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9. 图1-2-8①是一个棱长为3的正方体，图1-2-8②为图1-2-8①的表面展开图（每个面上标有的数字写在外表面上），请根据要求回答问题：
(1)如果正方体相对面上标有的两个数字之和相等，则$x=$
(2)如果标有数字3的面是上面，标有数字5的面是后面，则右面上标有数字
(3)图1-2-8①中，点P为所在棱的中点，在图1-2-8②中画出点P的位置，并求出图1-2-8②中$△ ABP$的面积。
(1)如果正方体相对面上标有的两个数字之和相等，则$x=$
4
，$y=$2
；(2)如果标有数字3的面是上面，标有数字5的面是后面，则右面上标有数字
1
（填“0”“1”“x”或“y”）；(3)图1-2-8①中，点P为所在棱的中点，在图1-2-8②中画出点P的位置，并求出图1-2-8②中$△ ABP$的面积。
答案
9. 解:(1)如果正方体相对面上标有的两个数字之和相等,则$x+1=y+3=5+0$,解得$x=4,y=2$。故答案为:4,2。
(2)如果标有数字3的面是上面,标有数字5的面是后面,则右面上标有数字1。故答案为:1。
(3)如答图1-2-2,点P即为所求，$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × 3 × 6 = 9$,即$△ ABP$的面积为9。
解析
【分析】
(1) 解决第一问先根据正方体展开图“相间、Z端是对面”的规律找到三组相对面，再结合“相对面上数字之和相等”的条件列等式计算x、y的值即可。
(2) 解决第二问需将展开图还原为正方体，结合已知的上面、后面的方位，根据相邻面的位置关系判断右面的数字。
(3) 解决第三问先根据P在正方体上的位置，对应找到它在展开图中的位置，再确定△ABP的底和高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据正方体展开图相对面的判断规律，可得：5的对面是0，3的对面是y，x的对面是1。
由题意得相对面数字之和相等，和为$5+0=5$，因此：
$x+1=5$，解得$x=4$；
$y+3=5$，解得$y=2$。
(2) 已知标3的面为上面，标5的面为后面，将展开图还原为正方体，可推出前面为标0的面，左面为标x的面，右面为标1的面，因此右面上的数字是1。
(3) 点P的位置如下图所示：
已知正方体棱长为3，可得$AB=3$，点P到AB的垂直距离为$3+3=6$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×3×6=9$。
【答案】
(1) $4$，$2$；
(2) $1$；
(3) 点P位置见，$△ ABP$的面积为$9$。
【知识点】
正方体表面展开图、相对面的性质、三角形面积计算
【点评】
本题围绕正方体展开图设置问题，既考查了展开图与立体图形的转化能力、空间想象能力，也结合了代数计算和面积求解，是立体图形与平面图形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问先根据正方体展开图“相间、Z端是对面”的规律找到三组相对面，再结合“相对面上数字之和相等”的条件列等式计算x、y的值即可。
(2) 解决第二问需将展开图还原为正方体，结合已知的上面、后面的方位，根据相邻面的位置关系判断右面的数字。
(3) 解决第三问先根据P在正方体上的位置，对应找到它在展开图中的位置，再确定△ABP的底和高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据正方体展开图相对面的判断规律，可得：5的对面是0，3的对面是y，x的对面是1。
由题意得相对面数字之和相等，和为$5+0=5$，因此：
$x+1=5$，解得$x=4$；
$y+3=5$，解得$y=2$。
(2) 已知标3的面为上面，标5的面为后面，将展开图还原为正方体，可推出前面为标0的面，左面为标x的面，右面为标1的面，因此右面上的数字是1。
(3) 点P的位置如下图所示：
已知正方体棱长为3，可得$AB=3$，点P到AB的垂直距离为$3+3=6$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×3×6=9$。
【答案】
(1) $4$，$2$；
(2) $1$；
(3) 点P位置见
，$△ ABP$的面积为$9$。【知识点】
正方体表面展开图、相对面的性质、三角形面积计算
【点评】
本题围绕正方体展开图设置问题，既考查了展开图与立体图形的转化能力、空间想象能力，也结合了代数计算和面积求解，是立体图形与平面图形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
10. 一个正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6。从三个不同的方向看到的情形如图1-2-9①②③所示，则与标有数字6的面相对的面上标有的数字是
10. 一个正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6。从三个不同的方向看到的情形如图1-2-9①②③所示，则与标有数字6的面相对的面上标有的数字是
3
。答案
10. 3 解析:由题图可知,与标有数字1的面相邻的面上标有的数字有2,3,4,6,所以与标有数字1的面相对的面上标有的数字是5。
因为与标有数字4的面相邻的面上标有的数字有1,3,5,6,所以与标有数字4的面相对的面上标有的数字是2,所以与标有数字6的面相对的面上标有的数字是3。
因为与标有数字4的面相邻的面上标有的数字有1,3,5,6,所以与标有数字4的面相对的面上标有的数字是2,所以与标有数字6的面相对的面上标有的数字是3。
解析
【分析】
解决这类正方体相对面数字的问题，核心是利用“正方体每个面都有且仅有4个相邻面、1个相对面，相邻的面一定不是相对面”的特点，用排除法推导。我们可以先找出现次数较多的数字，先确定它的相对面，再逐步推导其他数字的相对面：第一步先看数字1，结合三个视图找出所有和1相邻的数字，剩下的就是1的对面；第二步再看数字4，同样找出它所有相邻的数字，确定4的对面；最后剩下的两个数字就是一组相对面，就能得到6的对面数字。
【解析】
由图①和图②可知，和数字1相邻的面的数字有2、3、4、6，共4个，因此数字1的对面只能是剩下的数字5；
再由图①和图③可知，和数字4相邻的面的数字有1、3、5、6，共4个，因此数字4的对面只能是剩下的数字2；
已知1的对面是5、4的对面是2，剩余的数字为6和3，因此数字6的对面是数字3。
【答案】
3
【知识点】
正方体面的位置关系；空间观察能力；排除法推理
【点评】
这道题是正方体相对面判断的典型题型，解题的核心技巧是通过找某一数字的所有相邻面来排除不可能的相对面，不需要完全想象出正方体的展开图就能快速推导，能有效锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类正方体相对面数字的问题，核心是利用“正方体每个面都有且仅有4个相邻面、1个相对面，相邻的面一定不是相对面”的特点，用排除法推导。我们可以先找出现次数较多的数字，先确定它的相对面，再逐步推导其他数字的相对面：第一步先看数字1，结合三个视图找出所有和1相邻的数字，剩下的就是1的对面；第二步再看数字4，同样找出它所有相邻的数字，确定4的对面；最后剩下的两个数字就是一组相对面，就能得到6的对面数字。
【解析】
由图①和图②可知，和数字1相邻的面的数字有2、3、4、6，共4个，因此数字1的对面只能是剩下的数字5；
再由图①和图③可知，和数字4相邻的面的数字有1、3、5、6，共4个，因此数字4的对面只能是剩下的数字2；
已知1的对面是5、4的对面是2，剩余的数字为6和3，因此数字6的对面是数字3。
【答案】
3
【知识点】
正方体面的位置关系；空间观察能力；排除法推理
【点评】
这道题是正方体相对面判断的典型题型，解题的核心技巧是通过找某一数字的所有相邻面来排除不可能的相对面，不需要完全想象出正方体的展开图就能快速推导，能有效锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需要剪多少条棱？你能得到哪些形状的平面图形？动手试一试。
答案
11. 解:需要剪4条棱,图略。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确无盖正方体的结构特征：它共有5个面，其中两个面的公共棱（需要剪开的棱）共8条，开口处的边本来就是分离的，不需要剪开。其次，要把5个面展开成1个连通的平面图形，5个面之间需要保留若干条公共棱不剪开才能连在一起，n个连通的面之间需要保留的连接棱数量为（n-1）条，因此保留的棱数是5-1=4条。最后用总公共棱数减去保留的棱数，就能得到需要剪开的棱数。对于展开的平面图形，只要是5个正方形连通，且折叠后能围成无盖正方体的图形都符合要求，可通过动手操作验证。
【解析】
步骤1：计算无盖正方体的公共棱总数：无盖正方体有底面1个、侧面4个，底面和侧面相交形成4条公共棱，相邻侧面相交形成4条公共棱，共8条公共棱（开口边无需剪开）。
步骤2：计算展开时需要保留的连接棱数：要让5个面展开后仍连通成一个平面图形，需要保留的连接棱数为面数减1，即$5-1=4$条。
步骤3：计算需要剪开的棱数：总公共棱数减去保留的连接棱数，即$8-4=4$条。
展开得到的平面图形为5个正方形组成的连通图形，共8种不同的形状，画图略。
【答案】
需要剪4条棱，展开图略。
【知识点】
1. 立体图形展开与折叠
2. 正方体结构特征
3. 平面图形连通性
【点评】
这道题结合了空间想象和动手操作能力，通过“总公共棱数-保留连接棱数=剪开棱数”的逻辑能快速算出结果，动手剪拼能更直观地掌握无盖正方体展开图的不同形状，避免记错展开图的类型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确无盖正方体的结构特征：它共有5个面，其中两个面的公共棱（需要剪开的棱）共8条，开口处的边本来就是分离的，不需要剪开。其次，要把5个面展开成1个连通的平面图形，5个面之间需要保留若干条公共棱不剪开才能连在一起，n个连通的面之间需要保留的连接棱数量为（n-1）条，因此保留的棱数是5-1=4条。最后用总公共棱数减去保留的棱数，就能得到需要剪开的棱数。对于展开的平面图形，只要是5个正方形连通，且折叠后能围成无盖正方体的图形都符合要求，可通过动手操作验证。
【解析】
步骤1：计算无盖正方体的公共棱总数：无盖正方体有底面1个、侧面4个，底面和侧面相交形成4条公共棱，相邻侧面相交形成4条公共棱，共8条公共棱（开口边无需剪开）。
步骤2：计算展开时需要保留的连接棱数：要让5个面展开后仍连通成一个平面图形，需要保留的连接棱数为面数减1，即$5-1=4$条。
步骤3：计算需要剪开的棱数：总公共棱数减去保留的连接棱数，即$8-4=4$条。
展开得到的平面图形为5个正方形组成的连通图形，共8种不同的形状，画图略。
【答案】
需要剪4条棱，展开图略。
【知识点】
1. 立体图形展开与折叠
2. 正方体结构特征
3. 平面图形连通性
【点评】
这道题结合了空间想象和动手操作能力，通过“总公共棱数-保留连接棱数=剪开棱数”的逻辑能快速算出结果，动手剪拼能更直观地掌握无盖正方体展开图的不同形状，避免记错展开图的类型。
【难度系数】
0.7
