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12. 小柯家有一个金属零件,他想通过测量其密度来判断该金属零件是由什么材料制成的,但家里没有量筒,只有一台电子秤。他思考后进行了下列操作:
①小柯找来一个空玻璃瓶,称出空瓶的质量$m_1=300\ \mathrm{g}$;
②将瓶子装满水,称出水和瓶的总质量$m_2=700\ \mathrm{g}$;
③将金属零件放入空玻璃瓶中,称出金属零件和瓶的总质量$m_3=840\ \mathrm{g}$;
④在装有金属零件的瓶中再装满水,称出瓶、金属零件和水的总质量$m_4=1040\ \mathrm{g}$。
请你依据小柯操作所得的数据,计算出金属零件的密度,并通过下列表格,判断金属零件是由哪一种物质制成的。
①小柯找来一个空玻璃瓶,称出空瓶的质量$m_1=300\ \mathrm{g}$;
②将瓶子装满水,称出水和瓶的总质量$m_2=700\ \mathrm{g}$;
③将金属零件放入空玻璃瓶中,称出金属零件和瓶的总质量$m_3=840\ \mathrm{g}$;
④在装有金属零件的瓶中再装满水,称出瓶、金属零件和水的总质量$m_4=1040\ \mathrm{g}$。
请你依据小柯操作所得的数据,计算出金属零件的密度,并通过下列表格,判断金属零件是由哪一种物质制成的。
答案
解:满瓶水的质量
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 700\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 400\ \mathrm{g}$,
由 $\rho = \frac{m}{V}$ 可得,玻璃瓶的容积
$V_{\mathrm{瓶}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{400\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 400\ \mathrm{cm}^3$,
金属零件的质量
$m_{\mathrm{金}} = m_3 - m_1 = 840\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 540\ \mathrm{g}$,
瓶子内水的质量
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 1040\ \mathrm{g} - 840\ \mathrm{g} = 200\ \mathrm{g}$,
此时瓶中水的体积
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3$,
金属零件的体积
$V_{\mathrm{金}} = V_{\mathrm{瓶}} - V_{\mathrm{水}}' = 400\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$,
则金属零件的密度
$\rho_{\mathrm{金}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} = \frac{540\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3} = 2.7\ \mathrm{g/cm}^3$。
由密度表知该种金属为铝。
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 700\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 400\ \mathrm{g}$,
由 $\rho = \frac{m}{V}$ 可得,玻璃瓶的容积
$V_{\mathrm{瓶}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{400\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 400\ \mathrm{cm}^3$,
金属零件的质量
$m_{\mathrm{金}} = m_3 - m_1 = 840\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 540\ \mathrm{g}$,
瓶子内水的质量
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 1040\ \mathrm{g} - 840\ \mathrm{g} = 200\ \mathrm{g}$,
此时瓶中水的体积
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3$,
金属零件的体积
$V_{\mathrm{金}} = V_{\mathrm{瓶}} - V_{\mathrm{水}}' = 400\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$,
则金属零件的密度
$\rho_{\mathrm{金}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} = \frac{540\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3} = 2.7\ \mathrm{g/cm}^3$。
由密度表知该种金属为铝。
解析
【分析】
要计算金属零件的密度，需先求出其质量和体积。金属零件的质量可通过“金属零件与瓶的总质量减去空瓶质量”得到；由于没有量筒，利用瓶子容积间接求金属零件体积：先根据空瓶装满水的质量算出瓶子容积，再根据装金属零件后再装水时水的质量算出此时水的体积，金属零件体积等于瓶子容积减去此时水的体积，最后用密度公式计算密度，对比表格判断材料。
【解析】
解：1. 空瓶装满水时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 700\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 400\ \mathrm{g}$
2. 由$\rho = \frac{m}{V}$，得玻璃瓶的容积：
$V_{\mathrm{瓶}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{400\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 400\ \mathrm{cm}^3$
3. 金属零件的质量：
$m_{\mathrm{金}} = m_3 - m_1 = 840\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 540\ \mathrm{g}$
4. 装金属零件后再装满水时，瓶内水的质量：
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 1040\ \mathrm{g} - 840\ \mathrm{g} = 200\ \mathrm{g}$
5. 此时瓶内水的体积：
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3$
6. 金属零件的体积：
$V_{\mathrm{金}} = V_{\mathrm{瓶}} - V_{\mathrm{水}}' = 400\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$
7. 金属零件的密度：
$\rho_{\mathrm{金}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} = \frac{540\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3} = 2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
对比表格，该密度对应铝，故金属零件由铝制成。
【答案】
金属零件的密度为$2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，该金属零件由铝制成。
【知识点】
密度的计算、密度公式的应用
【点评】
本题利用间接测量法结合密度公式计算金属零件密度，关键是理清各质量对应的物理意义，通过瓶子容积与水体积的差得到金属零件体积，是密度测量的典型应用，需注意计算时的单位统一。
【难度系数】
0.5
要计算金属零件的密度，需先求出其质量和体积。金属零件的质量可通过“金属零件与瓶的总质量减去空瓶质量”得到；由于没有量筒，利用瓶子容积间接求金属零件体积：先根据空瓶装满水的质量算出瓶子容积，再根据装金属零件后再装水时水的质量算出此时水的体积，金属零件体积等于瓶子容积减去此时水的体积，最后用密度公式计算密度，对比表格判断材料。
【解析】
解：1. 空瓶装满水时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 700\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 400\ \mathrm{g}$
2. 由$\rho = \frac{m}{V}$，得玻璃瓶的容积：
$V_{\mathrm{瓶}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{400\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 400\ \mathrm{cm}^3$
3. 金属零件的质量：
$m_{\mathrm{金}} = m_3 - m_1 = 840\ \mathrm{g} - 300\ \mathrm{g} = 540\ \mathrm{g}$
4. 装金属零件后再装满水时，瓶内水的质量：
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 1040\ \mathrm{g} - 840\ \mathrm{g} = 200\ \mathrm{g}$
5. 此时瓶内水的体积：
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3$
6. 金属零件的体积：
$V_{\mathrm{金}} = V_{\mathrm{瓶}} - V_{\mathrm{水}}' = 400\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$
7. 金属零件的密度：
$\rho_{\mathrm{金}} = \frac{m_{\mathrm{金}}}{V_{\mathrm{金}}} = \frac{540\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3} = 2.7\ \mathrm{g/cm}^3$
对比表格，该密度对应铝，故金属零件由铝制成。
【答案】
金属零件的密度为$2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，该金属零件由铝制成。
【知识点】
密度的计算、密度公式的应用
【点评】
本题利用间接测量法结合密度公式计算金属零件密度，关键是理清各质量对应的物理意义，通过瓶子容积与水体积的差得到金属零件体积，是密度测量的典型应用，需注意计算时的单位统一。
【难度系数】
0.5
13. 小亮记录了如下错题,请你帮助他找出错误之处、分析错因并写出正确的解答过程。
错题记录
泡沫钢是含有丰富气孔的钢材料,可作为防弹服的内芯。孔隙度是指泡沫钢中所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比,符号为$K$。已知钢的密度为$7.9×10^{3}kg/m^{3}$,一块正方体泡沫钢的质量为$0.79 kg$,边长为$0.1 m$,则其孔隙度$K$是多少?
解:泡沫钢的总体积
$V_{总}=(0.1m)^{3}=1×10^{-3}m^{3},$
由$ρ=\frac {m}{V}$可知,钢的体积
$V_{钢}=\frac {m_{钢}}{ρ_{钢}}=\frac {0.79kg}{7.9×10^{3}kg/m^{3}}=1×10^{-4}m^{3},$
这块正方体泡沫钢的孔隙度
$K=\frac {V_{钢}}{V_{总}}=\frac {1×10^{-4}m^{3}}{1×10^{-3}m^{3}}=10\% 。$
错题改正
错误之处:;
错因分析:
;
正确解答:
。
错题记录
泡沫钢是含有丰富气孔的钢材料,可作为防弹服的内芯。孔隙度是指泡沫钢中所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比,符号为$K$。已知钢的密度为$7.9×10^{3}kg/m^{3}$,一块正方体泡沫钢的质量为$0.79 kg$,边长为$0.1 m$,则其孔隙度$K$是多少?
解:泡沫钢的总体积
$V_{总}=(0.1m)^{3}=1×10^{-3}m^{3},$
由$ρ=\frac {m}{V}$可知,钢的体积
$V_{钢}=\frac {m_{钢}}{ρ_{钢}}=\frac {0.79kg}{7.9×10^{3}kg/m^{3}}=1×10^{-4}m^{3},$
这块正方体泡沫钢的孔隙度
$K=\frac {V_{钢}}{V_{总}}=\frac {1×10^{-4}m^{3}}{1×10^{-3}m^{3}}=10\% 。$
错题改正
错误之处:;
错因分析:
;
正确解答:
。
答案
错误之处:孔隙度 $K=\frac{V_{\mathrm{钢}}}{V_{\mathrm{总}}}$，计算得到孔隙度为10%
错因分析:孔隙度是指所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比,解答中用了实心钢的体积与泡沫钢的总体积之比,用错了体积
正确解答:泡沫钢的总体积
$V_{\mathrm{总}} = (0.1\ \mathrm{m})^3 = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,
实心钢的体积
$V_{\mathrm{钢}} = \frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}} = \frac{0.79\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
所有气孔的体积
$V_{\mathrm{气孔}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{钢}} = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
这块正方体泡沫钢的孔隙度
$K = \frac{V_{\mathrm{气孔}}}{V_{\mathrm{总}}} = \frac{9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3} = 90\%$。
错因分析:孔隙度是指所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比,解答中用了实心钢的体积与泡沫钢的总体积之比,用错了体积
正确解答:泡沫钢的总体积
$V_{\mathrm{总}} = (0.1\ \mathrm{m})^3 = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,
实心钢的体积
$V_{\mathrm{钢}} = \frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}} = \frac{0.79\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
所有气孔的体积
$V_{\mathrm{气孔}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{钢}} = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,
这块正方体泡沫钢的孔隙度
$K = \frac{V_{\mathrm{气孔}}}{V_{\mathrm{总}}} = \frac{9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3} = 90\%$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确孔隙度的定义：孔隙度是泡沫钢中所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比。解题时，需先计算泡沫钢的总体积，再根据密度公式算出实心钢的体积，用总体积减去钢的体积得到气孔体积，最后代入孔隙度公式计算。原错题的错误在于混淆了孔隙度的分子，误将钢的体积当作气孔体积，导致结果错误。
【解析】
1. 计算泡沫钢的总体积：正方体体积公式为$V=a^3$，则$V_{总}=(0.1\ \mathrm{m})^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；
2. 计算实心钢的体积：根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得$V_{钢}=\frac{m_{钢}}{\rho_{钢}}=\frac{0.79\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
3. 计算气孔体积：$V_{气孔}=V_{总}-V_{钢}=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 -1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
4. 计算孔隙度：$K=\frac{V_{气孔}}{V_{总}}=\frac{9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=90\%$。
【答案】
错误之处:孔隙度 $K=\frac{V_{\mathrm{钢}}}{V_{\mathrm{总}}}$，计算得到孔隙度为10%；错因分析:孔隙度是指所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比,解答中用了实心钢的体积与泡沫钢的总体积之比,用错了体积；正确解答:泡沫钢的总体积$V_{\mathrm{总}} = (0.1\ \mathrm{m})^3 = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,实心钢的体积$V_{\mathrm{钢}} = \frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}} = \frac{0.79\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,所有气孔的体积$V_{\mathrm{气孔}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{钢}} = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,这块正方体泡沫钢的孔隙度$K = \frac{V_{\mathrm{气孔}}}{V_{\mathrm{总}}} = \frac{9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3} = 90\%$。
【知识点】
密度公式应用、体积计算、孔隙度概念
【点评】
本题考查对孔隙度概念的理解及密度公式的应用，解题关键是准确把握孔隙度的定义，区分气孔体积与钢的体积，避免概念混淆，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需明确孔隙度的定义：孔隙度是泡沫钢中所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比。解题时，需先计算泡沫钢的总体积，再根据密度公式算出实心钢的体积，用总体积减去钢的体积得到气孔体积，最后代入孔隙度公式计算。原错题的错误在于混淆了孔隙度的分子，误将钢的体积当作气孔体积，导致结果错误。
【解析】
1. 计算泡沫钢的总体积：正方体体积公式为$V=a^3$，则$V_{总}=(0.1\ \mathrm{m})^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；
2. 计算实心钢的体积：根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得$V_{钢}=\frac{m_{钢}}{\rho_{钢}}=\frac{0.79\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
3. 计算气孔体积：$V_{气孔}=V_{总}-V_{钢}=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 -1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；
4. 计算孔隙度：$K=\frac{V_{气孔}}{V_{总}}=\frac{9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=90\%$。
【答案】
错误之处:孔隙度 $K=\frac{V_{\mathrm{钢}}}{V_{\mathrm{总}}}$，计算得到孔隙度为10%；错因分析:孔隙度是指所有气孔的体积与泡沫钢总体积之比,解答中用了实心钢的体积与泡沫钢的总体积之比,用错了体积；正确解答:泡沫钢的总体积$V_{\mathrm{总}} = (0.1\ \mathrm{m})^3 = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$,实心钢的体积$V_{\mathrm{钢}} = \frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}} = \frac{0.79\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,所有气孔的体积$V_{\mathrm{气孔}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{钢}} = 1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$,这块正方体泡沫钢的孔隙度$K = \frac{V_{\mathrm{气孔}}}{V_{\mathrm{总}}} = \frac{9×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3} = 90\%$。
【知识点】
密度公式应用、体积计算、孔隙度概念
【点评】
本题考查对孔隙度概念的理解及密度公式的应用，解题关键是准确把握孔隙度的定义，区分气孔体积与钢的体积，避免概念混淆，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
