1. 我们知道可以用公式 $x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$来分解因式，从而解一元二次方程.
(1)方程 $x^2+6x+8=0$ 可分解为 $\_\_\_\_\_\_=0$，方程 $x^2-7x-30=0$ 可分解为 $\_\_\_\_\_\_=0$.
(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法求解.如:方程 $3x^2-7x+2=0$ 可分解为 $(x-2)·(3x-1)=0$（如图），从而可以快速求出方程的解.

利用此方法解下列方程:
①$x^2-5x+6=0$； ②$4x^2-8x-5=0$.

(1)$(x+2)(x+4)$；$(x-10)(x+3)$
(2)①$\because x^2 -5x +6=0,\therefore (x-2)(x-3)=0.$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0.\therefore x_1=2,x_2=3.$
②$\because 4x^2 -8x -5=0,\therefore (2x-5)(2x+1)=0.$
$\therefore 2x-5=0$ 或 $2x+1=0.\therefore x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}.$

2. 阅读后解答问题.
解方程:$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解:拆项,分组得$(2x^2 - 4x) + (x - 2) = 0$,
提公因式,得$2x(x - 2) + (x - 2) = 0$,
再提公因式,得$(x - 2)(2x + 1) = 0$,
$\therefore x_1 = 2, x_2 = -\frac{1}{2}$.
运用以上方法解方程:$6x^2 + 7x - 3 = 0$.

拆项,分组得$(6x^2 +9x)-(2x+3)=0$,
提公因式,得$3x(2x+3)-(2x+3)=0$,
再提公因式,得$(2x+3)(3x-1)=0$,
即 $2x+3=0$ 或 $3x-1=0,\therefore x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}.$

3. ★★ 方程$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48$的解为.

$x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$
【点拨】原方程为$[(x-1)(x-4)]·[(x-2)(x-3)]=48$,即$(x^2 -5x +4)(x^2 -5x +6)=48$.设$y=x^2 -5x +5$,则原方程变为$(y-1)(y+1)=48$,解得$y_1=7,y_2=-7$.当 $x^2 -5x +5=7$ 时,解得$x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$;当 $x^2 -5x +5=-7$ 时,$x^2 -5x +12=0,\therefore \Delta=(-5)^2 -4×1×12=-23＜0.\therefore$ 方程无实数根.$\therefore$ 原方程的根为 $x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}.$

4. 解方程:$6x^4 -35x^3 +62x^2 -35x +6=0.$

由题易知 $x≠0,\therefore$ 原方程两边同除以 $x^2$,得 $6x^2 -35x +62 -\frac{35}{x}+\frac{6}{x^2}=0$,
即 $6(x^2+\frac{1}{x^2})-35(x+\frac{1}{x})+62=0.$
设 $y=x+\frac{1}{x}$,则 $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2 -2$,
$\therefore$ 原方程可变为 $6(y^2 -2)-35y +62=0$,
解得 $y_1=\frac{5}{2},y_2=\frac{10}{3}.$
当 $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$ 时,解得 $x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$;
当 $x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$ 时,解得 $x_3=3,x_4=\frac{1}{3}.$
经检验,以上各根均符合题意.
$\therefore$ 原方程的根为 $x_1=2,x_2=\frac{1}{2},x_3=3,x_4=\frac{1}{3}.$

5. 母题 教材P53复习题T16(2) 解方程：$\frac{3x}{x^2 -1} + \frac{x^2 -1}{x} = \frac{7}{2}$

设 $\frac{x}{x^2 -1}=y$,则 $\frac{x^2 -1}{x}=\frac{1}{y}$,
$\therefore$ 原方程变为 $3y+\frac{1}{y}=\frac{7}{2}.$
去分母得 $6y^2 -7y +2=0$,解得 $y=\frac{1}{2}$ 或 $y=\frac{2}{3}.$
当 $\frac{x}{x^2 -1}=\frac{1}{2}$ 时,去分母得 $x^2 -2x -1=0$,
解得 $x=1\pm\sqrt{2}$；
当 $\frac{x}{x^2 -1}=\frac{2}{3}$ 时,去分母得 $2x^2 -3x -2=0$,
解得 $x=-\frac{1}{2}$ 或 $x=2.$
检验:当 $x=1\pm\sqrt{2}$ 时,$2x(x+1)(x-1)≠0$,
当 $x=-\frac{1}{2}$ 或 $x=2$ 时,$2x(x+1)(x-1)≠0.$
$\therefore$ 分式方程的解为 $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2},x_3=-\frac{1}{2},x_4=2.$