算原长方形的总面积，再减去4个被剪去的小正方形的总面积，即可得到剩余面积。（2）代入数值计算时，观察a、b的形式符合“两数和×两数差”的平方差公式结构，优先用平方差公式计算ab的值，再计算4x²的值，最后作差即可简化计算过程，避免复杂运算。
【解析】
（1）原长方形的面积为$ ab $，每个剪去的小正方形面积为$ x^2 $，4个小正方形总面积为$ 4x^2 $，因此剩余部分的面积为：$ ab - 4x^2 $。
（2）将$ a=20+2\sqrt{2},b=20-2\sqrt{2},x=\sqrt{2} $代入$ ab - 4x^2 $：
首先利用平方差公式计算$ ab $：
$ ab=(20+2\sqrt{2})(20-2\sqrt{2})=20^2 - (2\sqrt{2})^2=400 - 8=392 $
再计算$ 4x^2 $：
$ 4x^2=4×(\sqrt{2})^2=4×2=8 $
因此剩余面积为$ 392 - 8 = 384 $。
【答案】
(1)$\boldsymbol{ab-4x^2}$；(2)$\boldsymbol{384}$
【知识点】
列代数式；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，第一问通过面积的和差关系即可列出代数式，第二问灵活运用平方差公式能大幅降低计算量，减少出错概率，需要熟练掌握平方差公式的适用特征。
【难度系数】
0.8
13. 化简$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}$的结果是 （
A.$-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
B.$-\dfrac{b}{a}\sqrt{a}$
C.$-\dfrac{b}{|a|}\sqrt{-a}$
D.$\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
A
）A.$-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
B.$-\dfrac{b}{a}\sqrt{a}$
C.$-\dfrac{b}{|a|}\sqrt{-a}$
D.$\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
答案
13.A
解析
【分析】
首先要明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，据此先判断a的符号：原式被开方数为$-\dfrac{b^2}{a}$，因为$b^2≥0$恒成立，因此可推出$a＜0$。接下来化简时，先将根号内的分母化为完全平方的形式，利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}(x≥0,y＞0)$、$\sqrt{x^2}=|x|$进行变形，再结合a的符号去掉绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}$有意义，则被开方数满足：
$-\dfrac{b^2}{a}≥0$
$\because b^2≥0$恒成立，$\therefore -\dfrac{1}{a}≥0$，即$a＜0$。
对原式进行化简：
$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}=\sqrt{\dfrac{-b^2· a}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{b^2}·\sqrt{-a}}{\sqrt{a^2}}$
根据绝对值的性质，$\sqrt{b^2}=|b|$，$\sqrt{a^2}=|a|=-a$（因为$a＜0$），代入得：
$\dfrac{|b|\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
因此化简结果为选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题的核心易错点是忽略二次根式被开方数非负的隐含条件，未先判断a的符号就直接去根号，同时要注意二次根式开方结果的非负性，对含字母的项开方时要正确添加绝对值并根据已知条件去绝对值。
【难度系数】
0.6
首先要明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，据此先判断a的符号：原式被开方数为$-\dfrac{b^2}{a}$，因为$b^2≥0$恒成立，因此可推出$a＜0$。接下来化简时，先将根号内的分母化为完全平方的形式，利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}(x≥0,y＞0)$、$\sqrt{x^2}=|x|$进行变形，再结合a的符号去掉绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}$有意义，则被开方数满足：
$-\dfrac{b^2}{a}≥0$
$\because b^2≥0$恒成立，$\therefore -\dfrac{1}{a}≥0$，即$a＜0$。
对原式进行化简：
$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}=\sqrt{\dfrac{-b^2· a}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{b^2}·\sqrt{-a}}{\sqrt{a^2}}$
根据绝对值的性质，$\sqrt{b^2}=|b|$，$\sqrt{a^2}=|a|=-a$（因为$a＜0$），代入得：
$\dfrac{|b|\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
因此化简结果为选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题的核心易错点是忽略二次根式被开方数非负的隐含条件，未先判断a的符号就直接去根号，同时要注意二次根式开方结果的非负性，对含字母的项开方时要正确添加绝对值并根据已知条件去绝对值。
【难度系数】
0.6
14.(洛阳实验中学月考)若$\sqrt{12}+\sqrt{m}=n\sqrt{3}$($n$为整数),则$m$的值可以是 (
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$18$
C.$24$
D.$75$
D
)A.$\dfrac{1}{3}$
B.$18$
C.$24$
D.$75$
答案
14.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先，二次根式加减运算的本质是合并同类二次根式，只有被开方数相同的最简二次根式才能合并。先将已知的$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再结合等式右边为$n\sqrt{3}$（$n$为整数），可知$\sqrt{m}$化简后被开方数必须为3，且与$\sqrt{12}$合并后的系数为整数，最后逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
代入原式得：$2\sqrt{3}+\sqrt{m}=n\sqrt{3}$（$n$为整数），说明$\sqrt{m}$化简后是被开方数为3的最简二次根式，且与$2\sqrt{3}$合并后系数为整数。
逐一验证选项：
A. 当$m=\frac{1}{3}$时，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，此时$n=\frac{7}{3}$不是整数，不符合要求；
B. 当$m=18$时，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并为$n\sqrt{3}$的形式，不符合要求；
C. 当$m=24$时，$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并为$n\sqrt{3}$的形式，不符合要求；
D. 当$m=75$时，$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，则$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$，此时$n=7$是整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式；二次根式的加减
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，解题的关键是明确同类二次根式才能合并的规则，先将各二次根式化为最简形式再判断，解题时也可直接代入选项验证，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先，二次根式加减运算的本质是合并同类二次根式，只有被开方数相同的最简二次根式才能合并。先将已知的$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再结合等式右边为$n\sqrt{3}$（$n$为整数），可知$\sqrt{m}$化简后被开方数必须为3，且与$\sqrt{12}$合并后的系数为整数，最后逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
先化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
代入原式得：$2\sqrt{3}+\sqrt{m}=n\sqrt{3}$（$n$为整数），说明$\sqrt{m}$化简后是被开方数为3的最简二次根式，且与$2\sqrt{3}$合并后系数为整数。
逐一验证选项：
A. 当$m=\frac{1}{3}$时，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，此时$n=\frac{7}{3}$不是整数，不符合要求；
B. 当$m=18$时，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并为$n\sqrt{3}$的形式，不符合要求；
C. 当$m=24$时，$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并为$n\sqrt{3}$的形式，不符合要求；
D. 当$m=75$时，$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，则$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$，此时$n=7$是整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式；二次根式的加减
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，解题的关键是明确同类二次根式才能合并的规则，先将各二次根式化为最简形式再判断，解题时也可直接代入选项验证，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
15.(衡阳市期末)某学习兴趣小组通过查阅资料知道:摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期.它的计算公式是:$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$,其中$T$表示周期(单位:s),$l$表示摆线长(单位:m),$g=9.8m/s^2$,$π$是圆周率.($π$取3.14,摆线长精确到0.01m,周期精确到0.01s.参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{5}\approx2.24$)
【思考填空】
(1)通过上面的计算公式我们知道摆球的快慢只与摆线的长短有关,摆线越长,摆球的周期越
【实践与计算】
(2)如图,若一个摆钟的摆线长为0.49m,它每摆动一个周期发出一次“滴答”声,学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数,其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数,再对照是否一致.请你也计算该摆钟1分钟约发出多少次“滴答”声;(结果保留整数)
(3)摆钟内部的机械结构决定了它每来回摆动一次,记录的时间是一定的.如一个准确的摆钟的摆动周期为1s,即它每摆动一个周期发出一次“滴答”声,秒针就会走1格,显示的时间1s,求该摆钟的摆线长.
【思考填空】
(1)通过上面的计算公式我们知道摆球的快慢只与摆线的长短有关,摆线越长,摆球的周期越
长
(填“长”或“短”),摆得越慢
(填“快”或“慢”);【实践与计算】
(2)如图,若一个摆钟的摆线长为0.49m,它每摆动一个周期发出一次“滴答”声,学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数,其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数,再对照是否一致.请你也计算该摆钟1分钟约发出多少次“滴答”声;(结果保留整数)
(3)摆钟内部的机械结构决定了它每来回摆动一次,记录的时间是一定的.如一个准确的摆钟的摆动周期为1s,即它每摆动一个周期发出一次“滴答”声,秒针就会走1格,显示的时间1s,求该摆钟的摆线长.
答案
(1) 长 慢
(2) 解: 将$l=0.49\mathrm{m}$代入 $T=2π \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 中, 得 $T=2π\sqrt{\dfrac{0.49}{9.8}}=2π×\dfrac{\sqrt{5}}{10}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}π(\mathrm{s}),\therefore$ 该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为$\dfrac{60}{(\dfrac{\sqrt{5}}{5}π)}=60×\dfrac{5}{\sqrt{5}π}=\dfrac{60\sqrt{5}}{π}≈\dfrac{60×2.24}{3.14}≈42(\mathrm{次})$,答:该摆钟1分钟约发出42次“滴答”声；
(3) 令 $T=2π \sqrt{\dfrac{l}{g}}=1,$ 即 $2π \sqrt{\dfrac{l}{9.8}}=1,$解得 $l=\dfrac{9.8}{4π^2}≈\dfrac{9.8}{4×3.14^2}≈0.25(\mathrm{m}).$ 答:该摆钟的摆线长约为0.25m.
(2) 解: 将$l=0.49\mathrm{m}$代入 $T=2π \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 中, 得 $T=2π\sqrt{\dfrac{0.49}{9.8}}=2π×\dfrac{\sqrt{5}}{10}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}π(\mathrm{s}),\therefore$ 该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为$\dfrac{60}{(\dfrac{\sqrt{5}}{5}π)}=60×\dfrac{5}{\sqrt{5}π}=\dfrac{60\sqrt{5}}{π}≈\dfrac{60×2.24}{3.14}≈42(\mathrm{次})$,答:该摆钟1分钟约发出42次“滴答”声；
(3) 令 $T=2π \sqrt{\dfrac{l}{g}}=1,$ 即 $2π \sqrt{\dfrac{l}{9.8}}=1,$解得 $l=\dfrac{9.8}{4π^2}≈\dfrac{9.8}{4×3.14^2}≈0.25(\mathrm{m}).$ 答:该摆钟的摆线长约为0.25m.
解析
【分析】
(1) 观察周期公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$，其中g是固定值，因此周期T和摆线长l的算术平方根成正比，摆线越长，周期越大；周期越大意味着摆球来回摆动一次的时间越长，摆动速度就越慢。
(2) 要计算1分钟滴答声的次数，首先需代入已知的摆线长求出单次摆动的周期T，再用总时长60s除以单次周期T，即可得到摆动次数，注意结果按要求保留整数。
(3) 已知周期T=1s，将其代入周期公式得到关于l的方程，通过两边平方去掉根号后求解l，最后按精度要求取近似值即可。
【解析】
(1) 由公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$可知，g为定值时，l越大T越长，摆动一次耗时越久，摆得越慢。
(2) 解：将$l=0.49\mathrm{m}$代入 $T=2π \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 中，得
$T=2π\sqrt{\dfrac{0.49}{9.8}}=2π×\dfrac{\sqrt{5}}{10}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}π(\mathrm{s})$
1分钟为60s，因此1分钟内滴答声次数为：
$\dfrac{60}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}π}=\dfrac{60\sqrt{5}}{π}\approx\dfrac{60×2.24}{3.14}\approx42(\mathrm{次})$
(3) 解：令$T=1\mathrm{s}$代入公式得
$2π \sqrt{\dfrac{l}{9.8}}=1$
两边平方整理得$l=\dfrac{9.8}{4π^2}$，代入$π\approx3.14$计算得
$l\approx\dfrac{9.8}{4×3.14^2}\approx0.25(\mathrm{m})$
【答案】
(1) 长；慢
(2) 该摆钟1分钟约发出42次“滴答”声
(3) 该摆钟的摆线长约为0.25m
【知识点】
二次根式的应用；代数式求值；实数运算
【点评】
本题结合生活中的摆钟场景考查二次根式的相关计算，既要求学生理解公式中各量的变化关系，也需要掌握根式化简、近似计算的方法，解题时注意按题干给出的参考数据和精度要求计算即可。
【难度系数】
0.7
(1) 观察周期公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$，其中g是固定值，因此周期T和摆线长l的算术平方根成正比，摆线越长，周期越大；周期越大意味着摆球来回摆动一次的时间越长，摆动速度就越慢。
(2) 要计算1分钟滴答声的次数，首先需代入已知的摆线长求出单次摆动的周期T，再用总时长60s除以单次周期T，即可得到摆动次数，注意结果按要求保留整数。
(3) 已知周期T=1s，将其代入周期公式得到关于l的方程，通过两边平方去掉根号后求解l，最后按精度要求取近似值即可。
【解析】
(1) 由公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$可知，g为定值时，l越大T越长，摆动一次耗时越久，摆得越慢。
(2) 解：将$l=0.49\mathrm{m}$代入 $T=2π \sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 中，得
$T=2π\sqrt{\dfrac{0.49}{9.8}}=2π×\dfrac{\sqrt{5}}{10}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}π(\mathrm{s})$
1分钟为60s，因此1分钟内滴答声次数为：
$\dfrac{60}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}π}=\dfrac{60\sqrt{5}}{π}\approx\dfrac{60×2.24}{3.14}\approx42(\mathrm{次})$
(3) 解：令$T=1\mathrm{s}$代入公式得
$2π \sqrt{\dfrac{l}{9.8}}=1$
两边平方整理得$l=\dfrac{9.8}{4π^2}$，代入$π\approx3.14$计算得
$l\approx\dfrac{9.8}{4×3.14^2}\approx0.25(\mathrm{m})$
【答案】
(1) 长；慢
(2) 该摆钟1分钟约发出42次“滴答”声
(3) 该摆钟的摆线长约为0.25m
【知识点】
二次根式的应用；代数式求值；实数运算
【点评】
本题结合生活中的摆钟场景考查二次根式的相关计算，既要求学生理解公式中各量的变化关系，也需要掌握根式化简、近似计算的方法，解题时注意按题干给出的参考数据和精度要求计算即可。
【难度系数】
0.7
