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1.在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=cx+a$与二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能是 (
C
)答案
1.C
A项,由抛物线得$a＜0,c＞0$,由直线得$c＜0,a＜0$,矛盾;B项,由抛物线得$a＜0,c＜0$,由直线得$c＞0,a＞0$,矛盾;C项,由抛物线得$a＞0,c＜0$,由直线得$c＜0,a＞0$,符合题意;D项,由抛物线得$a＞0,c＞0$,由直线得$c＞0$,$a＜0$,矛盾.故选 C.
A项,由抛物线得$a＜0,c＞0$,由直线得$c＜0,a＜0$,矛盾;B项,由抛物线得$a＜0,c＜0$,由直线得$c＞0,a＞0$,矛盾;C项,由抛物线得$a＞0,c＜0$,由直线得$c＜0,a＞0$,符合题意;D项,由抛物线得$a＞0,c＞0$,由直线得$c＞0$,$a＜0$,矛盾.故选 C.
解析
【分析】
解决此类一次函数与二次函数图象共存问题，核心是利用函数图象与系数的对应关系，采用排除法解题：首先明确两个函数中参数a、c的符号分别对应图象的特征：二次函数$y=ax^2+bx+c$中，a的符号决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），c的符号决定抛物线与y轴交点的位置（$c＞0$交y轴正半轴，$c＜0$交y轴负半轴）；一次函数$y=cx+a$中，c的符号决定直线的增减性（$c＞0$直线从左下向右上上升，$c＜0$直线从左上向右下下降），a的符号决定直线与y轴交点的位置（$a＞0$交y轴正半轴，$a＜0$交y轴负半轴）。对每个选项，先从抛物线提取a、c的符号，再验证直线对应的a、c符号是否一致，矛盾的选项直接排除，一致的即为正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A项：抛物线开口向下，可得$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$。观察直线：直线呈下降趋势，说明斜率$c＜0$；直线与y轴交于负半轴，说明截距$a＜0$，二者c的符号矛盾，排除A。
B项：抛物线开口向下，可得$a＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，可得$c＜0$。观察直线：直线呈上升趋势，说明斜率$c＞0$；直线与y轴交于正半轴，说明截距$a＞0$，a、c的符号均矛盾，排除B。
C项：抛物线开口向上，可得$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，可得$c＜0$。观察直线：直线呈下降趋势，说明斜率$c＜0$；直线与y轴交于正半轴，说明截距$a＞0$，a、c的符号均一致，符合要求。
D项：抛物线开口向上，可得$a＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$。观察直线：直线呈上升趋势，说明斜率$c＞0$；但直线与y轴交于负半轴，说明截距$a＜0$，a的符号矛盾，排除D。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象性质
3. 排除法解图象题
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题型，解题关键是熟练掌握函数系数和图象特征的对应关系，通过对比同个参数在不同函数图象中的符号是否一致即可快速判断，能有效考查对函数图象性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解决此类一次函数与二次函数图象共存问题，核心是利用函数图象与系数的对应关系，采用排除法解题：首先明确两个函数中参数a、c的符号分别对应图象的特征：二次函数$y=ax^2+bx+c$中，a的符号决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），c的符号决定抛物线与y轴交点的位置（$c＞0$交y轴正半轴，$c＜0$交y轴负半轴）；一次函数$y=cx+a$中，c的符号决定直线的增减性（$c＞0$直线从左下向右上上升，$c＜0$直线从左上向右下下降），a的符号决定直线与y轴交点的位置（$a＞0$交y轴正半轴，$a＜0$交y轴负半轴）。对每个选项，先从抛物线提取a、c的符号，再验证直线对应的a、c符号是否一致，矛盾的选项直接排除，一致的即为正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A项：抛物线开口向下，可得$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$。观察直线：直线呈下降趋势，说明斜率$c＜0$；直线与y轴交于负半轴，说明截距$a＜0$，二者c的符号矛盾，排除A。
B项：抛物线开口向下，可得$a＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，可得$c＜0$。观察直线：直线呈上升趋势，说明斜率$c＞0$；直线与y轴交于正半轴，说明截距$a＞0$，a、c的符号均矛盾，排除B。
C项：抛物线开口向上，可得$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，可得$c＜0$。观察直线：直线呈下降趋势，说明斜率$c＜0$；直线与y轴交于正半轴，说明截距$a＞0$，a、c的符号均一致，符合要求。
D项：抛物线开口向上，可得$a＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$。观察直线：直线呈上升趋势，说明斜率$c＞0$；但直线与y轴交于负半轴，说明截距$a＜0$，a的符号矛盾，排除D。
综上，只有C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象性质
3. 排除法解图象题
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题型，解题关键是熟练掌握函数系数和图象特征的对应关系，通过对比同个参数在不同函数图象中的符号是否一致即可快速判断，能有效考查对函数图象性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
2.「2026陕西商洛山阳期中」在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b(a,b$均不为$0)$与二次函数$y=bx^2 - ax$的图象可能是（
D
）答案
2.D
A.由二次函数图象可知,$b＜0,-a＞0$,则$a＜0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＞0$,矛盾,不符合题意;
B.由二次函数图象可知,$b＜0,-a＞0$,则$a＜0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＜0$,矛盾,不符合题意;
C.由二次函数图象可知,$b＞0,-a＜0$,则$a＞0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＜0$,矛盾,不符合题意;
D.由二次函数图象可知,$b＞0,-a＜0$,则$a＞0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＞0$,符合题意.故选 D.
A.由二次函数图象可知,$b＜0,-a＞0$,则$a＜0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＞0$,矛盾,不符合题意;
B.由二次函数图象可知,$b＜0,-a＞0$,则$a＜0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＜0$,矛盾,不符合题意;
C.由二次函数图象可知,$b＞0,-a＜0$,则$a＞0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＜0$,矛盾,不符合题意;
D.由二次函数图象可知,$b＞0,-a＜0$,则$a＞0$,由一次函数图象可知,$a＞0,b＞0$,符合题意.故选 D.
解析
【分析】
这是一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，通用解题思路为：先根据其中一类函数的图象特征推导对应系数的正负，再验证另一类函数的图象是否符合推导得到的系数特征，二者一致即为正确选项。本题可先从二次函数入手：由二次函数开口方向判断b的正负，再由对称轴位置判断a的正负，最后对比一次函数的斜率、与y轴交点是否匹配a、b的符号即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 二次函数开口向下，可得$b＜0$；对称轴在y轴右侧，由对称轴公式$x=\frac{a}{2b}＞0$，结合$b＜0$可推出$a＜0$。观察一次函数：图象上升说明斜率$a＞0$，与y轴交于正半轴说明$b＞0$，推导结果与一次函数特征矛盾，不符合题意。
B. 二次函数开口向下，可得$b＜0$；对称轴在y轴右侧，同理可推出$a＜0$。观察一次函数：图象上升说明$a＞0$，推导结果与一次函数特征矛盾，不符合题意。
C. 二次函数开口向上，可得$b＞0$；对称轴在y轴右侧，同理可推出$a＞0$。观察一次函数：与y轴交于负半轴说明$b＜0$，推导结果与一次函数特征矛盾，不符合题意。
D. 二次函数开口向上，可得$b＞0$；对称轴在y轴右侧，同理可推出$a＞0$。观察一次函数：图象上升说明$a＞0$，与y轴交于正半轴说明$b＞0$，推导结果与一次函数特征完全一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，核心考查一次函数、二次函数的图象与系数的对应关系，解题时通过逐一验证排除错误选项即可，要求学生熟练掌握函数性质、具备基本的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
这是一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，通用解题思路为：先根据其中一类函数的图象特征推导对应系数的正负，再验证另一类函数的图象是否符合推导得到的系数特征，二者一致即为正确选项。本题可先从二次函数入手：由二次函数开口方向判断b的正负，再由对称轴位置判断a的正负，最后对比一次函数的斜率、与y轴交点是否匹配a、b的符号即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 二次函数开口向下，可得$b＜0$；对称轴在y轴右侧，由对称轴公式$x=\frac{a}{2b}＞0$，结合$b＜0$可推出$a＜0$。观察一次函数：图象上升说明斜率$a＞0$，与y轴交于正半轴说明$b＞0$，推导结果与一次函数特征矛盾，不符合题意。
B. 二次函数开口向下，可得$b＜0$；对称轴在y轴右侧，同理可推出$a＜0$。观察一次函数：图象上升说明$a＞0$，推导结果与一次函数特征矛盾，不符合题意。
C. 二次函数开口向上，可得$b＞0$；对称轴在y轴右侧，同理可推出$a＞0$。观察一次函数：与y轴交于负半轴说明$b＜0$，推导结果与一次函数特征矛盾，不符合题意。
D. 二次函数开口向上，可得$b＞0$；对称轴在y轴右侧，同理可推出$a＞0$。观察一次函数：图象上升说明$a＞0$，与y轴交于正半轴说明$b＞0$，推导结果与一次函数特征完全一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，核心考查一次函数、二次函数的图象与系数的对应关系，解题时通过逐一验证排除错误选项即可，要求学生熟练掌握函数性质、具备基本的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
3.「2025四川广安中考」如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的图象交$x$轴于$A,B$两点，点$A$的坐标是$(-1,0)$，点$B$的坐标是$(n,0)$，有下列结论：①$abc＜0$；②$4a+c＞2b$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$；④$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
根据图象可得抛物线的开口向下,交$y$轴于正半轴,$\therefore a＜0,c＞0$,$\because$ 抛物线的对称轴在 $y$ 轴右侧,即 $x=-\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＞0$,$\therefore abc＜0$,故结论①正确;
由函数的图象可得当 $x=-2$ 时,$y＜0$,即 $4a-2b+c＜0$,$\therefore 4a+c＜2b$,故结论②错误;
$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象交 $x$ 轴于 $A,B$ 两点,点 $A(-1,0)$,点 $B(n,0)$,$\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解是 $x_1=-1,x_2=n$,$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{-1+n}{2}$,故结论③④正确.
综上,结论正确的有 3 个.故选 C.
根据图象可得抛物线的开口向下,交$y$轴于正半轴,$\therefore a＜0,c＞0$,$\because$ 抛物线的对称轴在 $y$ 轴右侧,即 $x=-\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＞0$,$\therefore abc＜0$,故结论①正确;
由函数的图象可得当 $x=-2$ 时,$y＜0$,即 $4a-2b+c＜0$,$\therefore 4a+c＜2b$,故结论②错误;
$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象交 $x$ 轴于 $A,B$ 两点,点 $A(-1,0)$,点 $B(n,0)$,$\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解是 $x_1=-1,x_2=n$,$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{-1+n}{2}$,故结论③④正确.
综上,结论正确的有 3 个.故选 C.
解析
【分析】
解题时先从二次函数图象提取关键信息：开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置、与x轴交点坐标，再结合二次函数性质逐一验证四个结论：
1. 先根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证结论①；
2. 将结论②的不等式变形为x=-2时的函数值形式，结合x=-2对应的图象位置判断函数值正负，验证结论②；
3. 根据二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，验证结论③；
4. 根据抛物线的对称性，对称轴是两个交点横坐标的平均值，结合对称轴公式验证结论④；
最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
解：由图象可知：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$，
∴$abc＜0$，故①正确；
2. 观察图象，当$x=-2$时，对应的函数值$y＜0$，将$x=-2$代入函数解析式得$y=4a-2b+c＜0$，移项得$4a+c＜2b$，故②错误；
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点为$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解就是两个交点的横坐标，即$x_1=-1,x_2=n$，故③正确；
4. 抛物线是轴对称图形，对称轴为两个交点横坐标的平均值，即$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，又对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】C
【知识点】二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；抛物线的对称性
【点评】本题是二次函数图象信息的典型考题，需要结合图象提取参数符号、特殊点函数值、对称性等信息，对结论逐一验证，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质以及和一元二次方程的对应关系。
【难度系数】0.7
解题时先从二次函数图象提取关键信息：开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置、与x轴交点坐标，再结合二次函数性质逐一验证四个结论：
1. 先根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证结论①；
2. 将结论②的不等式变形为x=-2时的函数值形式，结合x=-2对应的图象位置判断函数值正负，验证结论②；
3. 根据二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，验证结论③；
4. 根据抛物线的对称性，对称轴是两个交点横坐标的平均值，结合对称轴公式验证结论④；
最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
解：由图象可知：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可得$b＞0$，
∴$abc＜0$，故①正确；
2. 观察图象，当$x=-2$时，对应的函数值$y＜0$，将$x=-2$代入函数解析式得$y=4a-2b+c＜0$，移项得$4a+c＜2b$，故②错误；
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点为$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解就是两个交点的横坐标，即$x_1=-1,x_2=n$，故③正确；
4. 抛物线是轴对称图形，对称轴为两个交点横坐标的平均值，即$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，又对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，故④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】C
【知识点】二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；抛物线的对称性
【点评】本题是二次函数图象信息的典型考题，需要结合图象提取参数符号、特殊点函数值、对称性等信息，对结论逐一验证，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质以及和一元二次方程的对应关系。
【难度系数】0.7
4.「2024黑龙江绥化中考」二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，对称轴为直线$x=-1$，则下列结论：①$\frac{b}{c}＞0$；
②$am^2+bm≤a-b$（$m$为任意实数）；③$3a+c＜1$；④若$M(x_1,y),N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，则$x_1+x_2≤-3$。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
②$am^2+bm≤a-b$（$m$为任意实数）；③$3a+c＜1$；④若$M(x_1,y),N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，则$x_1+x_2≤-3$。其中正确的结论有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.B
由题图得抛物线开口向下,$\therefore a＜0$,$\because$ 抛物线的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a＜0$.$\because$ 抛物线交 $y$ 轴于正半轴,$\therefore c＞0$,$\therefore \frac{b}{c}＜0$,故①错误.由题意得,当 $x=-1$ 时,$y$ 取最大值,为 $a-b+c$,$\therefore$ 对于抛物线上任意的点对应的函数值 $y$,都有 $y ≤ a-b+c$.$\therefore$ 对于任意实数 $m$,当 $x=m$ 时,$y=am^2+bm+c ≤ a-b+c$,$\therefore am^2+bm ≤ a-b$,故②正确.由图象可得,当 $x=1$ 时,$y=a+b+c＜0$,又$\because b=2a$,$\therefore 3a+c＜0＜1$,故③正确.$\because$ 点 $M,N$ 的纵坐标相等,$\therefore$ 点 $M,N$ 关于直线 $x=-1$ 对称,$\therefore x_1+x_2=-2＞-3$,故④错误.综上,正确的结论有②③,共 2 个.故选 B.
由题图得抛物线开口向下,$\therefore a＜0$,$\because$ 抛物线的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a＜0$.$\because$ 抛物线交 $y$ 轴于正半轴,$\therefore c＞0$,$\therefore \frac{b}{c}＜0$,故①错误.由题意得,当 $x=-1$ 时,$y$ 取最大值,为 $a-b+c$,$\therefore$ 对于抛物线上任意的点对应的函数值 $y$,都有 $y ≤ a-b+c$.$\therefore$ 对于任意实数 $m$,当 $x=m$ 时,$y=am^2+bm+c ≤ a-b+c$,$\therefore am^2+bm ≤ a-b$,故②正确.由图象可得,当 $x=1$ 时,$y=a+b+c＜0$,又$\because b=2a$,$\therefore 3a+c＜0＜1$,故③正确.$\because$ 点 $M,N$ 的纵坐标相等,$\therefore$ 点 $M,N$ 关于直线 $x=-1$ 对称,$\therefore x_1+x_2=-2＞-3$,故④错误.综上,正确的结论有②③,共 2 个.故选 B.
解析
【分析】
解决这类二次函数图象结论判断题，首先要从图象中提取核心已知信息：①由开口方向确定a的符号；②结合对称轴公式得到a与b的数量关系，确定b的符号；③由与y轴的交点确定c的符号；④明确x=-1是函数的最大值点，以及x=1等特殊点的函数值正负；再结合二次函数的性质逐一验证4个结论即可。
【解析】
首先从图象和题干已知条件整理信息：
1. 抛物线开口向下，
∴ $a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，结合$a＜0$可得$b＜0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，
∴ $c＞0$；
4. 由图象可知，当$x=1$时，函数值$y＜0$，且$x=-1$时函数取最大值。
接下来逐个判断结论：
①：
∵ $b＜0$，$c＞0$，
∴ $\frac{b}{c}＜0$，故①错误；
②：
∵ $x=-1$时函数取最大值$a-b+c$，
∴ 对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a-b+c$，两边同时减去$c$，可得$am^2+bm ≤ a-b$，故②正确；
③：当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$，将$b=2a$代入得$a+2a+c=3a+c＜0$，显然$0＜1$，因此$3a+c＜1$，故③正确；
④：
∵ $M(x_1,y)$、$N(x_2,y)$纵坐标相等，
∴ 两点关于对称轴$x=-1$对称，由对称性可得$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，即$x_1+x_2=-2$，$-2＞-3$，故④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的对称性
【点评】
本题是典型的二次函数图象信息题，需要结合图象提取隐含的系数符号、特殊点函数值等条件，综合运用二次函数的对称性、最值等性质逐一验证结论，能很好地考查对二次函数基础性质的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解决这类二次函数图象结论判断题，首先要从图象中提取核心已知信息：①由开口方向确定a的符号；②结合对称轴公式得到a与b的数量关系，确定b的符号；③由与y轴的交点确定c的符号；④明确x=-1是函数的最大值点，以及x=1等特殊点的函数值正负；再结合二次函数的性质逐一验证4个结论即可。
【解析】
首先从图象和题干已知条件整理信息：
1. 抛物线开口向下，
∴ $a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，结合$a＜0$可得$b＜0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，
∴ $c＞0$；
4. 由图象可知，当$x=1$时，函数值$y＜0$，且$x=-1$时函数取最大值。
接下来逐个判断结论：
①：
∵ $b＜0$，$c＞0$，
∴ $\frac{b}{c}＜0$，故①错误；
②：
∵ $x=-1$时函数取最大值$a-b+c$，
∴ 对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a-b+c$，两边同时减去$c$，可得$am^2+bm ≤ a-b$，故②正确；
③：当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$，将$b=2a$代入得$a+2a+c=3a+c＜0$，显然$0＜1$，因此$3a+c＜1$，故③正确；
④：
∵ $M(x_1,y)$、$N(x_2,y)$纵坐标相等，
∴ 两点关于对称轴$x=-1$对称，由对称性可得$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，即$x_1+x_2=-2$，$-2＞-3$，故④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的对称性
【点评】
本题是典型的二次函数图象信息题，需要结合图象提取隐含的系数符号、特殊点函数值等条件，综合运用二次函数的对称性、最值等性质逐一验证结论，能很好地考查对二次函数基础性质的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.65
5.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过$(1,0),(-3,0)$,如果实数$P$表示$9a-3b+c$的值,实数$Q$表示$2a-b$的值,那么$P,Q$的大小关系为
P=Q
.答案
5.答案 $P=Q$
解析 将点 $(-3,0)$ 代入二次函数解析式得,$9a-3b+c=0$,$\therefore P=0$.$\because$ 抛物线经过点 $(-3,0)$ 和 $(1,0)$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,则 $-\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore 2a-b=0$,则$Q=0$,$\therefore P=Q$.
解析 将点 $(-3,0)$ 代入二次函数解析式得,$9a-3b+c=0$,$\therefore P=0$.$\because$ 抛物线经过点 $(-3,0)$ 和 $(1,0)$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,则 $-\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore 2a-b=0$,则$Q=0$,$\therefore P=Q$.
解析
【分析】
要比较P和Q的大小，需分别求出P、Q的值：①P表示的9a-3b+c对应x=-3时二次函数的函数值，已知二次函数过点(-3,0)，可直接求得P的值；②Q表示的2a-b，可先通过抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，再结合对称轴公式变形求得Q的值，最后比较二者大小即可。
【解析】
1. 求P的值：当x=-3时，二次函数的函数值$y=9a-3b+c$，已知函数图象过点$(-3,0)$，代入得$9a-3b+c=0$，即$P=0$。
2. 求Q的值：
∵抛物线与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$两点，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$。又二次函数的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此有$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，
∴$2a-b=0$，即$Q=0$。
3. 比较大小：
∵$P=0$，$Q=0$，
∴$P=Q$。
【答案】
$P=Q$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴计算；点坐标与解析式的关系
【点评】
本题是典型的二次函数图象信息题，解题核心是理解代数式对应的二次函数相关意义，熟练掌握通过抛物线与x轴交点求对称轴的方法、以及对称轴公式，掌握二次函数基础性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要比较P和Q的大小，需分别求出P、Q的值：①P表示的9a-3b+c对应x=-3时二次函数的函数值，已知二次函数过点(-3,0)，可直接求得P的值；②Q表示的2a-b，可先通过抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，再结合对称轴公式变形求得Q的值，最后比较二者大小即可。
【解析】
1. 求P的值：当x=-3时，二次函数的函数值$y=9a-3b+c$，已知函数图象过点$(-3,0)$，代入得$9a-3b+c=0$，即$P=0$。
2. 求Q的值：
∵抛物线与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$两点，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$。又二次函数的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此有$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，
∴$2a-b=0$，即$Q=0$。
3. 比较大小：
∵$P=0$，$Q=0$，
∴$P=Q$。
【答案】
$P=Q$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴计算；点坐标与解析式的关系
【点评】
本题是典型的二次函数图象信息题，解题核心是理解代数式对应的二次函数相关意义，熟练掌握通过抛物线与x轴交点求对称轴的方法、以及对称轴公式，掌握二次函数基础性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
6.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图，则不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为（
A.$-1＜x＜4$
B.$-1＜x＜3$
C.$x＜-1$或$x＞3$
D.$x＜-1$或$x＞4$
B
）A.$-1＜x＜4$
B.$-1＜x＜3$
C.$x＜-1$或$x＞3$
D.$x＜-1$或$x＞4$
答案
6.B
由图象可得当 $y＜0$ 时,$x$ 的取值范围是 $-1＜x＜3$,故不等式 $ax^2+bx+c＜0$ 的解集为 $-1＜x＜3$.故选 B.
由图象可得当 $y＜0$ 时,$x$ 的取值范围是 $-1＜x＜3$,故不等式 $ax^2+bx+c＜0$ 的解集为 $-1＜x＜3$.故选 B.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，需结合二次函数的图像分析：不等式$ax^2+bx+c＜0$等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y＜0$，对应图像上是抛物线位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围。首先观察图像得到抛物线与x轴的两个交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向上，开口向上的抛物线在两个交点之间的部分位于x轴下方，因此直接得到x的取值范围即可。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像在x轴下方时对应的x的取值范围。
由图像可知，二次函数图像与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向上，因此当$-1＜x＜3$时，函数图像在x轴下方，满足$ax^2+bx+c＜0$。
所以不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$-1＜x＜3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与不等式的关系
2. 二次函数的图像性质
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，核心是理解一元二次不等式和二次函数图像的对应关系，结合图像交点、开口方向即可快速得到解集，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，需结合二次函数的图像分析：不等式$ax^2+bx+c＜0$等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y＜0$，对应图像上是抛物线位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围。首先观察图像得到抛物线与x轴的两个交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向上，开口向上的抛物线在两个交点之间的部分位于x轴下方，因此直接得到x的取值范围即可。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像在x轴下方时对应的x的取值范围。
由图像可知，二次函数图像与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向上，因此当$-1＜x＜3$时，函数图像在x轴下方，满足$ax^2+bx+c＜0$。
所以不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$-1＜x＜3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与不等式的关系
2. 二次函数的图像性质
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，核心是理解一元二次不等式和二次函数图像的对应关系，结合图像交点、开口方向即可快速得到解集，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
7.「2026浙江温州鹿城期中」如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(2,p),B(-4,q)$两点，则关于$x$的方程$ax^2+c - mx -n=0$的解是
x₁=-4,x₂=2
。答案
7.答案 $x_1=-4,x_2=2$
解析 方程 $ax^2+c -mx -n=0$ 可以转化为 $ax^2+c = mx +n$,该方程的解为抛物线 $y=ax^2+c$ 与直线 $y=mx+n$ 公共点的横坐标,即 $x_1=-4,x_2=2$.
解析 方程 $ax^2+c -mx -n=0$ 可以转化为 $ax^2+c = mx +n$,该方程的解为抛物线 $y=ax^2+c$ 与直线 $y=mx+n$ 公共点的横坐标,即 $x_1=-4,x_2=2$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确方程与函数图象的对应关系：要求方程$ax^2+c - mx -n=0$的解，可先将方程变形为$ax^2+c = mx +n$，该等式的含义是二次函数$y=ax^2+c$与一次函数$y=mx+n$的函数值相等，此时对应的x取值就是两个函数图象交点的横坐标。已知两个函数交点坐标的横坐标分别为2和-4，直接提取即可得到方程的解。
【解析】
对关于x的方程$ax^2+c - mx -n=0$变形可得：$ax^2+c = mx +n$。
根据函数与方程的关系，该方程的解就是抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。
已知两函数交于$A(2,p)$、$B(-4,q)$两点，交点的横坐标为2和-4，因此方程的解为$x_1=-4$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-4,x_2=2$
【知识点】
函数与方程的关系；一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题是典型的函数图象与方程结合的基础题，解题关键是理解两个函数图象交点的横坐标就是两个函数解析式联立所得方程的解，熟练掌握该对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确方程与函数图象的对应关系：要求方程$ax^2+c - mx -n=0$的解，可先将方程变形为$ax^2+c = mx +n$，该等式的含义是二次函数$y=ax^2+c$与一次函数$y=mx+n$的函数值相等，此时对应的x取值就是两个函数图象交点的横坐标。已知两个函数交点坐标的横坐标分别为2和-4，直接提取即可得到方程的解。
【解析】
对关于x的方程$ax^2+c - mx -n=0$变形可得：$ax^2+c = mx +n$。
根据函数与方程的关系，该方程的解就是抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。
已知两函数交于$A(2,p)$、$B(-4,q)$两点，交点的横坐标为2和-4，因此方程的解为$x_1=-4$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-4,x_2=2$
【知识点】
函数与方程的关系；一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题是典型的函数图象与方程结合的基础题，解题关键是理解两个函数图象交点的横坐标就是两个函数解析式联立所得方程的解，熟练掌握该对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
