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10. 如图,在$\odot O$中,若$AB=CD$,则下列判断错误的是 (
A.$AB=CD$
B.$AC=CB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$∠ AOC=∠ BOD$
B
)A.$AB=CD$
B.$AC=CB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$∠ AOC=∠ BOD$
答案
10.B
解析
【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，解题时先从已知条件$AB=CD$入手，根据同圆内相等的弦对应相等的弧，得到$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$相等，再减去公共的$\overset{\frown}{BC}$，推出剩余的$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$相等，再根据弧相等推导对应的圆心角、弦的关系，逐一验证选项即可，注意题目要求选出错误的判断。
【解析】
解：在$\odot O$中，已知$AB=CD$：
1. 选项A：$AB=CD$是题目给出的已知条件，判断正确，不符合题意；
2. 根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，等式两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故选项C判断正确，不符合题意；
3. 根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$，故选项D判断正确，不符合题意；
4. 现有已知条件无法推出$AC$与$CB$相等，故选项B判断错误，符合题意。
综上，本题选错误的选项，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.同圆基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查同圆内圆心角、弧、弦三者的等价转化关系，解题时要注意公共弧的处理，同时仔细审题，明确题目要求选出错误选项，避免因大意选错。
【难度系数】
0.8
本题考查同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，解题时先从已知条件$AB=CD$入手，根据同圆内相等的弦对应相等的弧，得到$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$相等，再减去公共的$\overset{\frown}{BC}$，推出剩余的$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$相等，再根据弧相等推导对应的圆心角、弦的关系，逐一验证选项即可，注意题目要求选出错误的判断。
【解析】
解：在$\odot O$中，已知$AB=CD$：
1. 选项A：$AB=CD$是题目给出的已知条件，判断正确，不符合题意；
2. 根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，等式两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故选项C判断正确，不符合题意；
3. 根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$，故选项D判断正确，不符合题意；
4. 现有已知条件无法推出$AC$与$CB$相等，故选项B判断错误，符合题意。
综上，本题选错误的选项，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.同圆基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查同圆内圆心角、弧、弦三者的等价转化关系，解题时要注意公共弧的处理，同时仔细审题，明确题目要求选出错误选项，避免因大意选错。
【难度系数】
0.8
11.如图,已知在$\odot O$中,$AB=2CD$,则弦$AB$和$2CD$的大小关系是 （
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.不能确定
C
）A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.不能确定
答案
11.C
解析
【分析】
要比较弦AB和2CD的大小，直接比较无法得出结论，可借助圆中弧与弦的对应关系转化：先在圆上构造两段相等的弧，且每段弧长等于弧CD，得到两段长度均为CD的弦，再结合三角形三边关系得到2CD与这两段弧对应的总弦长的大小关系，最后通过弧的等量关系推导总弦长与AB的关系，即可得出结果。
【解析】
解：在$\odot O$上取点E，使$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦的性质，可得弦$DE=CD$，因此$2CD=CD+DE$，且$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=2\overset{\frown}{CD}$。
连接$CE$，在$△ CDE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得$CD+DE＞CE$，即$2CD＞CE$。
由题意$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CE}$，根据同圆中等弧对等弦的性质，得$AB=CE$。
综上可得$AB＜2CD$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧弦圆心角的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题，解题核心是通过构造等弧将未知量转化为可利用三角形三边关系比较的形式，考查了对圆的基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较弦AB和2CD的大小，直接比较无法得出结论，可借助圆中弧与弦的对应关系转化：先在圆上构造两段相等的弧，且每段弧长等于弧CD，得到两段长度均为CD的弦，再结合三角形三边关系得到2CD与这两段弧对应的总弦长的大小关系，最后通过弧的等量关系推导总弦长与AB的关系，即可得出结果。
【解析】
解：在$\odot O$上取点E，使$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦的性质，可得弦$DE=CD$，因此$2CD=CD+DE$，且$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=2\overset{\frown}{CD}$。
连接$CE$，在$△ CDE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得$CD+DE＞CE$，即$2CD＞CE$。
由题意$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CE}$，根据同圆中等弧对等弦的性质，得$AB=CE$。
综上可得$AB＜2CD$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧弦圆心角的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题，解题核心是通过构造等弧将未知量转化为可利用三角形三边关系比较的形式，考查了对圆的基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，AB是$\odot O$的直径，BC，CD，DA是$\odot O$的弦.若$BC=CD=DA=6$，则$\odot O$的直径AB为
12
.答案
12.12
解析
【分析】
解题时先结合已知条件“BC=CD=DA”，回忆同圆中弦与弧的对应关系：相等的弦所对的弧相等，可得三段弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{BC}$度数相等。再结合AB是直径，可知半圆对应的弧度数为180°，由此可算出每段弧对应的圆心角为60°。接下来连接OD、OC，利用半径相等+60°圆心角，可判定得到的三个三角形都是等边三角形，从而得到半径长度，最终算出直径AB的长度。
【解析】
连接OC、OD。
∵ 在$\odot O$中，$BC=CD=DA$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中相等的弦所对的弧相等）。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
∴ $∠ AOD=∠ COD=∠ BOC=180°÷3=60°$。
又
∵ $OA=OD=OC=OB$（均为$\odot O$的半径），
∴ $△ AOD$、$△ COD$、$△ BOC$均为等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴ $OA=AD=6$，
∴ 直径$AB=2OA=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等边三角形的判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题考查圆的相关性质与等边三角形判定的结合应用，解题的突破口是通过等弦推导得到等弧，进而得到60°的圆心角构造等边三角形，解题思路清晰，属于圆章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件“BC=CD=DA”，回忆同圆中弦与弧的对应关系：相等的弦所对的弧相等，可得三段弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{BC}$度数相等。再结合AB是直径，可知半圆对应的弧度数为180°，由此可算出每段弧对应的圆心角为60°。接下来连接OD、OC，利用半径相等+60°圆心角，可判定得到的三个三角形都是等边三角形，从而得到半径长度，最终算出直径AB的长度。
【解析】
连接OC、OD。
∵ 在$\odot O$中，$BC=CD=DA$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中相等的弦所对的弧相等）。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
∴ $∠ AOD=∠ COD=∠ BOC=180°÷3=60°$。
又
∵ $OA=OD=OC=OB$（均为$\odot O$的半径），
∴ $△ AOD$、$△ COD$、$△ BOC$均为等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴ $OA=AD=6$，
∴ 直径$AB=2OA=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等边三角形的判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题考查圆的相关性质与等边三角形判定的结合应用，解题的突破口是通过等弦推导得到等弧，进而得到60°的圆心角构造等边三角形，解题思路清晰，属于圆章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
13.如图,某城市新建了一座圆形观景台,台边设置了$A,B,C,D$四个观景位,已知观景台边缘$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,观景位$A$与$B$之间的直线距离为24,观景位$C$与$D$之间的直线距离为13,则这座圆形观景台的半径是
16.9
.答案
13.16.9
解析
【分析】
解题时先结合弧的倍数关系设对应圆心角，再利用垂径定理构造直角三角形，结合三角函数关系消去角度即可求出半径。首先设弧CD对应的圆心角为α，则弧AB对应的圆心角为2α，圆的半径为R；根据垂径定理，弦长的一半、半径、弦心距可构成直角三角形，据此可分别得到α、$\frac{α}{2}$的正弦值与R的关系；最后结合三角函数的二倍角公式和同角三角函数的平方关系，消去角度参数就能解出R的值。
【解析】
设圆形观景台的圆心为O，半径为R，$∠ COD=α$，由$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$可得$∠ AOB=2α$。
1. 过O作$OE⊥ AB$于点E，根据垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=12$，且$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=α$。
在$Rt△ AOE$中，$\sinα=\frac{AE}{OA}=\frac{12}{R}$。
2. 过O作$OF⊥ CD$于点F，根据垂径定理得$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{13}{2}$，且$∠ COF=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{α}{2}$。
在$Rt△ COF$中，$\sin\frac{α}{2}=\frac{CF}{OC}=\frac{13}{2R}$。
3. 代入二倍角公式$\sinα=2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}$得：
$\frac{12}{R}=2×\frac{13}{2R}×\cos\frac{α}{2}$，约去R后解得$\cos\frac{α}{2}=\frac{12}{13}$。
4. 结合同角三角函数关系$\sin^2\frac{α}{2}+\cos^2\frac{α}{2}=1$，代入已知值：
$(\frac{13}{2R})^2+(\frac{12}{13})^2=1$
计算得$\frac{169}{4R^2}=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$，交叉相乘得$100R^2=169^2$，解得$R=\frac{169}{10}=16.9$（半径取正值）。
【答案】
16.9
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系，三角函数应用
【点评】
本题将圆的基本性质和三角函数结合考查，解题核心是通过弧的倍数关系建立圆心角的联系，再用垂径定理构造直角三角形转化弦长条件，结合三角函数公式消参求解，要求熟练掌握垂径定理和基础三角函数变换。
【难度系数】
0.65
解题时先结合弧的倍数关系设对应圆心角，再利用垂径定理构造直角三角形，结合三角函数关系消去角度即可求出半径。首先设弧CD对应的圆心角为α，则弧AB对应的圆心角为2α，圆的半径为R；根据垂径定理，弦长的一半、半径、弦心距可构成直角三角形，据此可分别得到α、$\frac{α}{2}$的正弦值与R的关系；最后结合三角函数的二倍角公式和同角三角函数的平方关系，消去角度参数就能解出R的值。
【解析】
设圆形观景台的圆心为O，半径为R，$∠ COD=α$，由$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$可得$∠ AOB=2α$。
1. 过O作$OE⊥ AB$于点E，根据垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=12$，且$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=α$。
在$Rt△ AOE$中，$\sinα=\frac{AE}{OA}=\frac{12}{R}$。
2. 过O作$OF⊥ CD$于点F，根据垂径定理得$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{13}{2}$，且$∠ COF=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{α}{2}$。
在$Rt△ COF$中，$\sin\frac{α}{2}=\frac{CF}{OC}=\frac{13}{2R}$。
3. 代入二倍角公式$\sinα=2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}$得：
$\frac{12}{R}=2×\frac{13}{2R}×\cos\frac{α}{2}$，约去R后解得$\cos\frac{α}{2}=\frac{12}{13}$。
4. 结合同角三角函数关系$\sin^2\frac{α}{2}+\cos^2\frac{α}{2}=1$，代入已知值：
$(\frac{13}{2R})^2+(\frac{12}{13})^2=1$
计算得$\frac{169}{4R^2}=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$，交叉相乘得$100R^2=169^2$，解得$R=\frac{169}{10}=16.9$（半径取正值）。
【答案】
16.9
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系，三角函数应用
【点评】
本题将圆的基本性质和三角函数结合考查，解题核心是通过弧的倍数关系建立圆心角的联系，再用垂径定理构造直角三角形转化弦长条件，结合三角函数公式消参求解，要求熟练掌握垂径定理和基础三角函数变换。
【难度系数】
0.65
14. 如图，点O是扇形OAB的圆心，$∠ AOB=90°$，C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F. 求证：$AE=BF=CD$.
答案
证明:连接AC,BD.$\because C,D是\overset{\frown}{AB}的三等分点,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}.\therefore AC=CD=DB.又\because ∠ AOB=90°,\therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×90°=30°.\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45°.\therefore ∠ AEC=∠ AOC+∠ OAB=30°+45°=75°.在△ AOC中,\because OA=OC,\therefore ∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°.\therefore ∠ AEC=∠ ACO.\therefore AE=AC.同理可得,BF=BD.\therefore AE=BF=CD.$
解析
【分析】
要证明AE=BF=CD，可通过等量代换分步推导：首先由C、D是弧AB的三等分点，根据同圆中相等的弧对应相等的弦，可得AC=CD=BD，因此只需再证明AE=AC、BF=BD即可。要证明两条线段相等，可通过证明线段对应的角相等实现：先利用等腰直角三角形的性质求出∠OAB、∠OBA的度数，再结合三等分角得到各圆心角的度数，通过等腰三角形内角计算和三角形外角性质，得到∠AEC=∠ACO、∠BFD=∠BDO，即可由等角对等边得到AE=AC、BF=BD，最后通过等量代换得到最终结论。
【解析】
证明：连接AC、BD。
∵C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴AC=CD=DB。
又
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=$\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{180°-90°}{2}=45°$。
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°。
在△AOC中，
∵OA=OC，
∴∠ACO=$\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴∠AEC=∠ACO，
∴AE=AC。
同理可得BF=BD。
∴AE=BF=CD。
【答案】
AE=BF=CD
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的典型证明题，解题的核心是通过添加辅助线AC、BD，将待证的线段相等关系转化为可通过角度推导证明的等角对等边关系，既考查了圆的基础性质，也考查了三角形角度计算的相关知识，解题时注意等量代换思想的运用。
【难度系数】
0.6
要证明AE=BF=CD，可通过等量代换分步推导：首先由C、D是弧AB的三等分点，根据同圆中相等的弧对应相等的弦，可得AC=CD=BD，因此只需再证明AE=AC、BF=BD即可。要证明两条线段相等，可通过证明线段对应的角相等实现：先利用等腰直角三角形的性质求出∠OAB、∠OBA的度数，再结合三等分角得到各圆心角的度数，通过等腰三角形内角计算和三角形外角性质，得到∠AEC=∠ACO、∠BFD=∠BDO，即可由等角对等边得到AE=AC、BF=BD，最后通过等量代换得到最终结论。
【解析】
证明：连接AC、BD。
∵C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴AC=CD=DB。
又
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=$\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{180°-90°}{2}=45°$。
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°。
在△AOC中，
∵OA=OC，
∴∠ACO=$\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴∠AEC=∠ACO，
∴AE=AC。
同理可得BF=BD。
∴AE=BF=CD。
【答案】
AE=BF=CD
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的典型证明题，解题的核心是通过添加辅助线AC、BD，将待证的线段相等关系转化为可通过角度推导证明的等角对等边关系，既考查了圆的基础性质，也考查了三角形角度计算的相关知识，解题时注意等量代换思想的运用。
【难度系数】
0.6
15.如图，$\odot O$的半径$OA⊥ OC$，$OA=4$，点$D$在$\overset{\frown}{AC}$上，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，连接$OD$，$AD$。
(1)求$∠ COD$的度数；
(2)求弦$AD$的长；
(3)$P$是半径$OC$上一动点，连接$AP$，$PD$，请求出$AP+PD$的最小值，并说明理由。
备用图
(1)求$∠ COD$的度数；
(2)求弦$AD$的长；
(3)$P$是半径$OC$上一动点，连接$AP$，$PD$，请求出$AP+PD$的最小值，并说明理由。
备用图
答案
解:(1)$\because OA⊥ OC,\therefore ∠ AOC=90°.\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ AOD=2∠ COD.\therefore ∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=30°.$
(2)由(1)知,$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°,\because OA=OD,\therefore △ AOD为等边三角形.\therefore AD=OA=4.$
(3)过点D作DE⊥OC,交$\odot O$于点E,连接AE,交OD,OC于点B,P,此时AP+PD最小.连接OE,易知OC是DE的垂直平分线,$\therefore PD=PE.\therefore AP+PD=AP+PE=AE.$由(1)知,$∠ COD=30°,\therefore ∠ COD=∠ COE=30°.\therefore ∠ DOE=60°.\because AO=OE,∠ AOD=∠ DOE=60°,\therefore OB⊥ AE,AB=BE.$在Rt$△ AOB$中,$\because ∠ AOB=60°,\therefore ∠ OAB=30°.\because OA=4,\therefore OB=\frac{1}{2}OA=2.\therefore AB=2\sqrt{3},\therefore BE=2\sqrt{3}.\therefore AE=4\sqrt{3}.\therefore AP+PD的最小值为4\sqrt{3}.$
(2)由(1)知,$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°,\because OA=OD,\therefore △ AOD为等边三角形.\therefore AD=OA=4.$
(3)过点D作DE⊥OC,交$\odot O$于点E,连接AE,交OD,OC于点B,P,此时AP+PD最小.连接OE,易知OC是DE的垂直平分线,$\therefore PD=PE.\therefore AP+PD=AP+PE=AE.$由(1)知,$∠ COD=30°,\therefore ∠ COD=∠ COE=30°.\therefore ∠ DOE=60°.\because AO=OE,∠ AOD=∠ DOE=60°,\therefore OB⊥ AE,AB=BE.$在Rt$△ AOB$中,$\because ∠ AOB=60°,\therefore ∠ OAB=30°.\because OA=4,\therefore OB=\frac{1}{2}OA=2.\therefore AB=2\sqrt{3},\therefore BE=2\sqrt{3}.\therefore AE=4\sqrt{3}.\therefore AP+PD的最小值为4\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 先根据OA⊥OC得到∠AOC=90°，同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$可得∠AOD=2∠COD，两个角的和为90°，即可求出∠COD的度数。
(2) 由(1)得出∠AOD的度数，结合OA、OD都是圆的半径长度相等，可判定△AOD是等边三角形，根据等边三角形三边相等即可得到AD的长。
(3) 本题属于“将军饮马”最短路径问题，OC为定直线，P是OC上的动点，要使AP+PD最小，作D关于OC的对称点E（根据圆的对称性，E在$\odot O$上），则PD=PE，AP+PD转化为AP+PE，根据两点之间线段最短，AE的长度就是AP+PD的最小值，再结合圆心角的度数和勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1) $\because OA⊥ OC$，$\therefore ∠ AOC=90°$。
$\because$ 同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore ∠ AOD=2∠ COD$。
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{1}{3}×90°=30°$。
(2) 由(1)可知$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°$，
又$\because OA=OD$（都是$\odot O$的半径），$\therefore △ AOD$是等边三角形，
$\therefore AD=OA=4$。
(3) 过点D作$DE⊥ OC$，交$\odot O$于点E，连接AE，交OC于点P，此时$AP+PD$最小，理由如下：
连接OE，$\because OC⊥ DE$，根据垂径定理可知OC垂直平分DE，$\therefore PD=PE$，
$\therefore AP+PD=AP+PE$，根据两点之间线段最短，此时$AP+PE=AE$为最小值。
由对称性可知$∠ COE=∠ COD=30°$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=90°+30°=120°$，
$\because OA=OE=4$，过O作$OB⊥ AE$于点B，则$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOE=60°$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ OAB=30°$，$\therefore OB=\frac{1}{2}OA=2$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AE=2AB=4\sqrt{3}$，即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠ COD=30°$；(2) $AD=4$；(3) $AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系；2. 等边三角形的判定与性质；3. 最短路径问题
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的性质以及轴对称求最短路径的应用，前两问为基础考查，第三问需要结合几何模型转化线段长度，能有效检验学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据OA⊥OC得到∠AOC=90°，同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$可得∠AOD=2∠COD，两个角的和为90°，即可求出∠COD的度数。
(2) 由(1)得出∠AOD的度数，结合OA、OD都是圆的半径长度相等，可判定△AOD是等边三角形，根据等边三角形三边相等即可得到AD的长。
(3) 本题属于“将军饮马”最短路径问题，OC为定直线，P是OC上的动点，要使AP+PD最小，作D关于OC的对称点E（根据圆的对称性，E在$\odot O$上），则PD=PE，AP+PD转化为AP+PE，根据两点之间线段最短，AE的长度就是AP+PD的最小值，再结合圆心角的度数和勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1) $\because OA⊥ OC$，$\therefore ∠ AOC=90°$。
$\because$ 同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore ∠ AOD=2∠ COD$。
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{1}{3}×90°=30°$。
(2) 由(1)可知$∠ AOD=2∠ COD=2×30°=60°$，
又$\because OA=OD$（都是$\odot O$的半径），$\therefore △ AOD$是等边三角形，
$\therefore AD=OA=4$。
(3) 过点D作$DE⊥ OC$，交$\odot O$于点E，连接AE，交OC于点P，此时$AP+PD$最小，理由如下：
连接OE，$\because OC⊥ DE$，根据垂径定理可知OC垂直平分DE，$\therefore PD=PE$，
$\therefore AP+PD=AP+PE$，根据两点之间线段最短，此时$AP+PE=AE$为最小值。
由对称性可知$∠ COE=∠ COD=30°$，$\therefore ∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=90°+30°=120°$，
$\because OA=OE=4$，过O作$OB⊥ AE$于点B，则$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOE=60°$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ OAB=30°$，$\therefore OB=\frac{1}{2}OA=2$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AE=2AB=4\sqrt{3}$，即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠ COD=30°$；(2) $AD=4$；(3) $AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系；2. 等边三角形的判定与性质；3. 最短路径问题
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的性质以及轴对称求最短路径的应用，前两问为基础考查，第三问需要结合几何模型转化线段长度，能有效检验学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
