1. (2025山西太原晋源区实验中学期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起,若$∠ ACB=3∠ DCE$,则$∠ DCE$的度数为 ()

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

1. C 【解析】因为∠DCB = ∠BCE - ∠DCE = 90°-∠DCE,所以∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 180°-∠DCE. 因为∠ACB = 3∠DCE,设∠DCE = x,则∠ACB = 3x,所以 180°-x = 3x,解得 x = 45°,即∠DCE=45°.

2. (2025 陕西西安西工大附中期末)已知AC=20 cm，点B在线段AC上，M是AB的中点，点N在线段BC上且$CN=\frac{1}{3}BC$，若MN=12 cm，则AB的长为 cm.

2. 8 【解析】设CN=x cm,则BC=3CN=3x cm,所以BN = BC - CN = 2x ( cm ), BM = MN - BN = ( 12 - 2x )cm. 因为 M 是 AB 的中点,所以 AB = 2BM = (24-4x)cm,因为 AC = AB + BC,所以 24-4x + 3x = 20,解得 x=4,所以 AB=24-4x=8( cm ).

3. 万唯原创 已知O是直线AB上一点，射线OD平分∠AOC.
(1)如图①，射线OE在∠AOC内部，$∠ COE = \frac{1}{3}∠ BOC$，若$∠ DOE=50°$，求$∠ BOC$的度数；
(2)如图②，射线OE在直线AB下方，$∠ BOC:∠ AOD:∠ AOE=2:5:8$，求$∠ BOE$的度数.

3. 解:(1)设$∠BOC=x$,则$∠AOC=180°-x$,
因为 OD 平分$∠AOC$,
所以$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=90°-\frac{1}{2}x$.
因为$∠COE=\frac{1}{3}∠BOC$,
所以$∠COE=\frac{1}{3}x$.
因为$∠DOE=50°=∠COD-∠COE$,
所以$90°-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x=50°$,
解得$x=48°$,
所以$∠BOC$的度数为$48°$;
(2)因为$∠BOC:∠AOD:∠AOE=2:5:8$,
故设$∠BOC=2y$,则$∠AOD=5y,∠AOE=8y$,
所以$∠COD=∠AOB-∠BOC-∠AOD=180°-7y$.
因为 OD 平分$∠AOC$,所以$∠AOD=∠COD$,
所以$5y=180°-7y$,
解得$y=15°$,
所以$∠AOE=8y=120°$,
所以$∠BOE=180°-∠AOE=180°-120°=60°$.

4. (2026陕西西安益新中学阶段练)已知点A和点B从同一数轴上的原点处同时出发，点A沿数轴向负半轴运动，点B沿数轴向正半轴运动，1.5秒后A,B两点相距9个单位长度，已知点B的速度是点A速度的2倍.请分别求出A,B两点的速度，并在如图所示的数轴上标出1.5秒时A,B两点的位置.

4. 解:设点A的速度为v个单位长度/秒,则点B的速度为2v个单位长度/秒,
根据题意,得$1.5v+1.5×2v=9$,
解得$v=2$.
所以点A的速度为2个单位长度/秒,点B的速度为4个单位长度/秒,
1.5秒时点A表示的数是$0-1.5×2=-3$,点B表示的数是$4×1.5=6$.
在数轴上表示如解图.

5. 万唯原创 在数轴上点 A 表示数 $a$，点 B 表示数 $b$，且 $a,b$ 满足 $|a+14|+(b-8)^2=0$。点 C 表示数 $c$，点 D 表示数 $d$，已知 $c＞d$ 且 $|c|=|d|=2$。
(1)求 $a,b$ 的值；
(2)动点 P 以 3 个单位长度/秒的速度从 A 点出发沿数轴正方向运动，同时动点 Q 以 2 个单位长度/秒的速度从 D 点出发沿数轴正方向运动，是否存在 $PC=QC$？若存在，求出运动时间并写出点 P 对应的数；若不存在，请说明理由。

5. 解:(1)因为$|a+14|+(b-8)^2=0$,
所以$a+14=0,b-8=0$,
所以$a=-14,b=8$;
(2)存在.
因为$c＞d$且$|c|=|d|=2$,
所以$c=2,d=-2$.
设运动t秒时,$PC=QC$,
①当P,Q在点C两侧时,要满足$PC=QC$,
此时$(-14+3t)+(-2+2t)=2×2$,
解得$t=4$,
此时点P对应的数为$-14+3×4=-2$;
②当P,Q在点C同侧时,要满足$PC=QC$,
此时点P与点Q重合,
所以$-14+3t=-2+2t$,
解得$t=12$,
此时点P对应的数为$-14+3×12=22$.
综上所述,运动时间为4秒或12秒,点P对应的数为-2或22.