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8. 代数式$3a(a^2 + ab) - 6a^3b + 5a^2 + 3ab(2a^2 - a)$的值 （
A.与a,b都有关
B.只与a有关
C.只与b有关
D.与a,b都无关
B
）A.与a,b都有关
B.只与a有关
C.只与b有关
D.与a,b都无关
答案
B
$3a(a^2 + ab) -6a^3b +5a^2 +3ab(2a^2 -a) = 3a^3 + 3a^2b -6a^3b +5a^2 +6a^3b -3a^2b = 3a^3 +5a^2$,
∴ 代数式$3a(a^2 + ab) -6a^3b +5a^2 +3ab(2a^2 -a)$的值只与$a$有关.
$3a(a^2 + ab) -6a^3b +5a^2 +3ab(2a^2 -a) = 3a^3 + 3a^2b -6a^3b +5a^2 +6a^3b -3a^2b = 3a^3 +5a^2$,
∴ 代数式$3a(a^2 + ab) -6a^3b +5a^2 +3ab(2a^2 -a)$的值只与$a$有关.
9. 已知$a^2 + a - 4 = 0$,则代数式$(a^2 -5)a$的值是
(
A.4
B.-4
C.2
D.-2
(
B
)A.4
B.-4
C.2
D.-2
答案
B
∵ $a^2 + a -4 =0$,
∴ $a^2 +a =4$,$a^2 =4 -a$,
∴ $(a^2 -5)a = (-a -1)a = -a^2 -a = -(a^2 +a) = -4$.
∵ $a^2 + a -4 =0$,
∴ $a^2 +a =4$,$a^2 =4 -a$,
∴ $(a^2 -5)a = (-a -1)a = -a^2 -a = -(a^2 +a) = -4$.
10. 某同学在计算一个多项式乘以$2a$时，因抄错运算符号，算成了加上$2a$，得到的结果是$a^2 + 2a -1$，那么正确的计算结果是
2a³ -2a
。答案
$2a^3 -2a$
$[(a^2 + 2a -1) -2a] · 2a = (a^2 -1) · 2a = 2a^3 -2a$.
$[(a^2 + 2a -1) -2a] · 2a = (a^2 -1) · 2a = 2a^3 -2a$.
11. [2026 北京丰台区期末]
为提升游客游园的舒适度,某公园准备在一个长为$(4a + 2b)\mathrm{m}$、宽为$(3a + 2b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的绿色观光道路(
,单位:$\mathrm{m}$),则道路的面积为
为提升游客游园的舒适度,某公园准备在一个长为$(4a + 2b)\mathrm{m}$、宽为$(3a + 2b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的绿色观光道路(
,单位:$\mathrm{m}$),则道路的面积为7ab + 3b²
$\mathrm{m}^2$.答案
$7ab + 3b^2$
根据题意,得道路的面积$=b(3a + 2b) + b(4a + 2b) -b^2 = 3ab + 2b^2 +4ab +2b^2 -b^2 = (7ab +3b^2)(\mathrm{m}^2)$.
根据题意,得道路的面积$=b(3a + 2b) + b(4a + 2b) -b^2 = 3ab + 2b^2 +4ab +2b^2 -b^2 = (7ab +3b^2)(\mathrm{m}^2)$.
12. 整体思想 若$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)$的值.
分析:因为满足$x^2y=3$的$x,y$的值较多,不可能逐一代入,故考虑整体思想,即将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24$.
若$ab=3$,请用上述方法,求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)(-2b)$的值.
分析:因为满足$x^2y=3$的$x,y$的值较多,不可能逐一代入,故考虑整体思想,即将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2 - 3x^3y -4x)=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24$.
若$ab=3$,请用上述方法,求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)(-2b)$的值.
答案
解:$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)(-2b)$
$= -4a^3b^3 +6a^2b^2 -8ab$
$= -4(ab)^3 +6(ab)^2 -8ab$.
当$ab=3$时,原式$= -4 ×3^3 +6 ×3^2 -8 ×3 = -78$.
$= -4a^3b^3 +6a^2b^2 -8ab$
$= -4(ab)^3 +6(ab)^2 -8ab$.
当$ab=3$时,原式$= -4 ×3^3 +6 ×3^2 -8 ×3 = -78$.
13. 运算能力 对$a,b$定义一种新运算:$a*b=a^2+ab-b$.如:$(-m)*(-2)=(-m)^2+(-m)·(-2)-(-2)=m^2+2m+2$,则$(-mn)*[mn*(-n)]$的值为
-m³n³ + m²n³ -n
.答案
$-m^3n^3 + m^2n^3 -n$
$(-mn) * [mn * (-n)] = (-mn) * [(mn)^2 + (mn) · (-n) - (-n)] = (-mn) * (m^2n^2 -mn^2 +n) = (-mn)^2 + (-mn)(m^2n^2 -mn^2 +n) - (m^2n^2 -mn^2 +n) = m^2n^2 -m^3n^3 +m^2n^3 -mn^2 -m^2n^2 +mn^2 -n = (m^2n^2 -m^2n^2) -m^3n^3 +m^2n^3 + (mn^2 -mn^2) -n = -m^3n^3 +m^2n^3 -n$.
$(-mn) * [mn * (-n)] = (-mn) * [(mn)^2 + (mn) · (-n) - (-n)] = (-mn) * (m^2n^2 -mn^2 +n) = (-mn)^2 + (-mn)(m^2n^2 -mn^2 +n) - (m^2n^2 -mn^2 +n) = m^2n^2 -m^3n^3 +m^2n^3 -mn^2 -m^2n^2 +mn^2 -n = (m^2n^2 -m^2n^2) -m^3n^3 +m^2n^3 + (mn^2 -mn^2) -n = -m^3n^3 +m^2n^3 -n$.
如图是两个形状、大小相同的长方形ABCD和AEFG,点E在AB边上,AB = a,BC = b,且a ＞ b ＞ 0.
(1)图1中阴影部分的面积为
(2)如图2,连接BD,DF,BF,试比较三角形ABD与三角形DFG面积的大小,并说明理由;
(3)求图2中阴影部分的面积.(用含a,b的代数式表示)
(1)图1中阴影部分的面积为
b²
;(用含a,b的代数式表示)(2)如图2,连接BD,DF,BF,试比较三角形ABD与三角形DFG面积的大小,并说明理由;
(3)求图2中阴影部分的面积.(用含a,b的代数式表示)
答案
解:(1)$b^2$
题图1中阴影部分的面积为$AE · AD = b^2$.
(2)$S_{\mathrm{三角形}ABD} ＞ S_{\mathrm{三角形}DFG}$. 理由如下:
$S_{\mathrm{三角形}ABD} = \frac{1}{2}ab$,$S_{\mathrm{三角形}DFG} = \frac{1}{2}b(a - b) = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2$.
∵ $S_{\mathrm{三角形}ABD} - S_{\mathrm{三角形}DFG} = \frac{1}{2}ab - (\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2) = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}b^2$,$a ＞ b ＞ 0$,
∴ $\frac{1}{2}b^2 ＞ 0$,
∴ $S_{\mathrm{三角形}ABD} ＞ S_{\mathrm{三角形}DFG}$.
(3)如图,延长$BC$,$GF$交于点$I$.
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{正方形}ABIG} - S_{\mathrm{三角形}ABD} - S_{\mathrm{三角形}DFG} - S_{\mathrm{三角形}BIF} = a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}(a - b)b - \frac{1}{2}a(a - b) = a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab$.
