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1. 描述一组数据离散程度的统计量是 （
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
D
）A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查不同统计量的功能区分，解题时先明确两类统计量的作用：一类是描述数据集中趋势的统计量，另一类是描述数据离散程度的统计量。首先回忆各选项对应统计量的含义：平均数、众数、中位数都属于反映数据集中趋势的统计量，而方差是衡量数据波动大小即离散程度的统计量，逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 平均数反映一组数据的平均水平，属于描述数据集中趋势的统计量，不符合题意；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，反映数据的多数水平，属于描述数据集中趋势的统计量，不符合题意；
C. 中位数是将数据按大小排序后，位于中间位置的数值（数据个数为偶数时为中间两个数的平均数），反映数据的中等水平，属于描述数据集中趋势的统计量，不符合题意；
D. 方差用于衡量一组数据的波动大小，数据波动越大、离散程度越高，方差就越大，符合描述数据离散程度的要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
统计量的含义，方差的意义，数据离散程度
【点评】
本题是统计模块的基础常考题，主要考查对常见统计量作用的区分，熟记各统计量的基本定义和功能即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查不同统计量的功能区分，解题时先明确两类统计量的作用：一类是描述数据集中趋势的统计量，另一类是描述数据离散程度的统计量。首先回忆各选项对应统计量的含义：平均数、众数、中位数都属于反映数据集中趋势的统计量，而方差是衡量数据波动大小即离散程度的统计量，逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
A. 平均数反映一组数据的平均水平，属于描述数据集中趋势的统计量，不符合题意；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，反映数据的多数水平，属于描述数据集中趋势的统计量，不符合题意；
C. 中位数是将数据按大小排序后，位于中间位置的数值（数据个数为偶数时为中间两个数的平均数），反映数据的中等水平，属于描述数据集中趋势的统计量，不符合题意；
D. 方差用于衡量一组数据的波动大小，数据波动越大、离散程度越高，方差就越大，符合描述数据离散程度的要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
统计量的含义，方差的意义，数据离散程度
【点评】
本题是统计模块的基础常考题，主要考查对常见统计量作用的区分，熟记各统计量的基本定义和功能即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 某班级5名学生的数学成绩分别为:85,90,92,88,95.若将每位学生的成绩都加5分,得到新的数学成绩,则原来的数学成绩和新的数学成绩相比 （
A.平均数不变,离差平方和变大,方差变大
B.平均数变大,离差平方和变大,方差变大
C.平均数变大,离差平方和不变,方差不变
D.平均数变大,离差平方和不变,方差不变
D
）A.平均数不变,离差平方和变大,方差变大
B.平均数变大,离差平方和变大,方差变大
C.平均数变大,离差平方和不变,方差不变
D.平均数变大,离差平方和不变,方差不变
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数、离差平方和、方差的定义与变化规律：①先判断平均数变化：若一组数据中每个数都加上相同的常数，总和会增加“常数×数据个数”，因此平均数也会增加该常数，可直接排除平均数不变的A选项；②再判断离差平方和变化：离差是“单个数据-平均数”，新数据每个加5，平均数也加5，因此新离差和原离差完全相等，离差平方和也不变；③最后判断方差：方差是离差平方和除以数据个数，两个量都不变，因此方差不变，即可确定正确选项。也可以通过直接计算两组数据的对应统计量验证结论。
【解析】
我们可以通过计算验证结论：
1. 计算原成绩的相关统计量：
原成绩：85,90,92,88,95
原平均数$\bar{x}_原=\frac{85+90+92+88+95}{5}=\frac{450}{5}=90$
原离差平方和$=(85-90)^2+(90-90)^2+(92-90)^2+(88-90)^2+(95-90)^2=25+0+4+4+25=58$
原方差$s_原^2=\frac{58}{5}=11.6$
2. 计算新成绩的相关统计量：
新成绩（每个加5分）：90,95,97,93,100
新平均数$\bar{x}_新=\frac{90+95+97+93+100}{5}=\frac{475}{5}=95$，明显大于原平均数
新离差平方和$=(90-95)^2+(95-95)^2+(97-95)^2+(93-95)^2+(100-95)^2=25+0+4+4+25=58$，与原离差平方和相等
新方差$s_新^2=\frac{58}{5}=11.6$，与原方差相等
综上可知：平均数变大，离差平方和不变，方差不变，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的性质，方差的性质，离差平方和计算
【点评】
本题考查数据平移时统计量的变化规律，记住核心结论：一组数据同时加上或减去同一个常数，平均数会相应加减该常数，而反映数据离散程度的统计量（离差平方和、方差、标准差）都保持不变，掌握该规律可以不用计算快速得到答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均数、离差平方和、方差的定义与变化规律：①先判断平均数变化：若一组数据中每个数都加上相同的常数，总和会增加“常数×数据个数”，因此平均数也会增加该常数，可直接排除平均数不变的A选项；②再判断离差平方和变化：离差是“单个数据-平均数”，新数据每个加5，平均数也加5，因此新离差和原离差完全相等，离差平方和也不变；③最后判断方差：方差是离差平方和除以数据个数，两个量都不变，因此方差不变，即可确定正确选项。也可以通过直接计算两组数据的对应统计量验证结论。
【解析】
我们可以通过计算验证结论：
1. 计算原成绩的相关统计量：
原成绩：85,90,92,88,95
原平均数$\bar{x}_原=\frac{85+90+92+88+95}{5}=\frac{450}{5}=90$
原离差平方和$=(85-90)^2+(90-90)^2+(92-90)^2+(88-90)^2+(95-90)^2=25+0+4+4+25=58$
原方差$s_原^2=\frac{58}{5}=11.6$
2. 计算新成绩的相关统计量：
新成绩（每个加5分）：90,95,97,93,100
新平均数$\bar{x}_新=\frac{90+95+97+93+100}{5}=\frac{475}{5}=95$，明显大于原平均数
新离差平方和$=(90-95)^2+(95-95)^2+(97-95)^2+(93-95)^2+(100-95)^2=25+0+4+4+25=58$，与原离差平方和相等
新方差$s_新^2=\frac{58}{5}=11.6$，与原方差相等
综上可知：平均数变大，离差平方和不变，方差不变，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的性质，方差的性质，离差平方和计算
【点评】
本题考查数据平移时统计量的变化规律，记住核心结论：一组数据同时加上或减去同一个常数，平均数会相应加减该常数，而反映数据离散程度的统计量（离差平方和、方差、标准差）都保持不变，掌握该规律可以不用计算快速得到答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 某校开展“每天锻炼”的强身健体活动，为了解活动落实情况，随机抽取15名同学调查统计一周的锻炼时长，信息如下.
这15名同学一周锻炼时长的离差平方和为
这15名同学一周锻炼时长的离差平方和为
32
h²，方差为$\frac{32}{15}$
h².答案
3. $32,\frac{32}{15}$
解析
【分析】
要计算离差平方和与方差，首先需要先求出15名同学锻炼时长的平均数；再根据离差平方和的定义，将每个锻炼时长与平均数的差的平方乘以对应人数，累加得到离差平方和；最后用离差平方和除以总人数即可得到方差。
【解析】
步骤1：计算15名同学一周锻炼时长的平均数$\overline{x}$
总时长 = $7×3 + 8×3 + 9×3 + 10×4 + 11×1 + 12×1 = 21+24+27+40+11+12=135$（h）
平均数$\overline{x} = \frac{135}{15}=9$（h）
步骤2：计算离差平方和
离差平方和 = $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i-\overline{x})^2$，其中$f_i$为对应人数，$x_i$为锻炼时长
代入数据得：
$3×(7-9)^2 + 3×(8-9)^2 + 3×(9-9)^2 + 4×(10-9)^2 + 1×(11-9)^2 +1×(12-9)^2$
$=3×4 + 3×1 + 3×0 +4×1 +1×4 +1×9$
$=12+3+0+4+4+9=32$（$h^2$）
步骤3：计算方差
方差$s^2=\frac{\mathrm{离差平方和}}{\mathrm{总人数}}=\frac{32}{15}$（$h^2$）
【答案】
$32$，$\frac{32}{15}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，方差计算
【点评】
本题考查数据离散程度的相关计算，解题核心是牢记平均数、离差平方和、方差的计算公式，计算过程中注意不要漏乘对应时长的人数，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要计算离差平方和与方差，首先需要先求出15名同学锻炼时长的平均数；再根据离差平方和的定义，将每个锻炼时长与平均数的差的平方乘以对应人数，累加得到离差平方和；最后用离差平方和除以总人数即可得到方差。
【解析】
步骤1：计算15名同学一周锻炼时长的平均数$\overline{x}$
总时长 = $7×3 + 8×3 + 9×3 + 10×4 + 11×1 + 12×1 = 21+24+27+40+11+12=135$（h）
平均数$\overline{x} = \frac{135}{15}=9$（h）
步骤2：计算离差平方和
离差平方和 = $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i-\overline{x})^2$，其中$f_i$为对应人数，$x_i$为锻炼时长
代入数据得：
$3×(7-9)^2 + 3×(8-9)^2 + 3×(9-9)^2 + 4×(10-9)^2 + 1×(11-9)^2 +1×(12-9)^2$
$=3×4 + 3×1 + 3×0 +4×1 +1×4 +1×9$
$=12+3+0+4+4+9=32$（$h^2$）
步骤3：计算方差
方差$s^2=\frac{\mathrm{离差平方和}}{\mathrm{总人数}}=\frac{32}{15}$（$h^2$）
【答案】
$32$，$\frac{32}{15}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，方差计算
【点评】
本题考查数据离散程度的相关计算，解题核心是牢记平均数、离差平方和、方差的计算公式，计算过程中注意不要漏乘对应时长的人数，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
4. 在购买某电子产品时，小明对甲、乙两个品牌的电子产品的语音识别系统分别进行了10次准确度测试，并将测试成绩（满分10分）进行了统计，如图，从语音识别系统准确度的稳定性角度考虑，小新应该选择
乙
（填“甲”或“乙”）品牌的电子产品。答案
4. 乙
解析
【分析】
题目要求从稳定性角度选择品牌，稳定性由数据的离散程度决定：数据波动幅度越小，离散程度越小，稳定性就越强。解题时首先观察折线统计图中甲、乙两组测试成绩的波动情况，对比二者波动大小，波动更小的品牌稳定性更好，即为正确选项。
【解析】
判断语音识别系统准确度的稳定性，核心是对比两组成绩的波动情况：波动越小，代表成绩越稳定，系统的准确度稳定性越好。
观察折线统计图可发现：甲的10次测试成绩高低起伏大，最高10分、最低4分，波动十分明显；乙的10次测试成绩集中在6分到10分之间，波动幅度远小于甲，因此乙品牌的语音识别系统准确度稳定性更好。
【答案】
乙
【知识点】
折线统计图、数据的离散程度、稳定性判断
【点评】
本题结合生活实际场景，考查对折线统计图的信息读取能力和对数据稳定性的理解，掌握“数据波动越小、稳定性越强”的规律即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
题目要求从稳定性角度选择品牌，稳定性由数据的离散程度决定：数据波动幅度越小，离散程度越小，稳定性就越强。解题时首先观察折线统计图中甲、乙两组测试成绩的波动情况，对比二者波动大小，波动更小的品牌稳定性更好，即为正确选项。
【解析】
判断语音识别系统准确度的稳定性，核心是对比两组成绩的波动情况：波动越小，代表成绩越稳定，系统的准确度稳定性越好。
观察折线统计图可发现：甲的10次测试成绩高低起伏大，最高10分、最低4分，波动十分明显；乙的10次测试成绩集中在6分到10分之间，波动幅度远小于甲，因此乙品牌的语音识别系统准确度稳定性更好。
【答案】
乙
【知识点】
折线统计图、数据的离散程度、稳定性判断
【点评】
本题结合生活实际场景，考查对折线统计图的信息读取能力和对数据稳定性的理解，掌握“数据波动越小、稳定性越强”的规律即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
5. 近年来,人工智能得到了广泛的发展应用,市场（第4题）
上涌现出了各类人工智能产品.经过市场调研,小罗决定从A,B两种人工智能产品中选择一个使用.以下是小罗通过调查问卷的方式收集的12位用户对A,B两种人工智能产品的评价得分(满分10分):
（1）分别计算12位用户对A,B两种人工智能产品的平均得分和离差平方和.
（2）你建议小罗选择哪一种人工智能产品?为什么?
上涌现出了各类人工智能产品.经过市场调研,小罗决定从A,B两种人工智能产品中选择一个使用.以下是小罗通过调查问卷的方式收集的12位用户对A,B两种人工智能产品的评价得分(满分10分):
（1）分别计算12位用户对A,B两种人工智能产品的平均得分和离差平方和.
（2）你建议小罗选择哪一种人工智能产品?为什么?
答案
5. (1) A的平均数为7.5分,B的平均数为7.5分,A的离差平方和为35分²,B的离差平方和为29分²
(2) 因为A的平均数=B的平均数,说明两种产品的平均水平相当;因为A的离差平方和大于B的离差平方和,说明B产品离散程度较小,产品相对稳定,所以建议选择B产品
(2) 因为A的平均数=B的平均数,说明两种产品的平均水平相当;因为A的离差平方和大于B的离差平方和,说明B产品离散程度较小,产品相对稳定,所以建议选择B产品
解析
【分析】
（1）计算平均得分的思路：先统计每种产品的所有用户得分总和，再除以参与评价的用户总数12即可得到平均得分；计算离差平方和的思路：先求出每个得分与平均得分的差，将差求平方后，累加所有平方值就是离差平方和。
（2）选择产品的思路：先对比两种产品的平均得分判断整体评价水平，再对比离差平方和判断评价的稳定性，离差平方和越小说明评价离散程度越低，产品表现越稳定，优先选择更稳定的产品。
【解析】
（1）计算A产品的相关统计量：
A的得分总和：$3×5 + 6 + 4×8 + 3×9 + 10 = 90$
平均得分：$\overline{x}_A = 90÷12 = 7.5$（分）
离差平方和：
$\begin{aligned}&3×(5-7.5)^2 + (6-7.5)^2 + 4×(8-7.5)^2 + 3×(9-7.5)^2 + (10-7.5)^2\\=&3×6.25 + 2.25 + 4×0.25 + 3×2.25 + 6.25\\=&18.75 + 2.25 + 1 + 6.75 + 6.25\\=&35（分^2）\end{aligned}$
计算B产品的相关统计量：
B的得分总和：$5×6 + 2×7 + 8 + 2×9 + 2×10 = 90$
平均得分：$\overline{x}_B = 90÷12 = 7.5$（分）
离差平方和：
$\begin{aligned}&5×(6-7.5)^2 + 2×(7-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + 2×(9-7.5)^2 + 2×(10-7.5)^2\\=&5×2.25 + 2×0.25 + 0.25 + 2×2.25 + 2×6.25\\=&11.25 + 0.5 + 0.25 + 4.5 + 12.5\\=&29（分^2）\end{aligned}$
（2）决策分析：两种产品平均得分相同，说明两者的平均评价水平相当；B产品的离差平方和小于A产品，说明用户对B产品的评价离散程度更小，产品表现更稳定，因此建议选择B产品。
【答案】
（1）A的平均得分为7.5分，离差平方和为35分²；B的平均得分为7.5分，离差平方和为29分²。
（2）建议选择B产品，两种产品平均水平相当，B产品离散程度更小，更稳定。
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；数据离散程度
【点评】
本题结合生活场景考查统计量的计算与实际应用，要求掌握平均数、离差平方和的计算方法，理解离差平方和反映数据稳定性的意义，能够根据统计结果做出合理的决策。
【难度系数】
0.7
（1）计算平均得分的思路：先统计每种产品的所有用户得分总和，再除以参与评价的用户总数12即可得到平均得分；计算离差平方和的思路：先求出每个得分与平均得分的差，将差求平方后，累加所有平方值就是离差平方和。
（2）选择产品的思路：先对比两种产品的平均得分判断整体评价水平，再对比离差平方和判断评价的稳定性，离差平方和越小说明评价离散程度越低，产品表现越稳定，优先选择更稳定的产品。
【解析】
（1）计算A产品的相关统计量：
A的得分总和：$3×5 + 6 + 4×8 + 3×9 + 10 = 90$
平均得分：$\overline{x}_A = 90÷12 = 7.5$（分）
离差平方和：
$\begin{aligned}&3×(5-7.5)^2 + (6-7.5)^2 + 4×(8-7.5)^2 + 3×(9-7.5)^2 + (10-7.5)^2\\=&3×6.25 + 2.25 + 4×0.25 + 3×2.25 + 6.25\\=&18.75 + 2.25 + 1 + 6.75 + 6.25\\=&35（分^2）\end{aligned}$
计算B产品的相关统计量：
B的得分总和：$5×6 + 2×7 + 8 + 2×9 + 2×10 = 90$
平均得分：$\overline{x}_B = 90÷12 = 7.5$（分）
离差平方和：
$\begin{aligned}&5×(6-7.5)^2 + 2×(7-7.5)^2 + (8-7.5)^2 + 2×(9-7.5)^2 + 2×(10-7.5)^2\\=&5×2.25 + 2×0.25 + 0.25 + 2×2.25 + 2×6.25\\=&11.25 + 0.5 + 0.25 + 4.5 + 12.5\\=&29（分^2）\end{aligned}$
（2）决策分析：两种产品平均得分相同，说明两者的平均评价水平相当；B产品的离差平方和小于A产品，说明用户对B产品的评价离散程度更小，产品表现更稳定，因此建议选择B产品。
【答案】
（1）A的平均得分为7.5分，离差平方和为35分²；B的平均得分为7.5分，离差平方和为29分²。
（2）建议选择B产品，两种产品平均水平相当，B产品离散程度更小，更稳定。
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；数据离散程度
【点评】
本题结合生活场景考查统计量的计算与实际应用，要求掌握平均数、离差平方和的计算方法，理解离差平方和反映数据稳定性的意义，能够根据统计结果做出合理的决策。
【难度系数】
0.7
