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9 用长方体包装箱包装 12 个底面半径为$ r $、高为$ h $的圆柱体瓶子(单层齐排列)，下列排列方案中，包装箱底面长与宽的比值最小的是 (
A.$ 1 × 12 $
B.$ 2 × 6 $
C.$ 3 × 4 $
D.$ 3 × 3 $
C
)A.$ 1 × 12 $
B.$ 2 × 6 $
C.$ 3 × 4 $
D.$ 3 × 3 $
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心要点：一是排列的总瓶数=每行个数×每列个数，先排除无法容纳12个瓶子的方案；二是单层齐排列时，包装箱底面某边的长度=该边排列的圆柱个数×圆柱底面直径（2r）。要找长宽比最小的方案，即需计算各可行方案的长宽比，比较大小后选出比值最小的即可。
【解析】
首先计算圆柱底面直径：$d=2r$
1. 排除D选项：$3×3$排列总瓶数为$3×3=9＜12$，无法装下12个瓶子，直接排除。
2. 计算A选项$1×12$排列的长宽比：
长$=12×2r=24r$，宽$=1×2r=2r$，长宽比$=\frac{24r}{2r}=12$。
3. 计算B选项$2×6$排列的长宽比：
长$=6×2r=12r$，宽$=2×2r=4r$，长宽比$=\frac{12r}{4r}=3$。
4. 计算C选项$3×4$排列的长宽比：
长$=4×2r=8r$，宽$=3×2r=6r$，长宽比$=\frac{8r}{6r}=\frac{4}{3}\approx1.33$。
比较三个可行方案的长宽比：$\frac{4}{3}＜3＜12$，因此$3×4$排列的长宽比最小。
【答案】
C
【知识点】
比的计算、方案优化、有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际考查优化选择问题，解题的关键是先排除不符合总瓶数要求的方案，再正确计算各可行方案的长宽比，注意计算边长时要使用圆柱底面直径，不要误代半径。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心要点：一是排列的总瓶数=每行个数×每列个数，先排除无法容纳12个瓶子的方案；二是单层齐排列时，包装箱底面某边的长度=该边排列的圆柱个数×圆柱底面直径（2r）。要找长宽比最小的方案，即需计算各可行方案的长宽比，比较大小后选出比值最小的即可。
【解析】
首先计算圆柱底面直径：$d=2r$
1. 排除D选项：$3×3$排列总瓶数为$3×3=9＜12$，无法装下12个瓶子，直接排除。
2. 计算A选项$1×12$排列的长宽比：
长$=12×2r=24r$，宽$=1×2r=2r$，长宽比$=\frac{24r}{2r}=12$。
3. 计算B选项$2×6$排列的长宽比：
长$=6×2r=12r$，宽$=2×2r=4r$，长宽比$=\frac{12r}{4r}=3$。
4. 计算C选项$3×4$排列的长宽比：
长$=4×2r=8r$，宽$=3×2r=6r$，长宽比$=\frac{8r}{6r}=\frac{4}{3}\approx1.33$。
比较三个可行方案的长宽比：$\frac{4}{3}＜3＜12$，因此$3×4$排列的长宽比最小。
【答案】
C
【知识点】
比的计算、方案优化、有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际考查优化选择问题，解题的关键是先排除不符合总瓶数要求的方案，再正确计算各可行方案的长宽比，注意计算边长时要使用圆柱底面直径，不要误代半径。
【难度系数】
0.7
10 现有底面圆半径为10 cm、高为20 cm的圆柱体瓶子8个，用长方体包装箱包装（单层齐排列），给出如下两种排列方案：①$2×4$；②$1×8$. 则两种方案的包装箱表面积之差（不计包装纸重叠部分）为（
A.$800\ \mathrm{cm}^2$
B.$1\ 200\ \mathrm{cm}^2$
C.$1\ 600\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ 400\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$800\ \mathrm{cm}^2$
B.$1\ 200\ \mathrm{cm}^2$
C.$1\ 600\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ 400\ \mathrm{cm}^2$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先明确：圆柱底面直径为2×10=20cm，因是单层包装，包装箱的高等于圆柱的高20cm，只需根据两种排列方案分别求出包装箱的长和宽，再代入长方体表面积公式计算两个包装箱的表面积，最后求差值即可得到结果。
【解析】
首先计算圆柱底面直径：$d=2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$，包装箱的高等于圆柱的高，即$h=20\ \mathrm{cm}$。
1. 计算方案①$2×4$排列的包装箱表面积：
长$a_1=4d=4×20=80\ \mathrm{cm}$，宽$b_1=2d=2×20=40\ \mathrm{cm}$
长方体表面积公式：$S=2(ab+ah+bh)$
代入得：$S_1=2×(80×40 + 80×20 + 40×20)=2×(3200+1600+800)=2×5600=11200\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算方案②$1×8$排列的包装箱表面积：
长$a_2=8d=8×20=160\ \mathrm{cm}$，宽$b_2=d=20\ \mathrm{cm}$
代入得：$S_2=2×(160×20 + 160×20 + 20×20)=2×(3200+3200+400)=2×6800=13600\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算表面积之差：$|S_2 - S_1|=13600 - 11200=2400\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积计算，圆的半径与直径关系，实际方案设计计算
【点评】
本题结合生活中的包装场景命题，解题的核心是根据瓶子的排列规律准确推导包装箱的长宽高，再代入公式计算即可，计算时需注意不要遗漏长方体表面积公式中的系数2。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确：圆柱底面直径为2×10=20cm，因是单层包装，包装箱的高等于圆柱的高20cm，只需根据两种排列方案分别求出包装箱的长和宽，再代入长方体表面积公式计算两个包装箱的表面积，最后求差值即可得到结果。
【解析】
首先计算圆柱底面直径：$d=2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$，包装箱的高等于圆柱的高，即$h=20\ \mathrm{cm}$。
1. 计算方案①$2×4$排列的包装箱表面积：
长$a_1=4d=4×20=80\ \mathrm{cm}$，宽$b_1=2d=2×20=40\ \mathrm{cm}$
长方体表面积公式：$S=2(ab+ah+bh)$
代入得：$S_1=2×(80×40 + 80×20 + 40×20)=2×(3200+1600+800)=2×5600=11200\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算方案②$1×8$排列的包装箱表面积：
长$a_2=8d=8×20=160\ \mathrm{cm}$，宽$b_2=d=20\ \mathrm{cm}$
代入得：$S_2=2×(160×20 + 160×20 + 20×20)=2×(3200+3200+400)=2×6800=13600\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算表面积之差：$|S_2 - S_1|=13600 - 11200=2400\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积计算，圆的半径与直径关系，实际方案设计计算
【点评】
本题结合生活中的包装场景命题，解题的核心是根据瓶子的排列规律准确推导包装箱的长宽高，再代入公式计算即可，计算时需注意不要遗漏长方体表面积公式中的系数2。
【难度系数】
0.65
11 用长方体包装箱包装底面半径为$ r $的圆柱体瓶子，单层齐排列成$ m × n(m＞n) $的形式，则包装箱底面的长为
2mr
（假设长大于宽）。答案
11. 2mr
解析
【分析】
解题时首先明确圆柱底面直径和半径的关系，再结合“齐排列”的特点分析总长度的计算方法：齐排列时相邻圆柱底面相切，因此沿某一方向排列的总长度等于该方向摆放的瓶子数量乘单个圆柱的底面直径。最后结合题目给出的m＞n、长大于宽的条件，确定长对应的排列数量为m，进而求出底面长。
【解析】
解：已知圆柱体瓶子底面半径为r，因此底面直径为$d=2r$。
因为瓶子是单层齐排列，相邻圆柱的底面相切，所以沿某一排列方向的总长度等于该方向摆放的瓶子数量乘以单个底面直径。
已知排列形式为$m×n$且$m＞n$，同时要求包装箱底面长大于宽，因此较长的边（长）对应摆放m个瓶子的方向。
因此包装箱底面的长为：$m×2r=2mr$。
【答案】
$2mr$
【知识点】
圆的直径与半径关系；两圆相切的性质；列代数式
【点评】
本题结合生活中的包装场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是理解“齐排列”的几何含义，同时注意结合题干给出的大小关系确定长对应的排列数量，避免混淆m和n导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确圆柱底面直径和半径的关系，再结合“齐排列”的特点分析总长度的计算方法：齐排列时相邻圆柱底面相切，因此沿某一方向排列的总长度等于该方向摆放的瓶子数量乘单个圆柱的底面直径。最后结合题目给出的m＞n、长大于宽的条件，确定长对应的排列数量为m，进而求出底面长。
【解析】
解：已知圆柱体瓶子底面半径为r，因此底面直径为$d=2r$。
因为瓶子是单层齐排列，相邻圆柱的底面相切，所以沿某一排列方向的总长度等于该方向摆放的瓶子数量乘以单个底面直径。
已知排列形式为$m×n$且$m＞n$，同时要求包装箱底面长大于宽，因此较长的边（长）对应摆放m个瓶子的方向。
因此包装箱底面的长为：$m×2r=2mr$。
【答案】
$2mr$
【知识点】
圆的直径与半径关系；两圆相切的性质；列代数式
【点评】
本题结合生活中的包装场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是理解“齐排列”的几何含义，同时注意结合题干给出的大小关系确定长对应的排列数量，避免混淆m和n导致出错。
【难度系数】
0.8
12 某圆柱形容器的底面圆半径为r，高为h。若要制作一个长方体包装盒刚好容纳该容器，则包装盒表面积的最小值为
$8r^2+8rh$
（用含r，h的式子表示）。答案
12. $8r^2+8rh$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确刚好容纳圆柱的长方体的尺寸要求：①圆柱底面是半径为r的圆，要放入长方体底面内，长方体底面的长、宽至少要等于圆柱底面的直径2r，要使包装盒表面积最小，底面应取最小尺寸，即长和宽都等于2r（此时底面为正方形，相同外接圆的长方形中正方形面积最小，对应整体表面积最小）；②长方体的高至少要等于圆柱的高h，取h时高度最节省。确定长宽高后，代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
解：要制作刚好容纳该圆柱的长方体包装盒，且表面积最小：
1. 确定长方体的长宽高：
圆柱底面直径为$2r$，因此长方体底面最小为边长等于$2r$的正方形，即长$a=2r$，宽$b=2r$；
长方体的高等于圆柱的高，即$H=h$。
2. 计算长方体表面积：
长方体表面积公式为$S=2(ab + aH + bH)$，代入数值：
$\begin{aligned}S&=2×(2r×2r + 2r× h + 2r× h)\\&=2×(4r^2 + 2rh + 2rh)\\&=2×(4r^2 + 4rh)\\&=8r^2 + 8rh\end{aligned}$
【答案】
$8r^2+8rh$
【知识点】
长方体表面积计算；立体图形接容；最值优化
【点评】
本题解题的核心是理解“刚好容纳且表面积最小”的含义，准确推导出最小长方体的长宽高参数后再代入公式运算即可，易错点是误将长方体底面边长取为r，或者未考虑到底面取正方形时表面积最小。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确刚好容纳圆柱的长方体的尺寸要求：①圆柱底面是半径为r的圆，要放入长方体底面内，长方体底面的长、宽至少要等于圆柱底面的直径2r，要使包装盒表面积最小，底面应取最小尺寸，即长和宽都等于2r（此时底面为正方形，相同外接圆的长方形中正方形面积最小，对应整体表面积最小）；②长方体的高至少要等于圆柱的高h，取h时高度最节省。确定长宽高后，代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
解：要制作刚好容纳该圆柱的长方体包装盒，且表面积最小：
1. 确定长方体的长宽高：
圆柱底面直径为$2r$，因此长方体底面最小为边长等于$2r$的正方形，即长$a=2r$，宽$b=2r$；
长方体的高等于圆柱的高，即$H=h$。
2. 计算长方体表面积：
长方体表面积公式为$S=2(ab + aH + bH)$，代入数值：
$\begin{aligned}S&=2×(2r×2r + 2r× h + 2r× h)\\&=2×(4r^2 + 2rh + 2rh)\\&=2×(4r^2 + 4rh)\\&=8r^2 + 8rh\end{aligned}$
【答案】
$8r^2+8rh$
【知识点】
长方体表面积计算；立体图形接容；最值优化
【点评】
本题解题的核心是理解“刚好容纳且表面积最小”的含义，准确推导出最小长方体的长宽高参数后再代入公式运算即可，易错点是误将长方体底面边长取为r，或者未考虑到底面取正方形时表面积最小。
【难度系数】
0.6
13 现有 18 个圆柱体瓶子,底面圆半径相同,高相同,用长方体包装箱单层错排列包装.若要使包装箱表面积最小,最合理的排列方式是
3×6(或6×3)
（用 $ m× n $ 的形式表示）.答案
13. 3×6(或6×3)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：单层包装时包装箱的高等于圆柱的高，是固定值，因此包装箱表面积最小等价于包装箱底面长方形的面积与（长+宽）的加权和最小。首先列出所有乘积为18的正整数排列组合，再结合错排列的几何特点，用勾股定理计算不同排列下底面的长、宽，通过比较对应数值的大小即可找到最优排列方式。
【解析】
设圆柱底面半径为$r$，高为$h$，则包装箱的高恒为$h$（定值），长方体表面积$S=2(ab + ah + bh)$，因此要使$S$最小，只需使$ab + h(a+b)$最小（$a$为底面长，$b$为底面宽）。
首先列出所有乘积为18的正整数排列组合：$1×18$、$2×9$、$3×6$（$6×3$与$3×6$仅长宽互换，表面积相同），分别计算如下：
1. $1×18$排列：仅1行共18个圆柱，宽$b=2r$，长$a=2×18r=36r$，对应$ab + h(a+b)=72r^2 + 38rh$。
2. $2×9$排列：2行每行9个，相邻两行圆心竖直距离由勾股定理得$\sqrt{(2r)^2 - r^2}=\sqrt{3}r$，因此宽$b=2r + (2-1)\sqrt{3}r\approx3.732r$，长$a=2×9r=18r$，对应$ab + h(a+b)\approx67.176r^2 + 21.732rh$。
3. $3×6$排列：3行每行6个，宽$b=2r + (3-1)\sqrt{3}r\approx5.464r$，长$a=2×6r=12r$，对应$ab + h(a+b)\approx65.568r^2 + 17.464rh$。
比较三组数值，$3×6$排列的对应数值最小，即表面积最小。
【答案】
$3×6$(或$6×3$)
【知识点】
优化问题，勾股定理应用，圆与圆的位置关系
【点评】
本题结合生活中的包装场景，要求学生将实际的表面积最小问题转化为几何最值问题，同时需要掌握错排场景下的长度计算方法，很好地考查了学生的数学建模能力和计算比较能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确：单层包装时包装箱的高等于圆柱的高，是固定值，因此包装箱表面积最小等价于包装箱底面长方形的面积与（长+宽）的加权和最小。首先列出所有乘积为18的正整数排列组合，再结合错排列的几何特点，用勾股定理计算不同排列下底面的长、宽，通过比较对应数值的大小即可找到最优排列方式。
【解析】
设圆柱底面半径为$r$，高为$h$，则包装箱的高恒为$h$（定值），长方体表面积$S=2(ab + ah + bh)$，因此要使$S$最小，只需使$ab + h(a+b)$最小（$a$为底面长，$b$为底面宽）。
首先列出所有乘积为18的正整数排列组合：$1×18$、$2×9$、$3×6$（$6×3$与$3×6$仅长宽互换，表面积相同），分别计算如下：
1. $1×18$排列：仅1行共18个圆柱，宽$b=2r$，长$a=2×18r=36r$，对应$ab + h(a+b)=72r^2 + 38rh$。
2. $2×9$排列：2行每行9个，相邻两行圆心竖直距离由勾股定理得$\sqrt{(2r)^2 - r^2}=\sqrt{3}r$，因此宽$b=2r + (2-1)\sqrt{3}r\approx3.732r$，长$a=2×9r=18r$，对应$ab + h(a+b)\approx67.176r^2 + 21.732rh$。
3. $3×6$排列：3行每行6个，宽$b=2r + (3-1)\sqrt{3}r\approx5.464r$，长$a=2×6r=12r$，对应$ab + h(a+b)\approx65.568r^2 + 17.464rh$。
比较三组数值，$3×6$排列的对应数值最小，即表面积最小。
【答案】
$3×6$(或$6×3$)
【知识点】
优化问题，勾股定理应用，圆与圆的位置关系
【点评】
本题结合生活中的包装场景，要求学生将实际的表面积最小问题转化为几何最值问题，同时需要掌握错排场景下的长度计算方法，很好地考查了学生的数学建模能力和计算比较能力。
【难度系数】
0.6
14“立体图形的实际应用”——饮料瓶包装的最省料设计：
现有底面圆半径$r=30\ \mathrm{mm}$、高$h=100\ \mathrm{mm}$的圆柱体饮料瓶12个，用长方体包装箱单层齐排列包装，有几种齐排列方案？分别计算每种方案的包装箱表面积（不计包装纸重叠部分），并找出最省料的方案。
现有底面圆半径$r=30\ \mathrm{mm}$、高$h=100\ \mathrm{mm}$的圆柱体饮料瓶12个，用长方体包装箱单层齐排列包装，有几种齐排列方案？分别计算每种方案的包装箱表面积（不计包装纸重叠部分），并找出最省料的方案。
答案
14. 齐排列方案有$1×12,2×6,3×4,4×3,6×2,12×1$,共6种,只需计算以下3种,即$1×12,2×6,3×4$. 方案1:$1×12$,长$=12×2r=720\ \mathrm{mm}$,宽$=2r=60\ \mathrm{mm}$,表面积$S_1=2(720×60+720×100+60×100)=2×121\ 200=242\ 400(\mathrm{mm}^2)$;方案2:$2×6$,长$=6×2r=360\ \mathrm{mm}$,宽$=2×2r=120\ \mathrm{mm}$,表面积$S_2=2(360×120+360×100+120×100)=2×91\ 200=182\ 400(\mathrm{mm}^2)$;方案3:$3×4$,长$=4×2r=240\ \mathrm{mm}$,宽$=3×2r=180\ \mathrm{mm}$,表面积$S_3=2(240×180+240×100+180×100)=2×85\ 200=170\ 400(\mathrm{mm}^2)$.$\because 170\ 400＜182\ 400＜242\ 400$,$\therefore$ 最省料的方案为按$3×4$(或$4×3$)排列,表面积最小为$170\ 400\ \mathrm{mm}^2$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，12个圆柱体单层齐排列，本质是将12分解为两个正整数的乘积，分别对应排列的行数和列数，其中行数和列数互换的方案对应的包装箱仅长、宽互换，表面积完全相同，无需重复计算；其次，每个圆柱体的底面直径为2r=60mm，包装箱的长对应列数×直径，宽对应行数×直径，高固定为饮料瓶的高度100mm；最后利用长方体表面积公式分别计算不同方案的表面积，比较数值大小即可找到最省料的方案。
【解析】
第一步：确定排列方案
将12拆分为两个正整数的乘积，可得1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1共6种排列方案，其中行数和列数互换的方案表面积相同，只需计算3种不同情况：
已知底面半径r=30mm，得底面直径d=2r=60mm，瓶高h=100mm。
第二步：分别计算各方案表面积
方案1：1×12排列
包装箱长=12×60=720mm，宽=1×60=60mm，高=100mm
表面积$S_1=2×(720×60 + 720×100 + 60×100)=2×121200=242400\ \mathrm{mm}^2$
方案2：2×6排列
包装箱长=6×60=360mm，宽=2×60=120mm，高=100mm
表面积$S_2=2×(360×120 + 360×100 + 120×100)=2×91200=182400\ \mathrm{mm}^2$
方案3：3×4排列
包装箱长=4×60=240mm，宽=3×60=180mm，高=100mm
表面积$S_3=2×(240×180 + 240×100 + 180×100)=2×85200=170400\ \mathrm{mm}^2$
第三步：对比选优
因为$170400＜182400＜242400$，因此3×4（或4×3）排列的方案最省料。
【答案】
共有6种齐排列方案；1×12（或12×1）排列表面积为$242400\ \mathrm{mm}^2$，2×6（或6×2）排列表面积为$182400\ \mathrm{mm}^2$，3×4（或4×3）排列表面积为$170400\ \mathrm{mm}^2$；最省料的方案为按3×4（或4×3）排列，最小表面积为$170400\ \mathrm{mm}^2$。
【知识点】
长方体表面积计算、因数分解、最值求解
【点评】
本题结合生活中的包装设计场景，考查分类讨论思想和几何计算的实际应用能力，需要先有序列举所有排列方案，再通过计算对比得到最优解，能有效提升将数学知识应用到实际场景的意识。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，12个圆柱体单层齐排列，本质是将12分解为两个正整数的乘积，分别对应排列的行数和列数，其中行数和列数互换的方案对应的包装箱仅长、宽互换，表面积完全相同，无需重复计算；其次，每个圆柱体的底面直径为2r=60mm，包装箱的长对应列数×直径，宽对应行数×直径，高固定为饮料瓶的高度100mm；最后利用长方体表面积公式分别计算不同方案的表面积，比较数值大小即可找到最省料的方案。
【解析】
第一步：确定排列方案
将12拆分为两个正整数的乘积，可得1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1共6种排列方案，其中行数和列数互换的方案表面积相同，只需计算3种不同情况：
已知底面半径r=30mm，得底面直径d=2r=60mm，瓶高h=100mm。
第二步：分别计算各方案表面积
方案1：1×12排列
包装箱长=12×60=720mm，宽=1×60=60mm，高=100mm
表面积$S_1=2×(720×60 + 720×100 + 60×100)=2×121200=242400\ \mathrm{mm}^2$
方案2：2×6排列
包装箱长=6×60=360mm，宽=2×60=120mm，高=100mm
表面积$S_2=2×(360×120 + 360×100 + 120×100)=2×91200=182400\ \mathrm{mm}^2$
方案3：3×4排列
包装箱长=4×60=240mm，宽=3×60=180mm，高=100mm
表面积$S_3=2×(240×180 + 240×100 + 180×100)=2×85200=170400\ \mathrm{mm}^2$
第三步：对比选优
因为$170400＜182400＜242400$，因此3×4（或4×3）排列的方案最省料。
【答案】
共有6种齐排列方案；1×12（或12×1）排列表面积为$242400\ \mathrm{mm}^2$，2×6（或6×2）排列表面积为$182400\ \mathrm{mm}^2$，3×4（或4×3）排列表面积为$170400\ \mathrm{mm}^2$；最省料的方案为按3×4（或4×3）排列，最小表面积为$170400\ \mathrm{mm}^2$。
【知识点】
长方体表面积计算、因数分解、最值求解
【点评】
本题结合生活中的包装设计场景，考查分类讨论思想和几何计算的实际应用能力，需要先有序列举所有排列方案，再通过计算对比得到最优解，能有效提升将数学知识应用到实际场景的意识。
【难度系数】
0.7
